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Lógica para Computação (IF61B) Lógica para Computação Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng.

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1 Lógica para Computação (IF61B) Lógica para Computação Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng.

2 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner2 Lógica Proposicional Linguagem informal x linguagem formal (1.1); Linguagem proposicional: envolve proposições e conectivos, formando fórmulas complexas; Proposição: enunciado ao qual se pode atribuir um valor verdade (verdadeiro ou falso); Conectivos: conjunção (E), disjunção(OU), negação (NÃO), implicação (SE … ENTÃO…); Não trata de relações sobre elementos de um conjunto, como todos, algum, o que será visto mais adiante, no estudo da lógica predicativa.

3 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner3 Lógica Proposicional A linguagem proposicional (1.2): Alfabeto: 1.Símbolos proposicionais, variáveis proposicinais ou átomos: P = { p 0, p 1, p 2, … }; 2.Conectivos: 1.unário: negação: (NÃO); 2.binários: conjunção: (E), disjunção: (OU), implicação: (SE…ENTÃO…); 3.Símbolos de pontuação: parênteses (e ).

4 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner4 Lógica Proposicional A linguagem proposicional (1.2.1): Fórmulas (fórmulas bem formadas, fbf): definidas indutivamente como o menor conjunto L LP com as seguintes regras de formação: 1.Caso básico: todos os símbolos proposicionais são fbf, isto é: P L LP ; 2.Caso indutivo 1: Se A L LP então A L LP ; 3.Caso indutivo 2: Se A, B L LP então ( A B ) L LP, ( A B ) L LP, e ( A B ) L LP.

5 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner5 Lógica Proposicional Fbf… Exemplos … Regras para a omissão de parênteses; Precedência entre os conectivos. Subfórmulas (1.2.2); Tamanho das fórmulas (1.2.3); Expressando idéias (1.2.4); Exercícios.

6 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner6 Lógica Proposicional Semântica (= significado, 1.3): Em lógica proposicional consiste na atribuição de valores-verdade às fórmulas da linguagem; Em lógica clássica: verdadeiro (1) e falso (0); Os valores-verdade são associados aos símbolos proposicionais por meio de uma função de valoração V : P {0,1}.

7 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner7 Lógica Proposicional Para as fórmulas complexas: 1. V ( A ) = 1 sse V ( A ) = 0 ; 2. V ( A B ) = 1 sse V ( A ) = 1 e V ( B ) = 1; 3. V ( A B ) = 1 sse V ( A ) = 1 ou V ( B ) = 1; 4. V (( A B ) = 1 sse V ( A ) = 0 ou V ( B ) = 1. Matrizes dos conectivos … Exercícios (pg.16).

8 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner8 Lógica Proposicional Satisfazibilidade, Validade, Tabelas- verdade (1.4): 1.Uma fbf A é satisfazível sse existe uma valoração V de seus átomos tal que V ( A ) = 1; 2.Uma fbf A é insatisfazível sse para toda valoração V de seus átomos tem-se que V ( A ) = 0; 3.Uma fbf A é válida (ou tautologia) sse toda valoração V de seus átomos é tal que V ( A ) = 1; 4.Uma fbf A é falsificável sse existe uma valoração V de seus átomos é tal que V ( A ) = 0.

9 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner9 Lógica Proposicional Resultados (1.4): 1.Toda fbf válida é também satisfazível; 2.Toda fbf insatisfazível é falsificável; 3.Uma fbf pode ser satisfazível e falsificável: neste caso é dita contingente; 4.Uma fbf não pode ser válida e falsificável; também não pode ser insatisfazível e satisfazível; 5.Se A é válida, A é insatisfazível e reciprocamente; 6.Se A é satisfazível, A é falsificável e reciprocamente.

10 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner10 Lógica Proposicional Tabelas-verdade… 1.http://www.math.csusb.edu/notes/quizzes/tablequ iz/tablepractice.html ;http://www.math.csusb.edu/notes/quizzes/tablequ iz/tablepractice.html 2.http://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table ;http://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table 3.http://www.brian-borowski.com/Truth/.http://www.brian-borowski.com/Truth/ Exercícios (pg. 20).

11 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner11 Lógica Proposicional Conseqüência lógica (1.5): Uma fbf B é conseqüência lógica de uma fbf A, denotando-se A |= B sse para toda valoração V que satisfaz A também satisfaz B, i.e. tal que V ( A ) = 1 implica V ( B ) = 1; De modo similar B é conseqüência lógica de um conjunto de fbf ={ A 1, A 2 … A n }, denotando-se por |= B sse para toda valoração V que satisfaz todas as fbf de também satisfaz B.

12 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner12 Lógica Proposicional Conseqüência lógica: Exemplo: Modus ponens: p, ( p q ) |= q. Teorema da dedução:, A |= B sse |= A B. Mais exemplos…

13 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner13 Lógica Proposicional Equivalência lógica: Duas fbf A e B são logicamente equivalentes, representando-se por A B sse A |= B e B |= A ; Na prática para verificar se duas fbf são logicamente equivalentes basta construir as tabelas-verdade para A e B e verificar se as colunas para A e para B são idênticas; Definição: A B ( A B ) ( B A ) Teorema: A B sse A B é tautologia.

14 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner14 Lógica Proposicional Equivalência lógica (1.5.1): Algumas equivalências notáveis: 1. p p (dupla negação); 2. p q p q (definição de em função de e ); 3. ( p q ) ( p q ) e ( p q ) ( p q ); (Leis de De Morgan) 4. p ( q r ) ( p q ) ( p r ) (distributividade de sobre ); 5.p ( q r ) ( p q ) ( p r ) (distributividade de sobre ).

15 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner15 Lógica Proposicional Equivalência lógica (1.5.2) : (Re)definições de conectivos em função de e : 1. p q p q ( p q ); 2. p q ( p q ). É possível se definir todos os conectivos em função de um só ?

16 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner16 Lógica Proposicional Ver Barras de Sheffer ou conectivos de Sheffer são simbolizados por: 1. # (negação conjunta) e 2. | (disjunção alternativa), definidos pela seguinte tabela: p q p # q p | q

17 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner17 Lógica Proposicional Fazendo: 1. p = (p # p), e 2. p q =((p # q) # (q # q)), pode-se definir os conectivos e a partir de #, e obter os demais conectivos a partir desses. Deve-se comprovar que as tabelas-verdade que são obtidas coincidem com as previamente conhecidas. Reciprocamente, os conectivos # e | podem ser definidos por: p # q = (p q) e p | q = (p q):

18 Lógica para Computação (IF61B) 7/4/2014Prof. Celso A A Kaestner18 Lógica Proposicional Exercícios (pg. 27). Desafios da Lógica Proposicional (1.6)…


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