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Lógica para Computação (IF61B) Lógica para Computação Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng.

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1 Lógica para Computação (IF61B) Lógica para Computação Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng.

2 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner2 Lógica Predicativa A Lógica Predicativa (ou lógica de 1ª ordem) é uma extensão da lógica proposicional que aumenta sua expressividade, permitindo que se façam afirmações sobre propriedades – ou predicados – inerentes a conjuntos de elementos individuais; Tipicamente as fórmulas envolvem os quantificadores para todo ( ) e existe ( ); Uma fórmula típica é: x(homem(x)mortal(x)). Obs.: para representar o mesmo em Lógica Proposicional seria necessário utilizar uma fórmula para cada indivíduo, por exemplo: (homem_joão mortal_joão), (homem_josé mortal_josé), etc.

3 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner3 Lógica Predicativa A linguagem (sintaxe) da Lógica Predicativa L PRED é mais complexa que a da Lógica Proposicional; Para a definição de L PRED necessita-se de: 1.Um conjunto de predicados: R i = { r i 1, r i 2,... r i n,...} onde o sobrescrito i indica a aridade do predicado (o seu nº de argumentos); 2.Um conjunto de constantes: C = {c 1,c 2,...}; 3.Um conjunto de funções: F i = { f i 1, f i 2,... f i n,...} onde o sobrescrito i também indica a aridade da função; 4.Um conjunto de variáveis: V = {x 1,x 2,...}.

4 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner4 Lógica Predicativa A assinatura de L PRED é a uma tupla do tipo = [ R 1, R 2,... R M, C, F 1, F 2,... F N ] onde N e M são números naturais conhecidos. O conjunto dos termos de L PRED é T ( ) definido recursivamente por: 1.Se x V então x T ( ); 2.Se c C então c T ( ); 3.Se f F j e se t 1,...t j T ( ) então f(t 1,...t j ) T ( ).

5 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner5 Lógica Predicativa O conjunto das fórmulas (fbf) de L PRED é Fbf ( ) definido recursivamente como sendo o menor conjunto que atenda ao seguinte: 1.Se t 1,...t j T ( ) e se r j R j então r j (t 1,...t j ) Fbf ( ); 2.Se t 1, t 2 T ( ) então t 1 = t 2 Fbf ( ); Estas fbf são chamadas de fórmulas atômicas; 3.Se, Fbf ( ) então,,, Fbf ( ); 4.Se Fbf ( ) e se x V então x( ) e x( ) Fbf ( ).

6 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner6 Lógica Predicativa O conjunto das variáveis livres V LIVRES ( ) em uma fórmula é definido por: 1.Se = r j (t 1,...t j ) com r j R j e os t i T ( ) então todas as variáveis em pertencem a V LIVRES ( ); 2.Se = (t 1 =t 2 ) com os t i T ( ) então todas as variáveis em pertencem a V LIVRES ( ); 3.Se = então V LIVRES ( )= V LIVRES ( ); 4.Se =,, ou então V LIVRES ( )= V LIVRES ( ) V LIVRES ( ); 5.Se = x( ) ou x( ) então V LIVRES ( )= V LIVRES ( ) – {x}. Exemplo: Se = x (r(x) q(y) z (s(z,y))) então V LIVRES ( ) = { y }.

7 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner7 Lógica Predicativa Uma fórmula tal que V LIVRES ( ) = (sem variáveis livres) é denominada uma sentença. Uma subfórmula de uma fórmula é uma subseqüência dos símbolos de que também pertence a Fbf ( ). Exemplo: se = x (r(x) q(y) z (s(z,y))) então r(x) q(y) z (s(z,y)), r(x) q(y), z (s(z,y)), r(x) e q(y) são subfórmulas de.

8 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner8 Lógica Predicativa Exemplos:

9 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner9 Lógica Predicativa A semântica da Lógica Predicativa é definida sobre um par A ( )=[ A, v A ( ) ] denominado sistema algébrico da assinatura, tal que: 1. A é um conjunto denominado domínio (ou portador) do sistema algébrico; 2. v A ( ) é uma interpretação, que mapeia os elementos dos conjuntos em em relações sobre A (para os predicados), em funções sobre A (para as funções) e em elementos de A (para as constantes).

10 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner10 Lógica Predicativa Desta forma para uma interpretação v A ( ) tem-se: 1.Se r j R j então v A ( ) (r j ) A j = A A... A (j vezes); 2.Se f F j então existe uma função v A ( ) (f j ): A j A ; 3.Se c C então v A ( ) (c) A ; 4.Para um conjunto de variáveis X V existe ainda uma função : X A denominada interpretação das variáveis X em A.

11 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner11 Lógica Predicativa O valor de um termo t T ( ) em um sistema algébrico A ( ) e para uma interpretação de variáveis é definido indutivamente por: 1.Se t = x X então t A ( ) [ ] = (x); 2.Se t = c C então t A ( ) [ ] = v A ( ) (c); 3.Se f F j, t 1,..., t j são termos e t=f(t 1,..., t j ) então t A ( ) [ ]= v A ( ) (f j )(t 1 A ( ) [ ],..., t j A ( ) [ ]).

12 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner12 Lógica Predicativa Finalmente é possível se definir quando uma fórmula é verdadeira para um sistema algébrico A ( ) e uma interpretação de variáveis ; Denota-se por A ( ) |= [ ]; 1.Se = r j (t 1,...t j ) Fbf ( ) então A ( ) |= [ ] é equivalente a [t 1 A ( ) [ ],..., t j A ( ) [ ]] v A ( ) (r j ); 2.Se = (t 1 =t 2 ) com t 1, t 2 T ( ) então A ( ) |= [ ] é equivalente a t 1 A ( ) [ ] = t 2 A ( ) [ ]; 3.Se = e Fbf ( ) então A ( ) |= [ ] se e somente se não for verdade que A ( ) |= [ ];

13 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner13 Lógica Predicativa 4.Se =, com, Fbf ( ) então A ( ) |= [ ] se e somente se A ( ) |= [ ] e A ( ) |= [ ]; 5.Se =, com, Fbf ( ) então A ( ) |= [ ] se e somente se A ( ) |= [ ] ou A ( ) |= [ ]; 6.Se =, com, Fbf ( ) então A ( ) |= [ ] se e somente se quando A ( ) |= [ ] necessariamente também ocorre A ( ) |= [ ]; 7.Se = x( ) com Fbf ( ) então A ( ) |= [ ] se e somente se existir pelo menos uma interpretação de variáveis : X A que, restrita às variáveis de, seja tal que A ( ) |= [ ]; 8.Se = x( ) com Fbf ( ) então A ( ) |= [ ] se e somente se para todas as interpretações de variáveis : X A, quando restritas às variáveis de, sejam tais que A ( ) |= [ ].

14 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner14 Lógica Predicativa Exemplos:

15 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner15 Lógica Predicativa Uma teoria em L PRED é um conjunto de sentenças; Um sistema algébrico A ( ) é um modelo para uma teoria se A ( ) |= para toda ; Se tiver ao menos um modelo diz-se que é satisfazível; Se não tiver modelos é dita insatisfazível.

16 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner16 Lógica Predicativa Substituição de variáveis: Seja uma fórmula, x V LIVRES ( ) uma variável livre em e t T ( ) um termo; Neste caso a variável x pode ser substituída pelo termo t em, gerando uma nova fórmula [x:=t]; Exemplo: se = x(r(x) s(x,y)), y V LIVRES ( ) e t=f(a,z) então [y:=f(a,z)] = x(r(x) s(x,f(a,z))).

17 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner17 Lógica Predicativa Intuitivamente uma substituição gera um caso particular de uma fórmula; As substituições só podem ser feitas sobre as variáveis livres de, e de forma a não introduzir restrições na fórmula gerada que já não estivessem presentes na fórmula original; Várias substituições podem ser feitas simultaneamente, desde que não introduzam restrições. Exemplo: Se = x(r(x) s(x,y) r(z)) y, z V LIVRES ( ) e t 1 =f(a,w), t 2 =b então [y:=f(a,w), z:=b]= x(r(x)s(x,f(a,z)) r(b)))

18 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner18 Lógica Predicativa Sistemas Dedutivos em Lógica Predicativa: 1.Método axiomático: ver item 4.5 pg. 128; 2.Dedução natural: ver item 4.4 pg. 122, e também a ferramenta JAPE; 3.Método dos tableaux analíticos: ver item 5.6 pg. 147.

19 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner19 Lógica Predicativa Exemplo do método dos tableaux analíticos: 1. x(r(x) s(x)) |- x r(x) x s(x) 2.T x(r(x) s(x)) de 1 3.F x r(x) x s(x) de 1 4.T x r(x) de 3 5.F x s(x) de 3 6.F s(a)de 5 7.T r(a)de 4 8.T r(a) s(a)de 2 9.F r(a)T s(a)de 8 X (7,9)X (6,9)


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