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Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Flexão Pura de Vigas. Tensões Axiais e Deformações.

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1 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 1 Sumário e Objectivos Sumário: Flexão Pura de Vigas. Tensões Axiais e Deformações Axiais numa viga simétrica em flexão pura. Eixo Neutro. Momento de Inércia. Objectivos da Aula: No final da aula ser capaz de determinar a forma como se distribuem as tensões axiais em vigas planas e a grandeza das referidas tensões.

2 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 2 Exemplo de Estrutura

3 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 3 Exemplo de Estrutura de Veículo

4 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 4 Estrutura de Madeira

5 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 5 Estrutura de Bicicleta

6 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 6 Sistema de Eixos x y z y Secção na Origem O Ox – Eixo da Viga

7 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 7 Vigas Flectidas

8 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 8 Fibra Flectida

9 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 9 Curvatura As fibras da viga deformam-se e no processo de deformação passam de elementos lineares rectilíneos a elementos lineares curvos com um certo raio de curvatura, no caso de se admitirem condições de flexão plana, o elemento linear inicial e o elemento linear deformado estão contidos num mesmo plano e a curva da fibra flectida é uma curva plana, nestas condições e de acordo com a figura anterior a curvatura da curva deformada num ponto pode ser definida como sendo: que representa o inverso do raio de curvatura R=OC, ou seja a curvatura k é tal que k=1/R

10 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 10 Hipótese de Euler – Bernoulli (1705) Secções rectas da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo flectido da viga. Esta hipótese é devida a Bernoulli (1705) e é considerada fundamental no desenvolvimento da teoria das vigas à flexão, válida no caso de se tratarem de vigas finas. Nestas condições os segmentos inicialmente lineares e perpendiculares ao eixo da viga permanecem lineares e perpendiculares ao eixo flectido da viga.

11 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 11 Viga em Flexão Pura

12 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 12 Elemento na configuração Deformada e Inicial As fibras a uma distância y do eixo da viga têm na configuração deformada um raio de curvatura R-y, como se representa na figura anterior. Nestas condições a diferença de comprimentos na configuração deformada, entre os segmentos g´h´ e e´f´, designada por d, pode ser facilmente calculada, tendo em conta que o comprimento do segmento g´h´ é: ds´=(R-y)d, ou seja d =(R-y)d -Rd =-yd Deformação: ou

13 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 13 Exemplo 10.1 Considere a viga representada na figura seguinte e sujeita a momentos nos extremos, M, cuja secção é rectangular com as dimensões indicadas na referida figura. No caso da deformação máxima admissível antes de ocorrer a cedência plástica ser de 2, determine o raio de curvatura da superfície média flectida e a mudança de ângulo entre os extremos da viga deformada.

14 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 14 Viga em Flexão Pura com Secção Rectangular

15 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 15 Exemplo10.1- Resolução Tendo em conta que Obtém-se

16 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 16 Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio -1 As tensões estão distribuídas na secção e têm a direcção do eixo dos xx e devem estar em condições de equilíbrio estático, como não existem forças axiais aplicadas, só existem momentos, a resultante das tensões distribuídas na secção deve ser igual a zero, ou seja ou == 0 ou seja a origem deve coincidir com o centro de gravidade da Secção

17 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 17 Distribuição de Tensões na Secção

18 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 18 Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio -2 Equilíbrio de Momentos Ou seja sendo ou

19 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 19 Relação Tensão – Momento Aplicado Flexão no plano Oxy Flexão no plano Oxz

20 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 20 Momentos e Sistema de Eixos

21 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 21 Exemplo 12.2 Determine a tensão longitudinal ou axial máxima a que a viga está sujeita

22 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 22 Exemplo Resolução Reacções Momentos 0

23 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 23 Exemplo 10.3 Considere a viga em consola representada na figura e admita que é construída utilizando um aço cujo peso específico é de 77.0 kN/. A viga está sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre de 7kN. A secção da viga é uma secção em I como se representa na figura. Determine a tensão longitudinal máxima instalada na viga.

24 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 24 Exemplo Resolução Considere-se o Princípio da Sobreposição de Efeitos e estude-se separadamente o efeito do peso próprio e o efeito da carga concentrada na extremidade livre. p=77.0 A=77.0 ( )= kN/m Peso Próprio

25 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 25 Exemplo Resolução O momento máximo resultante da carga concentrada ocorre no encastramento M=PL=42kN.m A tensão longitudinal total instalada é:

26 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 26 Exemplo 10.4 Considere a viga simplesmente apoiada com um tramo em consola, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de secção em como se representa na figura. Um extensómetro localizado em B indica que este ponto está sujeito a uma extensão de compressão de 8. Determine a intensidade da carga uniformemente distribuída. Considere o módulo de Young, E=210 GPa.

27 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 27 Exemplo 10.4-Resolução Reacções Momento em AC

28 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 28 Exemplo 10.5 Considere a viga simplesmente apoiada de secção tubular representada na figura, a viga está sujeita a uma carga distribuída como se representa na figura. A secção tem as dimensões representadas. Determine a intensidade da carga distribuída de tal modo que as tensões longitudinais (axiais) máximas instaladas sejam de 150Mpa.

29 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 29 Exemplo 10.5-Resolução Reacções

30 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 30 Exemplo 10.5-Resolução Como o momento é 6.0p, conclui-se que a carga p é: p=24.46kN/m

31 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 31 Problemas Propostos 1. Considere vigas cujas secções têm a forma indicada nas figuras anexas e determine o momento máximo que as secções das vigas podem suportar no caso da tensão longitudinal ou axial máxima admissível ser de 165MPa. 200mm 100mm 80mm 100mm 20mm 80mm 40mm 150mm 40mm

32 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 32 Problemas Propostos 3P 100mm 14mm 16mm 4mm P P 100mm 3mm 50mm A Extensómetro

33 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 33 Problemas Propostos 3. Pretende-se construir uma viga de secção quadrangular, como se representa na figura. Considerando duas posições possíveis para a secção da viga, as posições representadas na figura, indique qual das secções permite maiores momentos no caso da flexão ocorrer no plano Oxy e das tensões máximas na viga serem de igual valor nas duas secções. y z y a a z a a

34 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 34 Problemas Propostos 4. Considere a viga representada na figura cuja secção tem a forma de um T. O material da viga tem uma tensão de cedência à tracção de 20MPa e uma tensão de cedência à compressão de 40MPa. Determine a carga P (sentido positivo do eixo dos yy ou sentido negativo do eixo dos yy) que pode ser aplicada no caso de se considerar um coeficiente de segurança de 1.5. O ponto de aplicação da carga é o que se representa na figura P 2m 1m 110mm 230mm 30mm

35 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 35 Problemas Propostos 5. Considere uma viga de Secção em I, como se representa na figura. Numa Secção da viga está aplicado um momento de 100kNm, determine nessa secção a resultante das forças de tracção e compressão 150mm 40mm 120mm 30mm 100mm 30mm

36 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 36 Resolução do Problema 1ª) Determinação da posição do centro de Gravidade 200mm 100mm 80mm 100mm 20mm y1y1 A1A1 A2A2 y2y2 y3y3 A3A3

37 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 37 Resolução do Problema 1ª) Determinação do Momento de Inércia I z 200mm 100mm 80mm 100mm 20mm

38 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 38 Resolução do Problema 1ª) Determinação da Tensão Axial

39 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 39 Resolução do Problema 1b) Determinação da posição do centro de Gravidade 20mm 80mm 40mm 150mm 40mm A Secção é simétrica portanto o centro de Gravidade fica no Centro da Secção.

40 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 40

41 Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula 41


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