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GSCI - GSIG GSCI - GSIG Prof. Ricardo Villarroel Dávalos, Dr. Eng. Palhoça, Outubro de 2006 Prof. Ricardo Villarroel Dávalos,

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2 GSCI - GSIG GSCI - GSIG Prof. Ricardo Villarroel Dávalos, Dr. Eng. Palhoça, Outubro de 2006 Prof. Ricardo Villarroel Dávalos, Dr. Eng. Palhoça, Outubro de Programação Linear 2 Programação Linear

3 2.4 Modelagem do Problema

4 Exemplo de Roteirização

5 2.5 Análise de Sensibilidade A Análise de sensibilidade (Sensivity Analysis) é a interpretação dos resultados; Mediante ela podem ser realizadas modificações de soluções; Utilizada para realizar planejamento dos modelos aplicados e apoiar decisões gerencias; A seguir será aplicado esta análise numa pequena empresa.

6 O Método Simplex é um procedimento matricial para resolver um modelo de Programação Linear; Antes de aplicar o algoritmo é definido o problema conforme o modelo canônico ou original (MINIMIZAR); Para as restrições <= são consideradas variáveis de folga e o algoritmo é apresentado a seguir; Para as restrições > = e/ou = são consideradas variáveis de folga e artificiais. O algoritmo é utilizado duas vezes. 2.6 Método Simplex

7

8 i) Localize o número mais negativo da última linha do quadro Simplex (coluna de trabalho); ii) Forme quocientes de divisão da última coluna por cada número positivo da coluna de trabalho. Designe por pivô o elemento da coluna de trabalho que conduz ao menor quociente ; iii) Use operações elementares sobre as linhas a fim de converter o elemento pivô em 1 e, em seguida reduzir a zero todos os outros elementos da coluna de trabalho; Iv) Substitua a variável x existente na linha pivô, pela variável x da coluna de trabalho; v) Repita os passos (i) a (iv) até a inexistência de números negativos na última linha; vi) A solução ótima é obtida atribuindo-se a cada variável da primeira coluna o valor da linha Algoritmo Simplificado

9 2.6.2 Exemplo 1 Resolva através do Método Simplex (manualmente) o Problema de Programação Linear a seguir: Maximizar Z = x 1 + 9x 2 + x 3 Sujeita a: x 1 + 2x 2 + 3x 3 <= 9 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 <= 15 com: x 1 >= 0 x 2 >= 0 x 3 >= 0

10 2.6.2 Exemplo 1 A forma canônica ou original: Minimizar Z = - x 1 - 9x 2 - x 3 Sujeita a: x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 9 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 5 = 15 com: x 1 >= 0 x 2 >= 0 x 3 >= 0 x 4 >= 0 x 5 >= 0 x 4 e x 5 Variáveis de folga

11 2.6.2 Exemplo 1 VB X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 bibi X4X X5X Z-9000

12 2.6.2 Exemplo 1 Z = 81/2 X 1 = 0 X 2 = 9/2 X 3 = 0 X 4 = 0 X 5 = 6 VBX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 bibi X1X1 1/213/21/209/2 X5X Z7/2025/ 2 9/2081/ 2

13 2.6.3 Exemplo 2 Resolva através do Método Simplex (manualmente) o Problema de Programação Linear a seguir: Maximizar Z = 2x 1 + x 2 Sujeita a: -10x x 2 <= 45 -x 1 + 5x 2 <= 20 x 1 + x 2 <= 10 x 1 <= 8 com: x 1 e x 2 >= 0

14 2.6.3 Exemplo 2 A forma canônica ou original: Minimizar Z = 2x 1 + x 2 Sujeita a: -10x x 2 + x 4 = 45 -x 1 + 5x 2 + x 5 = 20 x 1 + x 2 + x 6 = 10 x 1 + x 7 = 8 com: x 1 e x 2 >= 0 x 4 ; x 5 ; x 6 e x 7 Variáveis de folga

15 2.6.3 Exemplo 2 VBX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 X6X6 bibi X3X X4X X5X X6X Z

16 2.6.3 Exemplo 2 VBX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 X6X6 bibi X3X X4X X5X X1X Z

17 2.6.3 Exemplo 2 VBX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 X6X6 bibi X3X X4X X2X X1X Z

18 2.6.3 Exemplo 2 Z max = 18 X 1 = 8 X 2 = 2 X 3 = 95 X 4 = 18 X 5 = 0 X 6 = 0

19 2.6.4 Programa em Delphi aplicando o Simplex

20 2.6.5 Programação Inteira, Binária e Mista Programação Inteira: Resultados inteiros (Lindo GIN X 1 ); Programação Binária: Resultados binários 0/1 (Lindo INT X 1 ); Programação Mista: Resultados inteiros e binários (Lindo GIN X 1 e INT X 2 ).

21 2.6.5 Programação Inteira, Binária e Mixta

22 2.7 Problemas especiais de Programação Linear Para as restrições > = e/ou = são consideradas variáveis de folga e artificiais. O algoritmo é utilizado duas vezes. Para as restrições <= são consideradas variáveis de folga e o algoritmo é apresentado a seguir; Antes de aplicar o algoritmo é definido o problema conforme o modelo canônico ou original (MINIMIZAR) e é resolvido em duas fases.

23 2.7.1 Exemplo 1 Resolva através do Método Simplex (manualmente) o Problema de Programação Linear a seguir: Maximizar Z = 6x 1 - x 2 Sujeita a: 4x 1 + x 2 <= 21 2x 1 + 3x 2 >= 13 -x 1 + x 2 = 1 com: x 1 >= 0 x 2 >= 0

24 A forma canônica ou original: Minimizar Z = -6x 1 + x 2 Sujeita a: 4x 1 + x 2 + x 3 = 21 2x 1 + 3x 2 - x 4 + x 1a = 13 -x 1 + x 2 + x 2a = 1 com: x 1 >= 0 x 2 >= 0 Variáveis de Folga x 3 >= 0 x 4 >= 0 Variáveis Artificiais x 1a >= 0 x 2a >= Exemplo 1

25 2.7.1 Exemplo 1 – Fase W VBX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X 1a X 2a bibi X3X X 1a X 2a Z W

26 2.7.1 Exemplo 1 – Fase W VBX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X1aX1a X2aX2a bibi X3X X 1a X2X Z W

27 2.7.1 Exemplo 1 – Fase W VBX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X 1a X 2a bibi X3X X1X /51/5-3/52 X2X /51/52/53 Z W

28 2.7.1 Exemplo 1 – Fase Z VBX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 bibi X3X X1X /52 X2X Z0009

29 2.7.1 Exemplo 1 – Fase Z VBX1X1 X2X2 X3X3 X4X4 bibi X4X X1X1 101/504 X2X Z001019

30 2.7.1 Exemplo 1 Solução: Z = 19 X 1 = 4 X 2 = 5 X 3 = 0 X 4 = 10

31 2.7.1 Exemplo 1 – Lindo

32 2.8 Aplicativo Solver Empresa de Decoração Lancaster Maximizar Z = 90p + 75u Sujeita a: p + u <= (Restrição devido à maquina de estampagem) 3p +2u <= (Restrição devido à maquina de empacotamento) p <= (Restrição devido à maquina de aplicação de adesivo) p >= 3000 (mínimo papel autocolante produzido) u >= 3000 (mínimo papel sem cola produzido) com: p >= 0 u >= 0 p --> Metros de papel autocolante u --> Metros de papel sem cola Solução: p = 6000 u = 6000 Z = 99000

33 2.8 Aplicativo Solver

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