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O Método Quasi-Newton Ricardo Saboya de Toledo Thales Eduardo Nazatto.

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1 O Método Quasi-Newton Ricardo Saboya de Toledo Thales Eduardo Nazatto

2 Tópicos O Método de Newton. O Método Quasi-Newton. Algoritmos.

3 O Método de Newton Tem como objetivo encontrar raízes de uma função. Também conhecido como Método de Newton-Raphson e possui casos especiais como o Método Babilônico. Baseado na aproximação da função com sua tangente, até chegar no seu limite. Fórmula geral:

4 O Método Quasi-Newton Um dos defeitos do Método de Newton é que muitas das aproximações dele são inconvenientes, tornando o custo computacional muito elevado. Com o método Quasi-Newton, a complexidade é reduzida de O(n 2 ) para O(n 2 ). É uma generalização do método da secante para sistemas não-lineares, gerando uma convergência superlinear:

5 O Método Quasi-Newton É dado pela seguinte fórmula: Nele, a inversa da matriz Hessiana H (dada como B) é atualizada em toda iteração, desde que satisfaça a seguinte equação: O Δx satisfaz a seguinte equação:

6 Algoritmos Davidon-Fletcher-Powell (DFP) Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (Broyden ou BFGS)

7 O Algoritmo DFP Um dos mais antigos e inteligentes algoritmos para a geração da Hessiana inversa foi originalmente proposto por Davidon (1959) e posteriormente desenvolvida por Fletcher e Powell (1963). Ela tem a interessante propriedade que, por um objetivo quadrático, gera simultaneamente as direções do conjugado gradiente enquanto gera a Hessiana inversa O método também é conhecido como o método da métrica variável (inicialmente sugerido por Davidon). Sua fórmula de atualização é: Sendo q K = H k+1 p K e B k+1 q K = p K

8 O Algoritmo BFGS A fórmula do BFGS é mais complicada do que a do DFP, mas simples de aplicar. A fórmula de atualização do BFGS pode ser usada exatamente como a fórmula do DFP. Experimentos demonstraram que o desempenho do algoritmo BFGS é superior ao longo do algoritmo DFP. Assim, é muitas vezes preferido o algoritmo BFGS ao DFP. Sua fórmula de atualização é: Sendo q K = H k+1 p K e B k+1 q K = p K

9 Algoritmos Ambos os métodos têm propriedades que garantem uma rápida taxa de convergência e convergência global sob certas condições. No entanto, eles poderiam falhar por problemas gerais não-lineares. Especificamente: O DFP é altamente sensível aos erros nas pesquisas lineares. Ambos os métodos podem ficar presos em um ponto de sela. No método de Newton, um ponto de sela pode ser detectado durante modificações da (verdadeira) Hessiana. Portanto, é feita uma pesquisa ao redor do ponto final quando se utiliza métodos Quasi-Newton. A atualização da Hessiana torna-se "corrompida" devido a imprecisões. Todo tipo de "truques", como o dimensionamento e pré-condicionamento existem para impulsionar o desempenho dos métodos.

10 Bibliografia Numerical Analysis 7 th edition, Richard L. Burden e J. Douglas Faires. Internet:


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