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UFES Cortes (cut-sets). UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por arestas Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção.

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1 UFES Cortes (cut-sets)

2 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por arestas Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse conjunto também desconecte G

3 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por arestas rank de um grafo: r = n - (G) Subconjunto minimal de arestas de maneira a garantir a conexidade de cada componente do grafo corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção reduz o rank de um grafo de uma unidade.

4 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por arestas corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção acarreta uma partição no grafo.

5 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por Aresta (Bondy & Murty) Para subconjuntos S e S de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´

6 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por Aresta (Bondy & Murty) Para subconjuntos S e S de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´ Seja C um subconjunto de E da forma [S, S´], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S´=V-S

7 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte de arestas (bond) Se C é minimal, então C é um corte de arestas de G. Se G é conexo, então C é um subconjunto minimal de E tal que G-C é desconexo.

8 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Propriedades Todo corte de arestas de um grafo conexo G deve conter pelo menos uma aresta de toda árvore geradora de G; Em um grafo conexo G, qualquer conjunto minimal de arestas contendo pelo menos uma aresta de qualquer árvore geradora de G é um corte de arestas; Todo ciclo possui um número par de arestas em comum com qualquer corte de arestas

9 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo: G

10 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo: G b a

11 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo: G b a Conjunto de arestas que desconecta o grafo!

12 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo: G b a Mas não é minimal!!!

13 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo: G b a É um corte de arestas (bond)!!

14 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Cotree Se H é um subgrafo de G, o complemento de H em G, denotado por H é o subgrafo G-E(H). Se G é conexo, e T é uma árvore geradora de G, então T é dita cotree de G

15 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Teorema: Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de T. Então: a)a cotree T não contém corte de aresta de G; b)T + a contem um único corte de arestas de G.

16 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Prova Exercício!!!!!!!!!!

17 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte de vértices Subconjunto minimal de vértices V´ V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo. G – V´: desconexo ou nulo e subconjunto próprio V´´ V´, G – V´´ é conexo e não nulo.

18 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Conectividade e Separabilidade

19 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Conectividade de arestas Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G)) K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade. K´(T) = ????, onde T é uma árvore.

20 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Conectividade de vértices O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G)) K(T) = ????, onde T é uma árvore. Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos.

21 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Conectividade de vértices K´(G) = K(G) = 0, G desconexo K(G) n – 2, G Kn

22 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Grafo separável Um grafo G é dito separável quando K(G) = 1. Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum.

23 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Articulação Vértice cuja remoção desconecta o grafo.

24 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Teorema Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então: a) Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y v, tais que todo caminho entre x e y passa por v; b) Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G.

25 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Exemplo Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas, e n-1. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais? Maior conectividade de vértices e arestas

26 UFES Exemplo n = 8 e m = 16 K(G) = ? K'(G) = ?

27 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Teorema A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o menor grau de G

28 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Prova Seja w o vértice de grau mínimo de G ( ) É possível desconectar G, removendo-se as arestas incidentes a w. K´(G)

29 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Teorema A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de arestas de G

30 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Questão Sejam G = (V,E) um grafo e E´ um corte de arestas de G. É sempre possível encontrar um corte de vértices V´ tal que |V´| |E´|?

31 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) G, K(G) K´(G)

32 UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corolário Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém pelo menos duas arestas

33 UFES Teoria dos Grafos Teorema O valor máximo de K(G) de um grafo G = (V,E), com n vértices e m arestas (m n-1) é 2m/n


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