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A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense1.

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2 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense1

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4 3 REALIZAÇÃO COLÉGIO CASCAVELENSE SÉRIE : LEVE O PROFESSOR PRÁ CASA DIREÇÃO PROF.EDMUNDO REIS BESSA (EDI)

5 4 Condição de alinhamento de três pontos por determinante Teorema Três pontos A(x A ;y A ), B(x B ;y B ) e C(x C ;y C ) são colineares se, e somente se: Três pontos A(x A ;y A ), B(x B ;y B ) e C(x C ;y C ) são colineares se, e somente se: x A y A 1 x A y A 1 det. = x B y B 1 = 0 det. = x B y B 1 = 0 x C y C 1 x C y C 1

6 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense5 OBS: Dois pontos estão sempre alinhados Três pontos distintos podem: Três pontos distintos podem: a) Estar alinhados a) Estar alinhados (det = 0). Nesse caso dizemos que os pontos estão colineares. (det = 0). Nesse caso dizemos que os pontos estão colineares. b) Determinar um triângulo. (det. 0) b) Determinar um triângulo. (det. 0) A B A B C A B C

7 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 6 Ex:01 Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados: a) A(3, 2), B(4, 1) e C(1, 4). C(1, 4). Sol: Vamos calcular o determinante: D = = = = 0 Resp: Como D = 0, os pontos são colineares. b) A(2, 3);B(-2,-5) e C(-1,-3) C(-1,-3) c) A(-2, 0), B(1, 3) e C(2, 4) d) A(1, 2), B(3, 4) e C(3, -1) e) A(1, 0), B(3, 1) e C(-7, 0) Resp: a) e b) sim; Resp: a) e b) sim; c) e d) não c) e d) não

8 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 7 Ex:02 Determinar os valores de a de modo que os pontos A(a;7), B(2,-3) e C(a,1) sejam vértices de um triângulo. Sol: Sol: Pontos vértices de um triângulo Det. 0 Pontos vértices de um triângulo Det. 0 a 7 1 a 7 1 Det. = a +7 a a -a a a – 12 0 a 2. a a – 12 0 a 2. Resp: a 2. Resp: a 2.

9 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 8 Ex:03 Determinar m para que os pontos A(-1,m); B(2, -3) e C(-4, 5): A) estejam alinhados Sol: Pontos alinhados Det. = 0 (resolva e confira que ) m = 1. Sol: Pontos alinhados Det. = 0 (resolva e confira que ) m = 1. b) Sejam vértices de um triângulo Sol: Três pontos vértices de um triângulo Det. 0 (resolva e confira que ) m 1. Sol: Três pontos vértices de um triângulo Det. 0 (resolva e confira que ) m 1.

10 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense9 Ex:04 Os pontos A(-3,a), B(9, b) e C(1, -2) são colineares. Determine o valor de 2 a + b. Sol: Sol: Pontos colineares Det. = 0. Pontos colineares Det. = 0. (Armando e resolvendo o determinante, (Armando e resolvendo o determinante, encontramos que: 2 a + b = -6). encontramos que: 2 a + b = -6).

11 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 10 Ex: 05 O ponto A é a interseção da reta que contém os pontos B(1, 3) e C(2, 5) com o eixo das abscissas. Determinar as coordenadas de A. Sol: Sol: Faça uma representação gráfica no PC e veja: Faça uma representação gráfica no PC e veja: a) Como A 0x yA = 0 A(xA,0); a) Como A 0x yA = 0 A(xA,0); b) Pontos A, B e C alinhados Det = 0 de onde determinamos que xA = - ½. b) Pontos A, B e C alinhados Det = 0 de onde determinamos que xA = - ½. Resp: A(-1/2; 0) Resp: A(-1/2; 0)

12 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense11 Equação Geral da reta Consideremos os pontos A(2, 1), B(1, -1) e um ponto genérico P(x, y).Para que A, B e C sejam alinhados, devemos ter: (Faça gráfico no PC) Consideremos os pontos A(2, 1), B(1, -1) e um ponto genérico P(x, y).Para que A, B e C sejam alinhados, devemos ter: (Faça gráfico no PC) x y 1 x y 1 Det = = 0. Det = = Desenvolvendo esse det, temos como resultado final: 2x – y – 3 = 0. Desenvolvendo esse det, temos como resultado final: 2x – y – 3 = 0. Essa equação representa todos os pontos P(x,y) que estão alinhados com A(2,1) e B(1,-1) e, por isso, é chamada de Equação Geral da Reta. Essa equação representa todos os pontos P(x,y) que estão alinhados com A(2,1) e B(1,-1) e, por isso, é chamada de Equação Geral da Reta.

13 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense12 Equação Geral da reta – (Cont.) Representação: ax + by + c = 0 Representação: ax + by + c = 0 Dados: A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) e P(x; y). Dados: A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) e P(x; y). x x y 1 x A y A 1 = 0 x B y B 1 ax + by + c = 0 Não sendo a e b simultaneamente nulos. B xAxA x xBxB yByB yAyA y y 0 A P

14 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 13 Ex: Determinar os coeficientes a, b e c de cada equação de reta abaixo : A) 3x – 2y – 7 = 0 => (a = ;b = ;c = ) A) 3x – 2y – 7 = 0 => (a = ;b = ;c = ) B) 5x + 4y = 0 => (a = ; b = ; c = ) B) 5x + 4y = 0 => (a = ; b = ; c = ) C) 3x – 2 = 0 => (a = ; b= ; c = ) C) 3x – 2 = 0 => (a = ; b= ; c = ) D) 5 – 2y = 0 => (a = ; b= ; c = ) D) 5 – 2y = 0 => (a = ; b= ; c = ) E) x = 0 => (a = ; b= ; c = ) E) x = 0 => (a = ; b= ; c = ) F) y = 0 => (a = ; b= ; c = ) F) y = 0 => (a = ; b= ; c = )

15 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 14 Ex: 06 Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: a) A(3, 1) e B(6, 3) Sol: Considere um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta r que passa pelos pontos A(3,1) e B(6,3). Pelo alinhamento: Sol: Considere um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta r que passa pelos pontos A(3,1) e B(6,3). Pelo alinhamento: x y 1 x y 1 Det = = 0. Desenvolvendo o determinante, determinante, temos: temos: (r) : 2x – 3y – 3 = 0. (r) : 2x – 3y – 3 = 0.

16 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 15 Continuação: b) A (3, 2 ) e B (2, 1) c) A(-1, 2) e B(-3, -2) d) A(0, 2) e B(6, 0) e) A(-3, 2) e B(1, 4) Em todos itens aplicar e desenvolver det. = 0. Em todos itens aplicar e desenvolver det. = 0. Resp: a) (s): x – y – 1 = 0 Resp: a) (s): x – y – 1 = 0 b) (t): 2x – y + 4 = 0 b) (t): 2x – y + 4 = 0 c) (w): x + 3y – 6 = 0 c) (w): x + 3y – 6 = 0 d) (k): x – 2y + 7 = 0 d) (k): x – 2y + 7 = 0

17 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense16 Ex:07 Determinar a equação geral da reta r em cada caso: a) a) Sol: Em ambos os itens, determine os 2 pontos de cada reta e use o det. conforme ex. anterior. Resp: a)(t): x + y – 3 = 0 b) (r): x – y – 2 = 0 x b) y r x t y 3 3 0

18 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 17 Equação Reduzida da reta Para se encontrar a equação reduzida de uma reta basta se tirar o valor de y na equação geral ax + by + c = 0 (b 0), ou seja: by = - ax – c => y = - a/b. x + (-c/a) => Para se encontrar a equação reduzida de uma reta basta se tirar o valor de y na equação geral ax + by + c = 0 (b 0), ou seja: by = - ax – c => y = - a/b. x + (-c/a) => y = m.x + q y = m.x + q Onde : m = - a/b => (Coeficiente angular da reta) e q = - c/b => (Coeficiente linear da reta – É a ordenada do ponto interseção com o eixo y). e q = - c/b => (Coeficiente linear da reta – É a ordenada do ponto interseção com o eixo y).

19 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense18 Ex:08 Determinar a eq. reduzida e os coeficientes angular e linear das retas: A) 3x + 4y – 12 = 0 A) 3x + 4y – 12 = 0 B) 2x – 3y – 7 = 0 B) 2x – 3y – 7 = 0 C) ax + by + c = 0 C) ax + by + c = 0 D) 2x – y + 3 = 0 D) 2x – y + 3 = 0 E) que passa pelos pontos E) que passa pelos pontos A(-1, 2) e B(1, 3). A(-1, 2) e B(1, 3). Resp: a) y = -3/4 x + 3; m = -3/4 e q = 3 m = -3/4 e q = 3 b) y = 2/3 x – 7/3; m = 2/3 e q = - 7/3 q = - 7/3 c) y = -a/b.x –c/a; m=-a/b e q = - c/a q = - c/a d) y = 2x + 3; m = 2 e q = 3 e) y = ½ x +5/2; m = ½ e e) y = ½ x +5/2; m = ½ e q = 5/2 q = 5/2

20 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense19 O que é inclinação() de uma reta? É o menor ângulo entre uma reta e o eixo dos x, orientado no sentido anti-horário do eixo dos x para a reta ( 0° < 180°). É o menor ângulo entre uma reta e o eixo dos x, orientado no sentido anti-horário do eixo dos x para a reta ( 0° < 180°). x y 0° < < 90° r a) x y 0 90° < < 180 ° r b)

21 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 20 O que é inclinação() de uma reta? (cont.). x x r // 0x 0 y r = 0x = 0° d) =90° c) r 0y y x y x r // 0y

22 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 21 O que é Coeficiente Angular? Definição: Definição: Chama-se coeficiente Angular (ou declividade) de uma reta não vertical, à tangente trigonométrica da sua inclinação. Representa-se por m.Ou seja: Chama-se coeficiente Angular (ou declividade) de uma reta não vertical, à tangente trigonométrica da sua inclinação. Representa-se por m.Ou seja: m = tg m = tg

23 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 22 Determinação do Coeficiente Angular dados dois pontos. Seja r uma reta não vertical onde A(x A,y A ), B(x B, y B ) são dois de seus pontos. x y B xAxA xBxB yByB yAyA 0 C No triângulo ABC => tg = BC/CA m = tg = y B – y A x B – x A

24 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense23 Observações importantes do Coeficiente Angular. 1º) = 0° tg = tg 0° m = 0 1º) = 0° tg = tg 0° m = 0 2°) 0° 0 m > 0 2°) 0° 0 m > 0 3°) 90° < < 180° tg < 0 m < 0 3°) 90° < < 180° tg < 0 m < 0 4°) = 90° tg = tg 90° m 4°) = 90° tg = tg 90° m

25 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 24 Ex:09 Determinar a inclinação(),os coeficientes Angular/Linear das retas: A) A) ) (0, q) x y Resp:Inclin.= ; m = tg ; q = q (0, -4) x y 150° Resp:Inclin.=.30º ; m = 3/3; q = -4 b)

26 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense25 Continuação do Ex: 09 C) C) 120° x y -4/3 d) y x 135° 3 e) y x 5 y x f ) 5

27 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense26 Ex:10 Assinale as afirmativas verdadeiras: 01. Toda reta tem coeficiente angular; 01. Toda reta tem coeficiente angular; 02. Uma reta perpendicular ao eixo dos y tem 02. Uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo; coeficiente angular nulo; 04. Se a inclinação de uma reta é um ângulo 04. Se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coef.angular é negativo; obtuso o seu coef.angular é negativo; 08. Se o coef. Angular de uma reta é positivo, a 08. Se o coef. Angular de uma reta é positivo, a sua inclinação será um ângulo positivo; sua inclinação será um ângulo positivo; 16. Uma reta perpendicular ao eixo das 16. Uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular. abscissas não tem coeficiente angular. Soma: 30 Soma: 30

28 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 27 Ex:11 Ache o coef. Angular da reta que passa pelos pontos e comente a sua inclinação. a) A(- 4, - 5) e B(-9, -7) a) A(- 4, - 5) e B(-9, -7) Sol: m = y B – y A = -7 - (-5) => m=2/5 ( é agudo) x B – x A -9 – (-4) x B – x A -9 – (-4) b) A(1, -3) e B(-3, 0) c) A(5, -2) e B(1, -2) b) A(1, -3) e B(-3, 0) c) A(5, -2) e B(1, -2) d) A(4, -5) e B(4, -8) d) A(4, -5) e B(4, -8) Resp: b) m = -3/4 (obtuso); c) m = 0 (nulo) d) m ( = 90°) d) m ( = 90°)

29 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 28 Condição de alinhamento de três pontos por coeficiente angular. Teorema: Três pontos A(x A,y A ),B(x B,y B ) e C(x C,y C ) são colineares se, e somente se m AB = m BC, ou não existem m AB e m BC. Teorema: Três pontos A(x A,y A ),B(x B,y B ) e C(x C,y C ) são colineares se, e somente se m AB = m BC, ou não existem m AB e m BC. A B C y x xAxA xBxB xCxC yCyC yByB yCyC 0 tg = m AB = m BC

30 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 29 Ex:12 Verificar se os pontos estão alinhados: a)A(4, 5), B(6,10) e C(0. -5). Sol: Vamos usar a condição dos coeficiente Sol: Vamos usar a condição dos coeficiente angulares, ou seja: m AB = m BC. angulares, ou seja: m AB = m BC. m AB = y B – y A = 10 – 5 = 5 / 2 m AB = y B – y A = 10 – 5 = 5 / 2 x B – x A 6 – 4 x B – x A 6 – 4 m BC = y C – y B = -5 – 10 = -15 = 5 / 2 m BC = y C – y B = -5 – 10 = -15 = 5 / 2 x C - x B x C - x B Resp: Como m AB = m BC = 5/2=> (Alinhados) Resp: Como m AB = m BC = 5/2=> (Alinhados) b)A(2, 3), B(2 +4t, 3 –5t) e C(2 +4n, 3 – 5n). Sol: (Pra você RESOLVER) Resp: (Alinhados) Sol: (Pra você RESOLVER) Resp: (Alinhados)

31 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense30 Ex:13 Determinar eq. geral e reduzida das retas dados dois pontos a) A(-3, -5) e B(-7, -8). Sol:Considerando um ponto genérico P(x, y) da reta AB, e a igualdade de coeficientes angulares m PA = m AB, temos: y P – y A = y B – y A => y – (-5) = -8 –(-5) => y P – y A = y B – y A => y – (-5) = -8 –(-5) => x P – x A x B – x A x – (-3) x + 3 x P – x A x B – x A x – (-3) x + 3 => 3x - 4y – 1 = 0 (Geral) e y = ¾ x – ¼(reduzida) => 3x - 4y – 1 = 0 (Geral) e y = ¾ x – ¼(reduzida) b) A(2, -1) e B(-3, 2) Sol: (Pra você) Resp: 3x + 5y – 1 =0 e y = -3/5 x + 1/5 Sol: (Pra você) Resp: 3x + 5y – 1 =0 e y = -3/5 x + 1/5

32 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 31 Cálculo de equação de reta dados um Ponto e o Coeficiente Angular. Dados: ponto A(x A, y A ) e Coef. Ang. (m). Dados: ponto A(x A, y A ) e Coef. Ang. (m). Para cálculo da equação, usa-se um ponto genérico P(x, y) da reta, e então: Para cálculo da equação, usa-se um ponto genérico P(x, y) da reta, e então: m = tg = y – y A ou seja: y – y A = m m = tg = y – y A ou seja: y – y A = m x – x A x – x A x – x A x – x A ou ainda : y – y A = m(x – x A ) ou ainda : y – y A = m(x – x A )

33 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense32 Ex:14 Ache a equação da reta (r) nos seguintes casos: a)Passando a)Passando por A(3, -4) e m = - 5/2. Sol: Usando P(x, y) r e tg = m => => y – (-4) (-4) = - 5/2 => (r) 5x + 2y – 7 = 0 x - 3 b) Passa pelo ponto P(-2, 1) e tem m= -3. Sol: (pra você) Resp: 3x + y + 5 = 0

34 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense33 Cálculo de equação de reta dados um ponto e a Inclinação ( 90°). Dados: Dados: ponto A(x A, y A) e a Inclinação ( ). I) I) Determinamos o coef.Angular: coef.Angular: m = tg. II) II) Usa-se agora o processo do cálculo da reta da qual tem-se um ponto e m, ou seja: y – y A= m ( x – x A)A)A)A)

35 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 34 Ex:14 Obtenha a eq. da reta(r) que passa pelo ponto A(7, 1) e tem inclinação 45°. Sol: Inicialmente precisamos determinar o coef. Angular: m = t g = t g 45° = 1. A reta procurada possui m = 1 e passa pelo ponto A(7, 1). Assim: y – y A = m (x – x A) => y – 1 = 1.(x – 7) => Assim: y – y A = m (x – x A) => y – 1 = 1.(x – 7) => (r) x – y – 6 = 0. (r) x – y – 6 = 0. Ex: Idem para; A(0,1) e = 150°. Sol: (Pra você) Resp: (r) 3 x + 3y – 3 = 0

36 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 35 Ex:15 Determine as equações das retas r e s mostradas na figura. Sol: (pra você) Sol: (pra você) Resp: (r):y = 3/3 x – 2 e (s): y =-x + 4 Resp: (r):y = 3/3 x – 2 e (s): y =-x + 4 y x 135° 60° 0 -2 s r 4

37 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 36 Equação da 1ªBissetriz ou bissetriz dos quadrantes ímpares(b13) Determinação da equação: -Temos que = 45° => m= tg = 1. -O ponto origem O(0,0) b 13. -Assim: y – y o = m ( x – x o) => y – 0 = 1(x-0) => y = x (Todo ponto que pertence a b 13 tem coordenadas iguais). Ex: A(a,a); B(-b,-b) x y 45° b 13 (0,0) a a -b

38 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense37 Equação da 2ªBissetriz ou bissetriz dos quadrantes pares(b24) Determinação da equação: Determinação da equação: - Temos que = 135° => m= tg = O ponto origem O(0,0) b Assim: y – y o = m ( x – x o) => y – 0 = 1(x - 0) => y = - x (Todo ponto que pertence a b 24 tem coordenadas opostas (ou simétricas) ). x y 135° b 24 (0,0) a - a - b b Ex: A(a,-a); B(-b,b)

39 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 38 Interseção de duas retas Todo ponto de interseção de duas (ou mais) retas tem de satisfazer(pertencer) as equações das duas (ou mais) retas.Este ponto comum Todo ponto de interseção de duas (ou mais) retas tem de satisfazer(pertencer) as equações das duas (ou mais) retas.Este ponto comum P(x o,y o) é determinado resolvendo o sistema formado pelas equações. P(x o,y o) é determinado resolvendo o sistema formado pelas equações. x y r s P(x o, y o) P(x o,y o) = r s = a 1 x+b 1 y +c 1 = 0 a 2 x+b 2 y+c 2 =0

40 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense39 Ex:16 Obter a interseção das retas: (r) x – y + 1 = 0 e (s) 2x + y – 2 = 0 Sol: Vamos resolver o sistema pelo método da adição: Sol: Vamos resolver o sistema pelo método da adição: x – y + 1 = 0 ( I ) x – y + 1 = 0 ( I ) 2x + y – 2 = 0 ( II ) 2x + y – 2 = 0 ( II ) 3x – 1 = 0 => x = 1/3. 3x – 1 = 0 => x = 1/3. Substituindo em (I), temos: 1/3 – y + 1 = 0 Substituindo em (I), temos: 1/3 – y + 1 = 0 => y = 4/3. => y = 4/3. Logo, a interseção de r com s é P(1/3; 4/3) Logo, a interseção de r com s é P(1/3; 4/3) +

41 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense40 Ex:17 Determinar o ponto I de interseção entre as retas: A) r: 2x + 5y – 3 = 0 e s: x – y + 2 = 0. A) r: 2x + 5y – 3 = 0 e s: x – y + 2 = 0. Sol: Pra você Resp: I(-1, 1) Sol: Pra você Resp: I(-1, 1) B) r: y = 2x – 3 e s: y = 3x – 5. B) r: y = 2x – 3 e s: y = 3x – 5. Sol: Pra você Resp: I(2, 1) Sol: Pra você Resp: I(2, 1) C) C) Resp: I (4/3, - 8/3) y x s r I Sol: Pra você

42 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 41 ATENÇÃO: Concorrência de 3 retas em um mesmo ponto Dadas Dadas as equações de 3 retas para verificar se elas concorrem num mesmo mesmo ponto, ponto, basta que se determine o ponto de de interseção de duas, duas, em seguida verifique verifique se o ponto encontrado pertence a terceira terceira reta, reta, caso pertença, então as retas são concorrentes em um mesmo ponto.

43 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 42 Ex:18 Provar que as retas 2x + 3y – 1 = 0, x + y =0 e 3x + 4y – 1 = 0 concorrem no mesmo ponto. Sol: 1º) Determinemos P, interseção da 1ª com a 2ªreta ; 2x + 3y – 1 = 0 => x = -1 e y = 1 2x + 3y – 1 = 0 => x = -1 e y = 1 x + y = 0 =>P(-1,1) x + y = 0 =>P(-1,1) 2º) Provemos que P pertence a 3ª reta; 2º) Provemos que P pertence a 3ª reta; 3xp + 4yp – 1 = 3.(-1) = – 1 = 0. 3xp + 4yp – 1 = 3.(-1) = – 1 = 0. Fica provado então que as retas Fica provado então que as retas concorrem no mesmo ponto. concorrem no mesmo ponto.

44 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 43 Ex:19 Verificar se as retas 2x - 3y - 7= 0; 3x – y - 14 = 0 e x - 3y – 8 = 0 concorrem no mesmo ponto. Sol: Pra você Resp: Não. Ex:20(UFC) Encontre o número real m de modo que as retas: x + y = 8; 2x – 3y = 6 e 5x + my = 3 passem por um mesmo ponto. Resp: m = -27 / 2. Resp: m = -27 / 2.

45 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense44 Equação Segmentária da Reta Sejam P(p, 0) e Q(0, q) pontos distintos entre si e localizados sobre os eixos. Sejam P(p, 0) e Q(0, q) pontos distintos entre si e localizados sobre os eixos. Aplicando o det. nos pontos,encontramos a equação: x y 1 Aplicando o det. nos pontos,encontramos a equação: x y 1 p 0 1 = 0 => pq = qx + py p 0 1 = 0 => pq = qx + py 0 q 1 (dividindo por pq) 0 q 1 (dividindo por pq) => X/P + Y/q = 1 => X/P + Y/q = 1 x y P(p,0) Q(0,q)

46 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 45 Ex:21 Obter a equação segmentária da reta nos casos: A) passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, -5). A) passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, -5). Sol: Usando x + y = 1 => x + y = 1 Sol: Usando x + y = 1 => x + y = 1 a b 2 -5 a b 2 -5b) 6 4 x y 2 -3 x y c) Resp:b) x/4 + y/6 =1 c) x/2 + y/-3 = 1

47 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense46 Ex:22 Obter a equação segmentária da reta cuja equação geral é 2x – 3y + 4 = 0 Sol: Sol: 2x – 3y + 4 = 0 => 2x – 3y = - 4 2x – 3y + 4 = 0 => 2x – 3y = - 4 (dividindo a equação por -4) => 2x + (-3y) = -4 => (dividindo a equação por -4) => 2x + (-3y) = -4 => x + y = 1 x + y = /3 -2 4/3 Ex: 23 Idem para 4x + 3y – 2 = 0. Sol: Prá você Resp: x/(1/2) + y/(2/3) = 1 Sol: Prá você Resp: x/(1/2) + y/(2/3) = 1

48 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense47 Equações Paramétricas São as equações que não relacionam diretamente as coordenadas x e y. Tais equações são dadas em função de uma terceira variável, t, chamada parâmetro: São as equações que não relacionam diretamente as coordenadas x e y. Tais equações são dadas em função de uma terceira variável, t, chamada parâmetro: x = f(t) x = f(t) y = g(t), f e g são funções afins y = g(t), f e g são funções afins OBS: A partir das equações paramétricas, obtém- se a equação geral, eliminando-se o parâmetro t.

49 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 48 Ex:24 Determinar a equação geral da reta r dadas as paramétricas: A) x = 2t + 4 A) x = 2t + 4 y = t – 3 y = t – 3 Sol: Vamos isolar t na segunda equação: y + 3 = t => t = y + 3. y + 3 = t => t = y + 3. Substituindo t por y + 3 na 1ª equação,temos: x = 2(y + 3) + 4 => x – 2y – 10 = 0 é a equação geral de r. B) x = 3t e y = 3 – t. B) x = 3t e y = 3 – t. Sol: Prá você Resp: (r) x + 3y – 9 = 0

50 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 49 Ex:25 Determinar as equações paramétricas da reta: a) ( r ) 3x – 2y – 6 = 0. Sol: Vamos isolar x na equação. 3x = 2y + 6 => x = 2/3 y + 6/3 =>x = 2(y/3+1) Fazendo y/2 + 1 = t => y/2 = t – 1 =>y = 2t - 2, obtemos: x = 2t e y = 2t - 2 que são as paramétricas b) ( s ): x + 5y – 3 = 0. Sol: Prá você Resp: x = 3 – t e y = - t / 5

51 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 50 Exercícios de Revisão Ex:26 Determinar: a) a equação geral b) a equação reduzida; c) a equação segmentária; d) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(-2; -3) e B(4; 2). b) a equação reduzida; c) a equação segmentária; d) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(-2; -3) e B(4; 2). Resp: a)5x - 6y – 8 = 0; b) y = 5/6 x – 4/3 c) x / (8/5) + y / (-4/3) = 1 d) m = 5/6 c) x / (8/5) + y / (-4/3) = 1 d) m = 5/6 Ex:27 Determinar a eq. geral; reduzida e segmentária das paramétricas: Ex:27 Determinar a eq. geral; reduzida e segmentária das paramétricas: 2x = t + 1 e y = 3t – 2. 2x = t + 1 e y = 3t – 2. Resp: a) 6x – y – 5 = 0; b) y = 6x – 5; Resp: a) 6x – y – 5 = 0; b) y = 6x – 5; c) x / (5/6) + y / -5 = 1 c) x / (5/6) + y / -5 = 1

52 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense51 RETAS PARALELAS:(//) Duas RETAS, (r) a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 e (s)a 2 x + b 2 y + c 2 = 0,distintas e não verticais, são paralelas se, e somente se, têm coeficientes angulares iguais. Duas RETAS, (r) a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 e (s)a 2 x + b 2 y + c 2 = 0,distintas e não verticais, são paralelas se, e somente se, têm coeficientes angulares iguais. Dem: r // s = tg = tg m r = m s Dem: r // s = tg = tg m r = m s c2 c1 i)r // s a 1 = b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 ii) r s a 1 = b 1 = c 1 a 2 b 2 c 2

53 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 52 RETAS CONCORRENTES:(X) Duas RETAS, (r) a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 e (s)a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes (r s = { P }). Duas RETAS, (r) a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 e (s)a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes (r s = { P }). r X s => m r m s => - a 1/ b 1 -a 2 / b 2 => r X s => m r m s => - a 1/ b 1 -a 2 / b 2 => a 1 / a 2 b 1 / b 2 a 1 / a 2 b 1 / b 2 x y r s P

54 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense53 RETAS PERPENDICULARES() Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0,distintas e não verticais, são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é igual a - 1. Duas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0,distintas e não verticais, são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é igual a - 1. Dem: Se r s, então: = 90°+ => tg = tg (90°+ ) Dem: Se r s, então: = 90°+ => tg = tg (90°+ ) => tg = sen (90°+ ) = cos => tg = - cotg =-1 / tg => tg = sen (90°+ ) = cos => tg = - cotg =-1 / tg cos (90°+ ) -sen cos (90°+ ) -sen => tg. tg = -1 => m s. m r = - 1 => tg. tg = -1 => m s. m r = - 1 r s 0 x y Se r s => m r.m s = -1

55 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense54 Ex:28Dadas as eq.de retas; (r) y = 3x + 5; (s) y = 3x- 2; (t) 6x- 2y+10= 0 e (u) y = 5x. Determinar a posição relativa entre: Determinar a posição relativa entre: A) r e s b) r e t c) s e u. A) r e s b) r e t c) s e u. Sol: Temos que: i) m r = 3 e q r = 5; Sol: Temos que: i) m r = 3 e q r = 5; ii) m s = 3 e q s = -2; ii) m s = 3 e q s = -2; iii) a eq. reduzida de t é y = 3x + 5 => m t = 3 e q t = 5; iii) a eq. reduzida de t é y = 3x + 5 => m t = 3 e q t = 5; iv) m u = 5 e q u = 0. iv) m u = 5 e q u = 0. Assim, temos: Assim, temos: a) m r = m s e q r q s =>r e s são paralelas distintas; a) m r = m s e q r q s =>r e s são paralelas distintas; b) m r = m t e q r q t => r e t são paralelas coincidentes; b) m r = m t e q r q t => r e t são paralelas coincidentes; c) m s m u => s e u são concorrentes. c) m s m u => s e u são concorrentes.

56 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 55 Ex:29 Para que valores de a as retas r:3x + 2y – 1 = 0 e s: ax + 5y + 3 = 0 são paralelas? Sol: Escrevendo as eq. em forma reduzida temos: r: y = -3/2 x+ ½ =>mr=-3/2 e qr=1/2 Sol: Escrevendo as eq. em forma reduzida temos: r: y = -3/2 x+ ½ =>mr=-3/2 e qr=1/2 s: y = - ax/5 – 3/5=> ms =-a/5 e qs=-3/5. s: y = - ax/5 – 3/5=> ms =-a/5 e qs=-3/5. Para r // s => m r = m s => - 3/2 = - a/5 => Para r // s => m r = m s => - 3/2 = - a/5 => a = 15 / 2. a = 15 / 2. Nota: Observe que as retas são paralelas distintas, pois q r q s (1/2 - 3/5).

57 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 56 Ex:30 Para que valores de a as retas r:(a²-10)x – y – 4 = 0 e s:3ax + y + 1 = 0 são concorrentes? Sol: Retas concorrentes: Sol: Retas concorrentes: r X s => m r m s => -a r / b r = -a s / b s r X s => m r m s => -a r / b r = -a s / b s NOTA: Sendo r:a x + b y + c = 0 (b 0) => NOTA: Sendo r:a x + b y + c = 0 (b 0) => m r = - a/b e q r = -c/b (Coeficientes angular e linear respectivamente). m r = - a/b e q r = -c/b (Coeficientes angular e linear respectivamente). Então: a ² a Então: a ² a a² + 3 a a² + 3 a => a - 5 e a 2. => a - 5 e a 2.

58 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 57 Ex:31 Obter uma equação da reta r que passa por P(5,2) e é paralela a reta s do gráfico. Gráfico Sol:Como r // s => m r = m s = tg = tg 135°=> m r = -1. m r = -1. Temos que P(5, 2) r. Usando a equação fundamental da reta, assim: y – y p = m r( x – x p) =>y – 2 = -1(x – 5) y – y p = m r( x – x p) =>y – 2 = -1(x – 5) => r: x + y – 7 = 0 => r: x + y – 7 = 0 x 5 s 2 135º P y 0

59 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense58 Ex: 32 Determinar a eq. geral e reduzida da reta r que passa pelo ponto P(-1, 6) e é paralela à reta s: 4x +2y – 1 = 0 Sol: Como r // s => m r = m s =-a/b = -4/2 => m r = -2. Sol: Como r // s => m r = m s =-a/b = -4/2 => m r = -2. Temos que P(-1, 6) r. Temos que P(-1, 6) r. Pela equação fundamental da reta, temos: Pela equação fundamental da reta, temos: y – y p = m r( x – x p) =>y – 6 = - 2 (x+1) y – y p = m r( x – x p) =>y – 6 = - 2 (x+1) => r: 2x+ y– 4 = 0(ger.) e y = -2x + 4 (red) => r: 2x+ y– 4 = 0(ger.) e y = -2x + 4 (red)

60 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 59 Ex:33 Obter a eq. reduzida da reta r que passa por P(4, 6) e é perpendicular à reta do gráfico.. Sol: Se r s => m r.m s = -1. Sol: Se r s => m r.m s = -1. Temos que: m s = tg 120°= tg (180°- 60°) = Temos que: m s = tg 120°= tg (180°- 60°) = - tg 60°= - 3 m r = - 1/ m s = -1/- 3 = 3/3. - tg 60°= - 3 m r = - 1/ m s = -1/- 3 = 3/3. Pela equação fundamental da reta, temos: Pela equação fundamental da reta, temos: y – y p = m r ( x – x p) => y – 6 = 3/3 (x- 4) y – y p = m r ( x – x p) => y – 6 = 3/3 (x- 4) => y = 3/3 x – 4. 3 / => y = 3/3 x – 4. 3 / x P s 6 120º y 0

61 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense60 Ex:34 Obter a eq.geral da reta s que passa por P(2, -3) e é perpendicular à reta r: x + 2y + 5 = 0 Sol: Cálculo de m r: m r = -a / b = -1/2. Sol: Cálculo de m r: m r = -a / b = -1/2. Como r s => m r. m s = -1 m s = 2. Como r s => m r. m s = -1 m s = 2. Temos que P(2, -3) r. Temos que P(2, -3) r. Pela equação fundamental da reta, temos: Pela equação fundamental da reta, temos: y – y p = m s. ( x – x p) => y – (-3) = 2 (x- 2) y – y p = m s. ( x – x p) => y – (-3) = 2 (x- 2) => (s): 2x – y – 7 = 0 => (s): 2x – y – 7 = 0

62 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense61 35: Ache a eq. da mediatriz do segmento AB, dados A(3,9) e B(1, 5) Sol: Sol: Esquema: Esquema: i) O ponto médio de AB é M((3+1)/2 ;(9+5)/2)=> M(2,7) ii) O coeficiente angular da reta AB: m AB =(9-5)/(3-1)= 2 iii) A mediatriz r reta AB => m r. m AB = - 1 m r=-1/2 Pela equação fundamental da reta, temos: Pela equação fundamental da reta, temos: y – y M = m s. ( x – x M) => y – 7 = -1/2 (x- 2) y – y M = m s. ( x – x M) => y – 7 = -1/2 (x- 2) => a eq. da mediatriz (r): x +2 y -16 = 0 => a eq. da mediatriz (r): x +2 y -16 = 0 A mediatriz(r) do segmento AB é a reta que passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a AB. A(3,2) B(-2, -4) Mediatriz (r) M

63 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 62 Ex:36 Resolver o problema anterior usando Lugar Geométrico. Sol: Sol: Lugar Geométrico: O L.G. dos pontos que têm uma determinada propriedade é o conjunto de pontos que contém todos esses pontos exclusivamente. Lugar Geométrico: O L.G. dos pontos que têm uma determinada propriedade é o conjunto de pontos que contém todos esses pontos exclusivamente. A MEDIATRIZ de AB é o L.G. dos pontos P(x,y) tal que (distância) d(P, A) = d(P, B), isto é, dos pontos eqüidistantes de A e B. A MEDIATRIZ de AB é o L.G. dos pontos P(x,y) tal que (distância) d(P, A) = d(P, B), isto é, dos pontos eqüidistantes de A e B. Vamos resolver o problema anterior. Vamos resolver o problema anterior. Dados os pontos A(3, 2), B(-2, -4) e o genérico P(x, y), temos: Dados os pontos A(3, 2), B(-2, -4) e o genérico P(x, y), temos: (quadrando a equação) d (P,A) = d (P,B) => (x – 3)²+(y +2)² = (x + 2)² + (y + 4)² => Operando os quadrados e os termos semelhantes, temos: x + 2y – 16 = 0 (quadrando a equação) d (P,A) = d (P,B) => (x – 3)²+(y +2)² = (x + 2)² + (y + 4)² => Operando os quadrados e os termos semelhantes, temos: x + 2y – 16 = 0

64 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 63 37: Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto A(3, -2) sobre a reta (r) 2x – 3y + 14 = 0 Sol: Esquema Sol: Esquema Denominando a projeção de A(x,y) = r s Denominando a projeção de A(x,y) = r s i)Cálculo de: m r = -a / b = -2 / -3= 2 / 3 i)Cálculo de: m r = -a / b = -2 / -3= 2 / 3 ii)Cálculo de m s: Como r s => m s = - 3 / 2 ii)Cálculo de m s: Como r s => m s = - 3 / 2 iii)Cálculo de s: Usando y – y A =m s(x – x A ) => iii)Cálculo de s: Usando y – y A =m s(x – x A ) => s: 3x + 2y – 5 = 0. s: 3x + 2y – 5 = 0. iv) Cálculo de A:A(x,y) = r s (armando sistema com as equações das retas r e s, temos como solução): x = -1 e y = 4 iv) Cálculo de A:A(x,y) = r s (armando sistema com as equações das retas r e s, temos como solução): x = -1 e y = 4 => A (-1, 4) => A (-1, 4) A(3,2) A(x,y) r s

65 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 64 38: Determine as coordenadas do ponto P, simétrico de P(-1,6) em relação à reta (r) 3x-4y +2 =0 Sol: Esquema P(x,y) é simétrico de P em relação à reta r; a reta s é perpendicular a reta r, logo: Coef. angular de r: m r = -a / b = 3 / 4 => m s = - 4/3. Equação da reta s: y – y p = m s(x – x p) => y – 6 = -4/3 (x + 1) => (s): 4x + 3y – 14 = 0. y – 6 = -4/3 (x + 1) => (s): 4x + 3y – 14 = 0. Coordenadas de M: M = r s (sistema) => M(2,2) Coord. P: x m = (x p+x p)/2=> 2=(-1+x p)/2=> x p= 5 ;y m = (y p+y p) / 2=>2 = (6+y p) / 2=>y p= -2. Logo P(5, -2) Logo P(5, -2) P(x,y) P(-1,6) r M(x m;y m) (Médio de PP). s

66 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense65 39: Considere o triângulo ABC, em que a reta AB tem por equação x – 12y +6 = 0, e o vértice C(1, 1). Ache a equação da altura relativa lado AB. Ache a equação da altura relativa lado AB. Sol: Sol: Cálculo de m AB: m AB = -a / b = -1 / -12 = 1/12. Cálculo de m AB: m AB = -a / b = -1 / -12 = 1/12. Cálculo de m DC: Como AB DC => m DC = -12 Cálculo de m DC: Como AB DC => m DC = -12 Cálculo da equação da altura DC : Usando a Eq.Fundamental: Cálculo da equação da altura DC : Usando a Eq.Fundamental: y – y C = m DC(x = x C ) y – y C = m DC(x = x C ) => y – 1 = -12(x – 1) => 12x + y – 13 = 0 => y – 1 = -12(x – 1) => 12x + y – 13 = 0 C(1,1) A B D h

67 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 66 ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS Sejam as retas r e s, e o ângulo agudo entre elas a)Retas não verticais a)Retas não verticais b) Uma reta não possui coef.angular b) Uma reta não possui coef.angular r s x y 0 tg = 1__ m s r s x y 0 tg = m r – m s 1 + mr.ms

68 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense67 NOTAS: 1) Se no cálculo da 1) Se no cálculo da tg obtivermos tg obtivermos tg = 0, isso significa que as retas r e s são paralelas. tg = 0, isso significa que as retas r e s são paralelas. 2) Se o denominador da expressão 2) Se o denominador da expressão m r – m s m r – m s 1 + m r.m s 1 + m r.m s for igual a zero, então o ângulo formado por r e s é 90°. for igual a zero, então o ângulo formado por r e s é 90°.

69 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense68 Ex:40 Determinar os ângulos formados pelas retas. a) r: 2x + y -5 = 0 e s: 3x – y – 5 = 0 a) r: 2x + y -5 = 0 e s: 3x – y – 5 = 0 Sol: i) Cálculo dos coef. Angulares das retas: Sol: i) Cálculo dos coef. Angulares das retas: m r = -a / b = -2 / -1= 2 => m r = 2 m r = -a / b = -2 / -1= 2 => m r = 2 m s = -a / b = -3 /-1 = 3 => m s = 3 m s = -a / b = -3 /-1 = 3 => m s = 3 ii) Aplicando a fórmula do ângulo agudo: ii) Aplicando a fórmula do ângulo agudo: tg = m r – m s = - 2 – 3 = - 5 = 1 tg = m r – m s = - 2 – 3 = - 5 = mr.ms 1 +(-2) mr.ms 1 +(-2).3 -5 => = arc tg 1 => = 45° (Ângulo agudo). => = arc tg 1 => = 45° (Ângulo agudo). O âng. obtuso entre r e s é o suplemento de, ou seja: = 180° - 45°= 135° O âng. obtuso entre r e s é o suplemento de, ou seja: = 180° - 45°= 135°

70 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 69 Ex:41 Dados os pontos A(3, -1), B(1, 3) e C(4, 5), determinar ângulo agudo formada pelas retas AB e BC. Sol: i) Cal. dos coeficientes angulares: Sol: i) Cal. dos coeficientes angulares: m AB = y B – y A = 3 –(-1) = 4 = - 2 m AB = y B – y A = 3 –(-1) = 4 = - 2 x B - x A 1 – 3 -2 x B - x A 1 – 3 -2 m BC = y c – y B = 5 – 3 = 2 m BC = y c – y B = 5 – 3 = 2 x c - x B 4 – 1 3 x c - x B 4 – 1 3 ii) Cal. do ângulo agudo: ii) Cal. do ângulo agudo: tg = m AB – m BC = - 2 – 2/3 = - 8/3 = 8 tg = m AB – m BC = - 2 – 2/3 = - 8/3 = m AB. m BC 1 + (-2).2/3 -1/3 1 + m AB. m BC 1 + (-2).2/3 -1/3 Resp: = arc. tg 8 (Consultando uma tabela: 83°) Resp: = arc. tg 8 (Consultando uma tabela: 83°)

71 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 70 Ex:42 Determine o ângulo agudo formado pelas retas r: x = 3 e s: 3 x + y + 5 = 0. Sol: i) Cal. dos coef. Angulares: Sol: i) Cal. dos coef. Angulares: m r = -a / b = -1 / 0 => r é vertical. m r = -a / b = -1 / 0 => r é vertical. m s = -a / b = - 3 / 1 = - 3. m s = -a / b = - 3 / 1 = - 3. ii) Cál de : ii) Cál de : tg = 1 / l m s l = 1 / l - 3 l = 1 / 3 = 3 / 3 = arc. tg 3 / 3 => = 30° = arc. tg 3 / 3 => = 30°

72 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 71 Ex: 43 Determine a eq da reta r que passa por P(-1, 4) e forma ângulo de 45° com a reta s:4x +y +2 =0. Sol: i) Cal do m s: m s = - a/b = - 4/1= - 4. ii) Cal do m r: tg = m r – m s => tg 45° = mr –(-4) => ii) Cal do m r: tg = m r – m s => tg 45° = mr –(-4) => 1+ mr.ms 1- 4mr 1+ mr.ms 1- 4mr m r + 4 = 1 => a) m r + 4 = -1 => m r = 5 / 3 1 – 4mr 1 – 4mr 1 – 4mr 1 – 4mr b) m r + 4 = 1 => m r = - 5 / 3 b) m r + 4 = 1 => m r = - 5 / 3 1 – 4mr 1 – 4mr iii) Cál da eq da reta r que passa por P(-1,4) e: iii) Cál da eq da reta r que passa por P(-1,4) e: a)mr = 5/3 => y – yp = mr(x – xp) =>y – 4 = 5/3 (x + 1) => 5x- 3y+17=0 5x- 3y+17=0 b) mr = -5/3 =>y – yp = mr(x– xp) =>y – 4 = -5/3 (x + 1) => 3x+5y+17=0 3x+5y+17=0

73 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 72 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dado um ponto P(xp; yp) e uma reta r de equação (r): ax + by + c = 0, a distância entre P e r é dada por: d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l a² + b² a² + b² r P d NOTA: Distância Reta/Origem d(O,r) = l c_l__ a² + b²

74 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 73 Ex:44 Calcular a distância do ponto P(2,1) à reta r: 3x – 4y + 8 = 0. Sol: A d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l Sol: A d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l a² + b² a² + b² onde: a = 3; b = -4; c = 8; x p = 2 e y p = 1. onde: a = 3; b = -4; c = 8; x p = 2 e y p = 1. Logo: d(P,r) = l (-4) l = 10 = 2. 3² + (-4)² 5 3² + (-4)² 5 Resp: d(P,r) = 2 Resp: d(P,r) = 2

75 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense74 Ex:45 Calcular a distância entre as retas r: 12x + 5y + 38 = 0 e s: 12x + 5y + 25 = 0. Sol: i) r // s pois m r = m s = -12 / 5. Sol: i) r // s pois m r = m s = -12 / 5. ii) A distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto P, pertencente a uma delas, até a outra.Para obter P(x,y) r, atribuindo ii) A distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto P, pertencente a uma delas, até a outra.Para obter P(x,y) r, atribuindo x p = 1 => y+25=0=>y p =-10 P(1; -10). x p = 1 => y+25=0=>y p =-10 P(1; -10). iii) Calculando d(P,s) = l (-10)+25l = 1 iii) Calculando d(P,s) = l (-10)+25l = 1 12² + 5² 12² + 5² Logo a d (r,s) = d(P,s) = 1 Logo a d (r,s) = d(P,s) = 1 Resp: d(r,s) = 1 Resp: d(r,s) = 1 NOTA: Distância entre retas //. d = l c r – c s l a² + b²

76 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense75 Ex:46 Calcular a medida da altura relativa ao vértice A do triângulo ABC, onde A(-3;0), B(0; 0) e C(6; 8). Sol: A medida h da altura relativa do ponto A à reta BC: Sol: A medida h da altura relativa do ponto A à reta BC: é h = d(A,BC). Uma equação da reta BC: é h = d(A,BC). Uma equação da reta BC: x y 1 x y = 0 => 8x – 6y = = 0 => 8x – 6y = x – 3y = x – 3y = 0 Cál. de h: Cál. de h: h = d(A,BC) = l 4.(-3) + (-3).0 l = l -12 l = 12 / 5 h = d(A,BC) = l 4.(-3) + (-3).0 l = l -12 l = 12 / 5 4² + (-3)² 5 4² + (-3)² 5 Resp: h = 12 / 5 Resp: h = 12 / 5 A B C h

77 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 76 Ex:47 Determinar o(s) ponto(s) do eixo y que dista(m) 2 unidades da reta r: 15x + 8y + 2 = 0. Sol: Sol: i) P 0y => P(0, a). i) P 0y => P(0, a). ii) Temos que: d(P,r) = 2, assim: ii) Temos que: d(P,r) = 2, assim: l a + 2 l = 2 l 8 a + 2 l = 34 l a + 2 l = 2 l 8 a + 2 l = 34 15² ² + 8 a) 8 a + 2 = 34 => a = 4 a) 8 a + 2 = 34 => a = 4 b) 8 a + 2 = -34 => a = -9/2 b) 8 a + 2 = -34 => a = -9/2 Resp: P(0; 4) e P(0; -9/2) Resp: P(0; 4) e P(0; -9/2)

78 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 77 Ex:48 Calcule k para que a reta 3x + 4y + k = 0 estejam localizada a três unidades de P(5,2). Sol: Usando a fórmula distância ponto/reta: d(P,r) = l a.x p + b.y p + c l a² + b² a² + b² 3 = l k 3 = l k 3² + 4² => l k + 23 l = 15 3² + 4² => l k + 23 l = 15 Logo: i) k + 23 = 15 => k = - 8 Logo: i) k + 23 = 15 => k = - 8 ii) k + 23 = - 23 => k = -38 ii) k + 23 = - 23 => k = -38 Resp: k = -8 ou k = Resp: k = -8 ou k = - 38.

79 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 78 ÁREA DE UM TRIÃNGULO Dados três pontos não colineares A(x A,y A ), B(x B,y B ) e C(x C,y C ), a área S do triângulo formada por esses pontos é dada por: S = ½. l D l onde: D = x A y A 1 x B y B 1 x B y B 1 x C y C 1 x C y C 1 A B C y yB yC yA xA xB xC 0

80 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense79 Ex:49 Determinar a área do triângulo de vértices A(2,5(, B(0,1) e C(3,6). Sol: Sol: i) Cal. de D: D = = 2 i) Cal. de D: D = = Cal. da área: Cal. da área: A = ½ lDl = ½.l2l = 1 A = ½ lDl = ½.l2l = 1 Resp: A = 1 u.a. Resp: A = 1 u.a.

81 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 80 Ex:50 Calcule a área do quadrilátero de vértices A(1,0) B(5,0), C(4,2) e D(0,3). Sol: Representa-se os pontos no plano. Sol: Representa-se os pontos no plano. ii) Forma-se um det. com as coordenadas ii) Forma-se um det. com as coordenadas D = 5 0 = 19 Área = ½.lDl = ½.l19l D = 5 0 = 19 Área = ½.lDl = ½.l19l Área = 19 / 2 u.a. 0 3 Área = 19 / 2 u.a A C D B Sentido das linhas do determinante

82 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense81 Ex:51 Determinar a área do triângulo limitado pelas retas r: y = 2x; s: y = 4x-8 e t: y = -2x+ 4. Sol: Os vértices do triângulo são os pontos: {E} = r s; {F} = r t e {G} = s t.Todos os vértices são determinados formando sistemas com os pares de retas:onde: Sol: Os vértices do triângulo são os pontos: {E} = r s; {F} = r t e {G} = s t.Todos os vértices são determinados formando sistemas com os pares de retas:onde: E = (4, 8); F = (1, 2) e G(2, 0). E = (4, 8); F = (1, 2) e G(2, 0). Daí então a Área = ½. lDl = ½ l12l = 6 Daí então a Área = ½. lDl = ½ l12l = 6 Resp: Área = 6 u.a. Resp: Área = 6 u.a. Nota: D é o determinante dos vértices E, F e G Nota: D é o determinante dos vértices E, F e G

83 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense82 Retas Bissetrizes (b1 e b2) dos ângulos entre duas Retas Concorrentes (r e s) y P(x p,y p) s r x 0 b1 b2 Sejam as retas concorrentes: r : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 s : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 Seja P(x p,y p) um ponto genérico de uma das bissetrizes (b 2 ). Se P(x,y) b 2, então d (Pr) = d (Ps), isto é: l a 1 xp+b 1 yp+c 1 l =l a 2 xp+b 2 yp+c 2 l a 1 ² + b 1 ² a 2 ² + b 2 ² As equações de b 1 e b 2 são: a 1 xp+b 1 yp+c 1 = a 2 xp+b 2 yp+c 2 a 1 ² + b 1 ² a 2 ² + b 2 ² a 1 xp+b 1 yp+c 1 a 2 xp+b 2 yp+c 2 = 0 ou a 1 ² + b 1 ² a 2 ² + b 2 ²

84 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 83 Ex:52 Obter as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas (r) 3x + 4y -1= 0 e (s) 12x – 5y = 0. Sol: Pela teoria, temos: Sol: Pela teoria, temos: 3x + 4y -1 12x – 5y = 0 => 3x + 4y -1 12x – 5y = 0 3x + 4y -1 12x – 5y = 0 => 3x + 4y -1 12x – 5y = 0 3² + 4² 12²+5² ² + 4² 12²+5² 5 13 => 13 ( 3x + 4y -1 ) 5 (12x – 5y ) = 0, de onde => 13 ( 3x + 4y -1 ) 5 (12x – 5y ) = 0, de onde Obtemos: 99x + 27y – 13 = 0 ou -21x + 77y – 13 = 0 Obtemos: 99x + 27y – 13 = 0 ou -21x + 77y – 13 = 0 NOTA: Observe que as bissetrizes são perpendiculares,pois; NOTA: Observe que as bissetrizes são perpendiculares,pois; m1 = - 99 / 27 = - 11 / 3 e m2 = -21 / 77 = 3 / 11 => m1 = - 99 / 27 = - 11 / 3 e m2 = -21 / 77 = 3 / 11 => => m1. m2 = -1 => b1 b2. => m1. m2 = -1 => b1 b2.

85 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 84 Ex:53 Qual é a bissetriz do ângulo agudo formado pelas retas r: 2x + 3y -1 =0 e s: 3x +2y + 1 = 0? Sol: i) Obtemos as duas bissetrizes: Sol: i) Obtemos as duas bissetrizes: 2x + 3y - 1 3x +2y + 1 = 0 2x + 3y - 1 3x +2y + 1 = 0 2² + 3² 3² + 2² 2² + 3² 3² + 2² => (2x + 3y - 1 ) (3x +2y + 1) = 0 de onde temos: => (2x + 3y - 1 ) (3x +2y + 1) = 0 de onde temos: (b1) 2x + 3y x +2y + 1 = 0 => x + y = 0 (b1) 2x + 3y x +2y + 1 = 0 => x + y = 0 (b2) 2x + 3y x -2y - 1 = 0 => x – y + 2 = 0 (b2) 2x + 3y x -2y - 1 = 0 => x – y + 2 = 0 ii) Qual delas é a bissetriz do ângulo agudo? ii) Qual delas é a bissetriz do ângulo agudo? Tomamos um ponto qualquer P r e calculamos dPb1 e dPb2. A menor distância corresponde a bissetriz do ângulo agudo. Tomamos um ponto qualquer P r e calculamos dPb1 e dPb2. A menor distância corresponde a bissetriz do ângulo agudo. Na equação r, se x p = 2 => y p = -1, logo: P(2; -1). Na equação r, se x p = 2 => y p = -1, logo: P(2; -1). Daí então: d Pb1 = 1 / 2 e d Pb2 = 5/ 2 Daí então: d Pb1 = 1 / 2 e d Pb2 = 5/ 2 => d Pb1 Resp: (b1) x + y = 0 => d Pb1 Resp: (b1) x + y = 0

86 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 85 EQUAÇÃO DO FEIXE DE RETAS PARALELAS Definição: Dada uma reta (r) a x + b y + c = 0, (r) a x + b y + c = 0, uma equação do feixe de retas paralelas a r uma equação do feixe de retas paralelas a r é (r): a x + b y + k = 0, é (r): a x + b y + k = 0, onde k varia em. onde k varia em. Retas Paralelas possuem o mesmo coeficiente angular ou não possuem. r y x k/a r c / a

87 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense86 Ex:54 Dada a reta r: 3x + 4y + 1 = 0, determinar: a) uma equação do feixe de retas paralelas a r a) uma equação do feixe de retas paralelas a r b) Obter uma equação do feixe,que dista 6 unidades do ponto P(-2;7). b) Obter uma equação do feixe,que dista 6 unidades do ponto P(-2;7). Sol: a) Uma reta do feixe de paralelas a r é: ( r): 3x +4y +k = 0. b) Para obter k de modo que o ponto P diste 6 unidades de uma reta do feixe, resolve-se a equação: b) Para obter k de modo que o ponto P diste 6 unidades de uma reta do feixe, resolve-se a equação: d (Pr) = 6 => l 3(-2) k l = 6 l22 + k l = 6 d (Pr) = 6 => l 3(-2) k l = 6 l22 + k l = 6 3² + 4² 5 3² + 4² 5 l 22 + k l = 30. Logo obtemos: l 22 + k l = 30. Logo obtemos: i) 22 + k = 30 => k = 8 i) 22 + k = 30 => k = 8 ou ii) 22 + k = - 30 => k = ou ii) 22 + k = - 30 => k = Resp: Temos então duas retas do feixe distante 6 u de r: (r): 3x + 4y + 8 = 0 e (r): 3x + 4y – 52 = 0 (r): 3x + 4y + 8 = 0 e (r): 3x + 4y – 52 = 0

88 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 87 FEIXE DE RETAS CONCORRENTES NUM PONTO Def. Feixe de retas concorrentes num ponto é um conjunto de infinitas retas concorrentes num mesmo ponto C(x o,y o ). Def. Feixe de retas concorrentes num ponto é um conjunto de infinitas retas concorrentes num mesmo ponto C(x o,y o ). Dizemos que o feixe está definido, quando são conhecidas duas de suas retas ou então o centro do feixe. C X o y o y x

89 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense88 Equação Cartesiana de um Feixe de Retas de Centro C(xo,yo). Seja C(xo,yo) o ponto comum (centro) a todas a retas do feixe e P(x,y) um ponto genérico de uma das retas do feixe (não perpendicular a 0x). Sendo m o coeficiente angular da reta tomada, teremos: m = (y – yo) / (x – xo) => Seja C(xo,yo) o ponto comum (centro) a todas a retas do feixe e P(x,y) um ponto genérico de uma das retas do feixe (não perpendicular a 0x). Sendo m o coeficiente angular da reta tomada, teremos: m = (y – yo) / (x – xo) => y – y o = m (x – x o), y – y o = m (x – x o), que a medida que se atribua valores m, obtém-se a eq. de todas as retas que passam por C, com exceção da reta vertical do feixe, que tem como equação x = x o. que a medida que se atribua valores m, obtém-se a eq. de todas as retas que passam por C, com exceção da reta vertical do feixe, que tem como equação x = x o.

90 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense89 FEIXE DE RETAS CONHECIDAS DUAS RETAS Sejam as retas (r) a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 e Sejam as retas (r) a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 e (s) a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, concorrentes, que definem o feixe de retas de centro (s) a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, concorrentes, que definem o feixe de retas de centro C(x o,y o ). Afirmamos que: C(x o,y o ). Afirmamos que: A equação do feixe de retas concorrentes em C(x o,y o ) é: A equação do feixe de retas concorrentes em C(x o,y o ) é: (a 1 x + b 1 y + c 1 )+ (a 2 x + b 2 y + c 2 )= 0 (a 1 x + b 1 y + c 1 )+ (a 2 x + b 2 y + c 2 )= 0 ( e ). ( e ).

91 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 90 Ex:55 Determinar uma equação do feixe de retas concorrentes de centro C(4,6). Sol: i) Iniciamos obtendo as eq de duas retas distintas deste feixe. As mais simples são a vertical x = 4 x – 4 = 0(I) e a horizontal y = 6 y – 6 = 0 (II). Sol: i) Iniciamos obtendo as eq de duas retas distintas deste feixe. As mais simples são a vertical x = 4 x – 4 = 0(I) e a horizontal y = 6 y – 6 = 0 (II). Multiplicando ambos os membros de (I) por um parâmetro real, as de (II) por e adicionando membro a membro estas duas equações, obtemos uma equação do feixe: (x – 4) + (y – 6) = 0. Multiplicando ambos os membros de (I) por um parâmetro real, as de (II) por e adicionando membro a membro estas duas equações, obtemos uma equação do feixe: (x – 4) + (y – 6) = 0.

92 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 91 Ex:56 Obter uma equação do feixe de retas concorrentes que contém as retas r: 2x – y + 3 = 0 e s: x + 4y = 0. Sol: Sendo 2x – y + 3 = 0 (i) e x + 4y = 0 (ii) ; Sol: Sendo 2x – y + 3 = 0 (i) e x + 4y = 0 (ii) ; Multiplicando ambos membros de (i) por e por ambos membros de (ii), onde e são reais e não simultaneamente nulos, obtém-se: Multiplicando ambos membros de (i) por e por ambos membros de (ii), onde e são reais e não simultaneamente nulos, obtém-se: (2x – y + 3 ) = 0 e (x + 4y ) = 0. (2x – y + 3 ) = 0 e (x + 4y ) = 0. Adicionando membro a membro essas equações, obtemos uma equação do feixe: Adicionando membro a membro essas equações, obtemos uma equação do feixe: (2x – y + 3 ) + (x + 4y ) = 0. (2x – y + 3 ) + (x + 4y ) = 0.

93 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 92 Ex:57 Obter o centro do feixe de retas concorrentes (2x + y – 3) +(x – y + 6)=0, em que e são reais não simultaneamente nulos. Sol: Para obter as equações de duas retas distintas desse feixe, basta atribuir valores a e não simultaneamente nulos. Por exemplo: = 1 e = 0 => 2x + y – 3 = 0 ( i ) = 1 e = 0 => 2x + y – 3 = 0 ( i ) = 0 e = 1 => x – y + 6 =0 ( ii ). = 0 e = 1 => x – y + 6 =0 ( ii ). As equações (i) e (ii) representam duas eq do feixe. Resolvendo o sistema formado com as duas equações encontramos o centro do feixe, ou seja: x = -1 e y = 5. Logo C(-1, 5)

94 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense93 Inequações do 1º grau com duas variáveis Uma inequação do 1º grau com duas variáveis admite infinitas soluções, que podem ser representadas apenas graficamente. Uma inequação do 1º grau com duas variáveis admite infinitas soluções, que podem ser representadas apenas graficamente. Ex: 2x – y 0; x - 2y > 0;8y – 1/3 x 0. Ex: 2x – y 0; x - 2y > 0;8y – 1/3 x 0. y x x y y x y x y x y x x

95 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 94 Ex:58 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pelas inequações: a) x 4 a) x 4 Sol: a)abscissas menores que 4; b) abscissas= 4; c) abscissas>4 Sol: a)abscissas menores que 4; b) abscissas= 4; c) abscissas>4 a) x 4 a) x 4 y x 4 y x 4 y x 4

96 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 95 Ex:59 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pelas inequações: a) y < 3 b) y 2 Sol: a) Ordenadas menores que 3 b) Ordenadas menores ou iguais a 2 x y 3 x y 2

97 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense96 Ex:60 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pelas inequações: a) y < 2x + 4 b) y 2x + 4 a) y < 2x + 4 b) y 2x + 4 Sol: a) Semiplano dos pontos abaixo (< ) Sol: a) Semiplano dos pontos abaixo (< ) da reta origem (y = 2x + 4). da reta origem (y = 2x + 4). b) Semiplano da união dos pontos dar b) Semiplano da união dos pontos dar reta origem com o conjunto dos pontos reta origem com o conjunto dos pontos acima ( ) dessa reta. acima ( ) dessa reta. y x 4 -2 x y 4

98 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 97 Ex:61 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pela inequação y -3x + 6. Sol: Iniciamos representando a reta origem do semiplano y = -3x + 6 (atribuímos dois valores a x) no PC. O semiplano determinado pela inequação y -3x + 6 é a união da reta origem (=) com o conjunto dos pontos acima (>) dessa reta. Veja o gráfico abaixo. Sol: Iniciamos representando a reta origem do semiplano y = -3x + 6 (atribuímos dois valores a x) no PC. O semiplano determinado pela inequação y -3x + 6 é a união da reta origem (=) com o conjunto dos pontos acima (>) dessa reta. Veja o gráfico abaixo. y x 6 2 0

99 A Reta-LevePrfPraCasa- Prof.EdRBsa-ColCascavelense 98 Ex:62 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pela inequação: 2x – y – 5 > 0. 2x – y – 5 > 0. Sol: Isolamos a variável y na inequação: Sol: Isolamos a variável y na inequação: 2x – y – 5 > 0 => – y > -2x + 5 => 2x – y – 5 > 0 => – y > -2x + 5 => y < 2x – 5. Procedemos a seguir, da y < 2x – 5. Procedemos a seguir, da mesma forma do ex. 61, considerando os pontos abaixo (<) da equação origem (y = 2x – 5). Veja gráfico: Veja gráfico: y x 0 5/2 -5

100 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 99 Ex:63 Representar no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfaçam o seguinte sistema de inequações: x – y + 1 > 0 y – 2 0 y – 2 0 Sol: Isolando a variável y nas inequações, temos: y < x + 1 (i); e y 2 (ii). Representamos as inequações no mesmo PC e verificamos os pontos da interseção dos semiplanos. Veja figura. => (i) 1 x y (ii) (i) 1 x y (ii) Resp:

101 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa- ColCascavelense 100 Conteúdo Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi) Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi) Produção e Diagramação Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi) Revisão Final Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi) Realização Colégio Cascavelense


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