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Colégio Prioridade Hum
Colégio Futuro Vip Geometria Espacial Profº João Fábio
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Poliedros Poliedros são sólidos limitados por porções de planos (polígonos planos) denominadas faces.
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E entre duas faces adjacentes estão as arestas, . . .
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E entre duas faces adjacentes estão as arestas, segmentos de reta cujas extremidades são os vértices do poliedro.
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CUBO
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Outros sólidos
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TETRAEDRO REGULAR
22
OCTAEDRO REGULAR
33
Planificações
34
CUBO
37
QUADRADOS
39
LADO
40
VÉRTICES A B O C D N E M L F J G I H
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TETRAEDRO REGULAR
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OCTAEDRO REGULAR
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Relação de Euler V + F = A + 2
Uma igualdade descoberta por Euler em 1751 relaciona os números V de vértices, F de faces e A de arestas. V + F = A + 2
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Exemplo: OCTAEDRO
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Número de Vértices = 6 → V = 6
Exemplo: OCTAEDRO Dados: Número de faces = 8 → F = 8 Número de Vértices = 6 → V = 6
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Exemplo: OCTAEDRO Dados: Número de faces = 8 → F = 8
Número de Vértices = 6 → V = 6 Vamos calcular o número de arestas através da relação de Euler . . .
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Exemplo: OCTAEDRO Relação de Euler V + F = A + 2
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Exemplo: OCTAEDRO Relação de Euler V + F = A + 2 6 + 8 = A + 2
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Exemplo: OCTAEDRO Relação de Euler V + F = A + 2 6 + 8 = A + 2
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Exemplo: OCTAEDRO Relação de Euler V + F = A + 2 6 + 8 = A + 2
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Exemplo: OCTAEDRO Relação de Euler V + F = A + 2 6 + 8 = A + 2
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Exemplo: OCTAEDRO Relação de Euler V + F = A + 2 6 + 8 = A + 2
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Exemplo: OCTAEDRO Relação de Euler V + F = A + 2 6 + 8 = A + 2
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Vamos ver outro problema !!!
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O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12
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O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12
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O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12
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O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: V = F a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12
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O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: V = F a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12 A = 22
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Substituindo na relação de Euler temos:
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: V = F a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12 A = 22 Substituindo na relação de Euler temos:
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Substituindo na relação de Euler temos:
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: V = F a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12 A = 22 Substituindo na relação de Euler temos: V + F = A + 2
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Substituindo na relação de Euler temos:
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: V = F a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12 A = 22 Substituindo na relação de Euler temos: V + F = A + 2 F + F =
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Substituindo na relação de Euler temos:
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: V = F a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12 A = 22 Substituindo na relação de Euler temos: V + F = A + 2 F + F = 2F = 24
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Substituindo na relação de Euler temos:
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: V = F a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12 A = 22 Substituindo na relação de Euler temos: V + F = A + 2 F + F = 2F = 24
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Substituindo na relação de Euler temos:
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: V = F a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12 A = 22 Substituindo na relação de Euler temos: V + F = A + 2 F + F = 2F = 24 F = 12
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Substituindo na relação de Euler temos:
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então o número de faces do poliedro é: V = F a. 6 b. 10 c. 8 d. 11 e. 12 A = 22 Substituindo na relação de Euler temos: V + F = A + 2 F + F = 2F = 24 F = 12
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ATENÇÃO !!!
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A B D C
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3 Arestas A B D C
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A 3 Arestas B D C
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A B D C 3 Arestas
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A 3 Arestas B D C
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3 Arestas A 3 Arestas 3 Arestas B D C 3 Arestas
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A B D C
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4 x 3 arestas = 12 arestas A B D C
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12 ÷ 2 = 6 arestas 4 x 3 arestas = 12 arestas A B D C
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Pirâmide de base quadrangular
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A E D B C
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4 Arestas A E D B C
83
A E D B C 3 Arestas
84
A E D B C 3 Arestas
85
A 3 Arestas E D B C
86
A 3 Arestas E D B C
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4 x 3 arestas (B, C, D e E) + 4 arestas (A)
TOTAL de ARESTAS 16 ÷ 2 = 8 E D B C
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De forma geral, temos: 3V3 + 4V4 + 5V = 2A
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Ou ainda : 3F3 + 4F4 + 5F = 2A
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A B D C
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A B D C
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A B D C
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Beleza ???
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8 = 2A
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8 = 2A = 2A
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8 = 2A = 2A 32 = 2A
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8 = 2A = 2A 32 = 2A A = 16
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A V + F = A + 2 a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8 = 2A = 2A 32 = 2A A = 16
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A V + F = A + 2 a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8 9 + F = = 2A = 2A 32 = 2A A = 16
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A V + F = A + 2 a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8 9 + F = = 2A 9 + F = 18 = 2A 32 = 2A A = 16
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A V + F = A + 2 a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8 9 + F = = 2A 9 + F = 18 = 2A F = 32 = 2A A = 16
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A V + F = A + 2 a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8 9 + F = = 2A 9 + F = 18 = 2A F = 32 = 2A F = 9 A = 16
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Um poliedro convexo de 9 vértices possui 4 ângulos triédricos e 5 ângulos tetraédricos. Assim, o número de faces do poliedro é: 3V3 + 4V4 = 2A V + F = A + 2 a. 12 b. 11 c. 10 d. 9 e. 8 9 + F = = 2A 9 + F = 18 = 2A F = 32 = 2A F = 9 A = 16
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Todo poliedro convexo é Eureliano
Todo poliedro convexo é Eureliano. Porém, nem todo poliedro Eureliano é convexo. POR EXEMPLO . . .
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V + F = A + 2 =
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Poliedros de Platão
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Todas as faces têm o mesmo número de arestas;
Um poliedro é chamado de poliedro de Platão quando preenche as seguintes condições: Todas as faces têm o mesmo número de arestas; De todos os vértices concorrem a mesma quantidade de arestas; Vale a relação de Euler.
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Não é um poliedro de platão.
Prisma Triângular Não é um poliedro de platão.
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VALEU !!!
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