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Euler e a Análise Combinatória Em 1779 Euler apresentou uma solução original para um curioso problema… E introduziu um novo método de ataque a problemas.

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1 Euler e a Análise Combinatória Em 1779 Euler apresentou uma solução original para um curioso problema… E introduziu um novo método de ataque a problemas matemáticos: O Método Recursivo

2 O Problema Quantas maneiras tenho de trocar as quatro rodas do meu carro de forma a que nenhuma fique na mesma posição?

3 O Problema Ou mais geralmente: Se tiver N pessoas alinhadas quantas maneiras tenho de mudar as suas posições de maneira a que nenhuma fique no mesmo sítio?

4 Euler colocou assim o problema Dadas N letras a b c d e … quantas maneiras há de as trocar de modo a que nenhuma fique onde estava

5 E começou por baptizar esse número Número de maneiras para letras =

6 A seguir contou quantas dessas maneiras tinham b na primeira posição Uma maneira de por b na primeira posição é trocar o b com o a. Quantas haverá que trocam o b com o a?

7 E encontrou a resposta… Tantas quantas as maneiras de trocar as restantes N – 2 letras de modo a que nenhuma fique na mesma posição: b a d f c … Ou seja:

8 E quantas com b na primeira posição mas sem o a na segunda? b a c d e f … O b está bem mas, das restantes N -1, nenhuma pode ficar na mesma posição…

9 Claro… O número é:

10 Então… Com b na primeira posição há: maneiras de fazer a troca…

11 Mas… Na primeira posição podem ficar N – 1 letras: b, c, d, e,… Ora para cada uma delas o número de casos é o mesmo que o que encontramos para b, ou seja:

12 Finalmente… Uma fórmula Recursiva… porque…

13 Recursiva porque… Sabemos o número de trocas para N à custa, ou com recurso, ao número de trocas para N – 1 e N – 2…

14 Assim… Para duas letras é: Para três letras é: ( 3) = 2 (c a b) e ( b c a) (b a)

15 E agora usando a fórmula recursiva… (2) = 1 (3) = 2 (4) = 3 [ ] = 9 (5) = 4 [ ] = 44 … = 11 [ ] = = 176,214,841

16 Aqui Euler notou que… (2) = 1 (3) = 3 * (2) -1 = 2 (4) = 3 [ ] = 9 = 4 * (3) + 1 (5) = 4 [ ] = 44 = 5 * (4) – 1 Isto é que: (n) = n * ( n – 1 ) + (-1)^n Fórmula recursiva mais simples…

17 Da segunda obtém-se facilmente a primeira: (n) = n * ( n – 1 ) + (-1)^n (n-1) = (n-1) * ( n – 2 ) + (-1)^(n-1) Agora basta somar as igualdades e passar o ( n - para o segundo membro

18 Da primeira obtém-se também a segunda pode ser reescrito: ^ ( ^ ( ^

19 Euler notou que… é fácil provar, por indução, que: ! [ 1)^ x

20 Assim a probabilidade de, ao fazer o rearranjo de N objectos, nenhum ficar na mesma posição é: p(N) = [ 1)^ x que tende para 1/e quando N -->

21 Isto permite-nos montar uma experiência para calcular um valor aproximado de e recorrendo a uma experiência aleatória. p(5)= e dá-nos o valor de 1/e com erro inferir a 1/6! < 0,002 por defeito; donde se tira: 1/(p(5)+0,002) < e < 1/p(5)

22 e logo: 1 / p(5) dá o valor de e com erro inferior a 0,002.

23 Vamos então calcular aproximadamente p(5) sorteando aleatoriamente, e um número suficientemente grande de vezes, os números de 1 a 5 e contando, em cada dessas vezes, em quantas nenhum i saiu na extracção i.

24 Autor - José António Veiga de Faria Autor - José António Veiga de Faria fontes: fontes: Euler The Master of Us All de William Dunham Euler The Master of Us All de William Dunham A History of Mathmatics de Carl Boyer e Uta Merzbach A History of Mathmatics de Carl Boyer e Uta Merzbach Wikipedia Wikipedia


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