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a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b1b1 a 11 x 1 + MatrizesConceitos Básicos A= a11a11 a12a12 a13a13 a21a21 a22a22 a23a23 a1na1n... a2na2n a31a31 a32a32.

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2 a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b1b1 a 11 x 1 + MatrizesConceitos Básicos A= a11a11 a12a12 a13a13 a21a21 a22a22 a23a23 a1na1n... a2na2n a31a31 a32a32 a33a33 a3na3n am1am1 am2am2 am3am3 amnamn A mxn = [a ij ] mxn Matriz de ordem m por n de elementos a ij Consideremos o sistema... + a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b2b2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b3b3... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = bmbm

3 MatrizesConceitos Básicos A mxn = [a ij ] mxn Matriz de ordem m por n de elementos a ij 3x5 a 13 = 2 a 34 = 7

4 MatrizesConceitos Básicos A mxn = [a ij ] mxn As matrizes podem ser classificadas segundo: A natureza dos elementos A forma

5 MatrizesConceitos Básicos A mxn = [a ij ] mxn Segundo a forma em: Rectangular Quadrada Coluna Linha Se o número de linhas é diferente do número de colunas Se o número de linhas é igual do número de colunas Se o número de colunas é igual a um Se o número de linhas é igual a um Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m

6 MatrizesConceitos Básicos A mxn = [a ij ] mxn Segundo a natureza dos elementos em: Real Complexa Nula se todos os seus elementos são reais se pelo menos um dos seus elementos é complexo se todos os seus elementos são nulos

7 MatrizesConceitos Básicos A mxn = [a ij ] mxn Segundo a natureza dos elementos em: Triangular Superior Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos

8 MatrizesConceitos Básicos A mxn = [a ij ] mxn Segundo a natureza dos elementos em: Diagonal Escalar uma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais

9 MatrizesConceitos Básicos A mxn = [a ij ] mxn Segundo a natureza dos elementos em: Simétrica Densa Dispersa se os elementos a ij são iguais aos a ji se a maioria dos seus elementos são não nulos se a maioria dos seus elementos são nulos

10 Matrizes Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. Operações com Matrizes

11 MatrizesOperações com Matrizes goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa A soma de matrizes do mesmo tipo

12 MatrizesOperações com Matrizes goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa A soma de matrizesdo mesmo tipo Assim o conjunto M mxn forma um Grupo Aditivo Comutativo

13 Matrizes Produto por um escalar Sejam A uma matriz e um escalar O produto de por A é uma matriz C que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por Operações com Matrizes do mesmo tipo de A

14 MatrizesOperações com Matrizes e os escalares e as seguintes propriedades são válidas: Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo

15 Matrizes a11a11 a12a12 a13a13 a21a21 a22a22 a23a23 a1na1n... a2na2n a31a31 a32a32 a33a33 a3na3n am1am1 am2am2 am3am3 amnamn A mxn = [a ij ] mxn Matriz de ordem m por n de elementos a ij Consideremos o sistema a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b1b1 a 11 x a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b2b2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b3b3... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = bmbm = b1b1 b2b2 b3b3... bmbm x1x1 x2x2 x3x3 xnxn Operações com Matrizes

16 Matrizes = x3 3 x3 = 2x 3 Operações com Matrizes

17 Matrizes = x3 3x3 8 2x 3 Operações com Matrizes

18 Matrizes = x3 3x3 8 2x 3 12 Operações com Matrizes

19 Matrizes = x3 3x3 8 2x Operações com Matrizes

20 Matrizes = x3 3x3 8 2x Operações com Matrizes

21 Matrizes = x3 3x3 8 2x Operações com Matrizes

22 Matrizes = x3 3x3 8 2x Operações com Matrizes

23 Matrizes = x3 3x3 8 2x Operações com Matrizes

24 MatrizesOperações com Matrizes Produto de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo O produto de A por B é uma matriz C do tipo cujos elementos são dados por: mxp e escreve-se C=AB. nxp. O produto de matrizes não é comutativo

25 MatrizesOperações com Matrizes Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, as seguintes propriedades são válidas: Dadas as matrizes A, B e C, e um escalar.

26 MatrizesOperações com Matrizes Transposição de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que: e escreve-se B=A T

27 MatrizesOperações com Matrizes Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas, as seguintes propriedades são válidas: Dadas as matrizes A e B e um escalar.


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