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Lógica para Computação
Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng.
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Lógica Proposicional Linguagem informal x linguagem formal (1.1);
Linguagem proposicional: envolve proposições e conectivos, formando fórmulas complexas; Proposição: enunciado ao qual se pode atribuir um valor verdade (verdadeiro ou falso); Conectivos: conjunção (E), disjunção(OU), negação (NÃO), implicação (SE … ENTÃO…); Não trata de relações sobre elementos de um conjunto, como “todos”, “algum”, o que será visto mais adiante, no estudo da lógica predicativa. 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional A linguagem proposicional (1.2): Alfabeto:
Símbolos proposicionais, variáveis proposicinais ou átomos: P = {p0, p1, p2, …}; Conectivos: unário: negação: (NÃO); binários: conjunção: (E), disjunção: (OU), implicação: (SE…ENTÃO…); Símbolos de pontuação: parênteses “(“e “)”. 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional A linguagem proposicional (1.2.1):
Fórmulas (fórmulas bem formadas, fbf): definidas indutivamente como o menor conjunto LLP com as seguintes regras de formação: Caso básico: todos os símbolos proposicionais são fbf, isto é: P LLP ; Caso indutivo 1: Se A LLP então A LLP ; Caso indutivo 2: Se A, B LLP então (A B) LLP, (A B) LLP, e (A B) LLP. 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Fbf… Subfórmulas (1.2.2);
Exemplos … Regras para a omissão de parênteses; Precedência entre os conectivos. Subfórmulas (1.2.2); Tamanho das fórmulas (1.2.3); Expressando idéias (1.2.4); Exercícios. 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Semântica (= significado, 1.3):
Em lógica proposicional consiste na atribuição de valores-verdade às fórmulas da linguagem; Em lógica clássica: verdadeiro (1) e falso (0); Os valores-verdade são associados aos símbolos proposicionais por meio de uma função de valoração V: P {0,1}. 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Para as fórmulas complexas:
V ( A ) = 1 sse V ( A ) = 0 ; V (A B) = 1 sse V ( A ) = 1 e V ( B ) = 1; V (A B) = 1 sse V ( A ) = 1 ou V ( B ) = 1; V ((A B) = 1 sse V ( A ) = 0 ou V ( B ) = 1. Matrizes dos conectivos … Exercícios (pg.16). 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Satisfazibilidade, Validade, Tabelas-verdade (1.4): Uma fbf A é satisfazível sse existe uma valoração V de seus átomos tal que V (A ) = 1; Uma fbf A é insatisfazível sse para toda valoração V de seus átomos tem-se que V (A ) = 0; Uma fbf A é válida (ou tautologia) sse toda valoração V de seus átomos é tal que V (A ) = 1; Uma fbf A é falsificável sse existe uma valoração V de seus átomos é tal que V (A ) = 0. 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Resultados (1.4):
Toda fbf válida é também satisfazível; Toda fbf insatisfazível é falsificável; Uma fbf pode ser satisfazível e falsificável: neste caso é dita contingente; Uma fbf não pode ser válida e falsificável; também não pode ser insatisfazível e satisfazível; Se A é válida, A é insatisfazível e reciprocamente; Se A é satisfazível, A é falsificável e reciprocamente. 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Tabelas-verdade… Exercícios (pg. 20).
; ; Exercícios (pg. 20). 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Conseqüência lógica (1.5):
Uma fbf B é conseqüência lógica de uma fbf A, denotando-se A |= B sse para toda valoração V que satisfaz A também satisfaz B, i.e. tal que V ( A ) = 1 implica V ( B ) = 1; De modo similar B é conseqüência lógica de um conjunto de fbf ={ A1, A2 … An }, denotando-se por |= B sse para toda valoração V que satisfaz todas as fbf de também satisfaz B. 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Conseqüência lógica: Exemplo:
Modus ponens: p , (p q) |= q . Teorema da dedução: , A |= B sse |= A B . Mais exemplos… 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Equivalência lógica:
Duas fbf A e B são logicamente equivalentes, representando-se por A B sse A |= B e B |= A; Na prática para verificar se duas fbf são logicamente equivalentes basta construir as tabelas-verdade para A e B e verificar se as colunas para A e para B são idênticas; Definição: A B (A B ) (B A ) Teorema: A B sse A B é tautologia. 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Equivalência lógica (1.5.1):
Algumas equivalências notáveis: p p (dupla negação); p q p q (definição de em função de e ); (p q ) ( p q ) e (p q ) ( p q ); (Leis de De Morgan) p ( q r ) ( p q ) (p r ) (distributividade de sobre ); p ( q r ) ( p q ) (p r ) (distributividade de sobre ). 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Equivalência lógica (1.5.2):
(Re)definições de conectivos em função de e : p q p q ( p q); p q ( p q ). É possível se definir todos os conectivos em função de um só ? 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional p q p # q p | q 1 1 0 0
Ver “Barras de Sheffer” ou “conectivos de Sheffer” são simbolizados por: # (negação conjunta) e | (disjunção alternativa), definidos pela seguinte tabela: p q p # q p | q 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Fazendo: p = (p # p), e
p q =((p # q) # (q # q)), pode-se definir os conectivos e a partir de #, e obter os demais conectivos a partir desses. Deve-se comprovar que as tabelas-verdade que são obtidas coincidem com as previamente conhecidas. Reciprocamente, os conectivos # e | podem ser definidos por: p # q = (p q) e p | q = (p q): 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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Lógica Proposicional Exercícios (pg. 27).
Desafios da Lógica Proposicional (1.6)… 26/03/2017 Prof. Celso A A Kaestner
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