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Isaac Toyoshi Takiguchi Jr. Lucas Campos Silva Marcelo Butzke Leopoldino 1.

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1 Isaac Toyoshi Takiguchi Jr. Lucas Campos Silva Marcelo Butzke Leopoldino 1

2 Gravitação universal 2

3 Axioma 1: Duas coisas iguais a uma terceira, são iguais entre si. Axioma 2: Se parcelas iguais forem adicionadas a quantias iguais, os resultados continuarão sendo iguais. Axioma 3: Se quantias iguais forem subtraídas das mesmas quantias, os restos serão iguais. 3

4 Axioma 4: O todo é maior que a parte. 4

5 αξιωμα (axioma); Algo considerado válido, adequado ou auto- evidente; Por sua vez derivado da palavra grega axios, válido; 5

6 Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados, permitindo a construção de um sistema formal; Não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas); Em muitos contextos, "axioma", postulados" e "hipótese" são usados como sinônimos; 6

7 Euclides de Alexandria – Elementos; Exemplo de sistematização mais conhecido da antiga matemática grega; Usando conceitos fundamentais de ponto, reta e plano criou uma lista de cinco postulados. Imagem: WIKIPEDIA. Euclides. Disponível em: Acessado em 24 de março de

8 Postulado 1: Uma reta pode ser traçada de um ponto para outro qualquer; 8

9 Postulado 2: Qualquer segmento finito de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; 9

10 Postulado 3: Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se traçar um círculo de centro naquele ponto e raio igual à dada distância; 10

11 Postulado 4: Todos os ângulos retos são iguais entre si; Postulado 5: Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos interiores, de um mesmo lado, seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas, do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos; 11

12 O mais famoso; Inúmeros matemáticos suspeitaram que o 5º postulado poderia ser deduzido a partir dos demais; Carl Friedrich Gauss e posteriormente outros matemáticos perceberam sua independência aos demais; 12

13 David Hilbert, em 1900, apresentou uma histórica palestra na qual listou 23 problemas principais legadas pelos matemáticos do século XIX; Sexto problema, no qual diz que tratar do mesmo modo, por meio de axiomas, as ciências físicas nas quais a matemática tem importante papel: são prioritárias a teoria de probabilidades e a mecânica; 13

14 Deixou de forma bem clara que o rigor matemático poderia existir em qualquer ramo da ciência, com base matemática; Matemática trata sempre da estrutura dedutiva de sistemas, partindo de alguns conceitos primitivos (vagos e intuitivos), relacionando-se e permitindo a dedução de consequências e teoremas; 14

15 Tais considerações motivam o estudo rigoroso, do ponto de vista axiomático, de teorias físicas; Hoje já temos sistemas axiomáticos para teorias da física, biologia, economia, e até mesmo para geociências. 15

16 Formal – linguagem artificial na qual os conceitos são devidamente tornados precisos; Informal – língua natural, por exemplo o Português; 16

17 Conjunto de símbolos; Conjunto de expressões; Conjunto de fórmulas bem formadas; Procedimentos que permitem distinguir fórmulas bem formadas; Um conjunto de axiomas da teoria, que é composto de fórmulas bem formadas; Um conjunto de relações entre as fórmulas bem formadas; Um procedimento para decidir se as relações são consideradas válidas, dadas um conjunto de fórmulas bem formadas; 17

18 Inferência é o processo pelo qual se chega a uma dedução, firmada na base de uma ou outras mais fórmulas bem formadas aceitas como ponto de partida do processo; As regras de inferência são fundamentais no processo lógico-dedutivo de teorias formais, permitindo a dedução de teoremas; 18

19 Procedimento efetivo para decidir quais fórmulas bem formadas são axiomas; Demonstração é uma sequência de fórmulas bem formadas que foram derivadas através de uma regra de inferência; Um teorema é a última fórmula bem formada da sequência da demonstração; Teoria decidível – quando existe procedimento para dizer se uma fórmula bem formada é um teorema da Teoria; 19

20 Uma fórmula bem formada é dita uma consequência quando está é derivada de um axioma ou fórmulas bem formadas pertencentes aos conjuntos de premissas e hipóteses da prova (Γ) por alguma regra de inferência; 20

21 O processo de axiomatização sintetiza parte significativa do método científico, onde as teorias sempre partem de um mínimo pressupostos permitindo varias inferências lógicas. Exemplo: A teoria da gravitação permite descrever desde a simples queda de uma maçã até a órbita lunar; 21

22 Permite a economia de pensamentos. Exemplo: A teoria de distribuições requer conhecimento de análise funcional (matéria de nível de pós-graduação), porém José Sebastião e Silva elaborou uma axiomatização para a teoria que a tornou simples, para pessoas com conhecimento em cálculo diferencial e integral; 22

23 Tem poder de qualificar discurso, ou seja, permite que questões de caráter filosófico em ciência sejam respondidas objetivamente; Exemplos: Questões sobre eliminabilidade de conceitos primitivos, questões sobre consistência, etc. 23

24 É exelente instrumento de pesquisa matemática; Exemplo: em topologia um importante teorema, o de Tychonoff, um curioso resultado sobre espaços topológicos compactos, é equivalente ao Axioma da Escolha na teoria de conjuntos de Zermelo- Fraenkel. Ou seja, sem o Axioma da Escolha, não há teorema de Tychonoff; 24

25 Pode ser desinteressante do ponto de vista didático; Método genético, se opõe ao axiomático. Exemplo: Para aprender cálculo diferencial e integral, pressupõe conhecida a teoria de conjuntos, a noção de número real, e em seguida, limites; 25

26 Em compensação, o método axiomático é explicitamente usado em topologia, álgebra, álgebra linear, análise matemática, etc; 26

27 Depende do interesse de quem faz ciência; Muitos dos trabalhos científicos de grande relevância, foram feitos sem qualquer uso explícito do método axiomático; Figura indispensável em questões sobre os fundamentos lógico-matemáticos de qualquer disciplina; 27

28 SANTANNA, Adonai S. (2003) O que é um Axioma. WIKIPEDIA. Axioma. Disponível em: Acessado em 24 de março de


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