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S imbolização Edgar Dias Nuno Santos Sílvia Dias 3 de Junho de 2006 Didáctica da Álgebra Prof. Dr. João Pedro da Ponte Faculdade de Ciências da Universidade.

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1 S imbolização Edgar Dias Nuno Santos Sílvia Dias 3 de Junho de 2006 Didáctica da Álgebra Prof. Dr. João Pedro da Ponte Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

2 Representações Internas Externas Estruturas mentais humanas destinadas a codificar, armazenar, recolher ou transformar informação Artefactos humanos criados para pensar ou transmitir informação relacionada com um contexto distinto desses artefactos. (Izsák, 2003) Podem ser mais ou menos icónicas (Janvier, Girardon, & Morand, 1993, p.82) Não icónico simbólico A maioria das representações matemáticas dão não icónicas Relação entre os dois tipos de representações HomonimiaSinonimia (translacção) Rep. Ext. Rep. Int. 1 Rep. Int. 2 2x2x Rep. Int. Rep. Ext. 1 Rep. Ext. 2 Função x 2 y=x2y=x2 f(x)=x 2 Simbolização n.º2

3 Definição Símbolo São entidades que representam ou tomam o lugar de qualquer coisa diferente. (…) podem assumir uma variedade de formas, desde objectos concretos a marcas escritas no papel. (Hiebert, 1988) Copiável Não copiável Pode ser produzido por pessoas diferentes em diferentes ocasiões sem perder a sua identidade. Perde a sua identidade com pequenas alterações nas suas características físicas. (Goodman, 1968 em Hiebert, 1988) Re-presentação é uma das funções dos símbolos copiáveis. Simbolização n.º3

4 Sentido de Símbolo Componentes mais importantes: Fazer amizade com os símbolos; Capacidade de manipular e de ler através de expressões simbólicas; Consciência de que os símbolos podem representar relações simbólicas que expressam uma determinada informação; Capacidade de seleccionar uma possível representação simbólica; Consciência da necessidade de rever os significados dos símbolos durante uma actividade; Consciência de que os símbolos podem desempenhar papeis distintos, variando de acordo com o contexto. Simbolização n.º4

5 Sentido de Símbolo A caracterização da ideia não está completamente desenvolvida. Como se desenvolve nas crianças o sentido dos símbolos? Não é apenas cognitivo. Está fortemente ligado à cultura de sala de aula; Torná-los objecto de discussão na aula; Estimular a expressão de percepções subjectivas acerca dos símbolos; Respeitar e estimular ideias parcialmente desenvolvidas; O que podemos fazer? Acções desprovidas de significado Aplicação do sentido comum em busca de significados Simbolização n.º5 Nem sempre nos preocuparmos em obter a resposta certa; Ser competente em álgebra escolar consiste em... Ter paciência intelectual.

6 Desenvolvimento de competências Teorias para... Simbolização n.º6 Hiebert (1988) Considerações cognitivas (sem descurar o aspecto emotivo) Sucessão sequencial de 5 processos cognitivos: 1 – Conexão entre os símbolos individuais e seus referentes 2 – Desenvolvimento de procedimentos de manipulação simbólica 3 – Elaboração de procedimentos para símbolos 4 – Mecanização de procedimentos para manipulação simbólica 5 – Uso de símbolos e regras como referentes para construir sistemas simbólicos mais abstractos Mason (1980) – Esquema de Mason Doyle (1988) – Ênfase no tipo de tarefas propostas aos alunos

7 Exemplo de um Estudo We Want a Statement That Is Always True: Criteria for Good Algebraic Representations and the Development of Modeling Knowledge Izsák, 2003 Questão do estudo Como é que os alunos constroem as suas próprias soluções para modelar problemas sem apoio directo de elementos mais experientes? (Izsák, 2003) Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º7

8 Desenvolvimento do conhecimento para Modelação algébrica Modelação Matemática: (a)Examinar vários atributos de um contexto matemático, físico ou social particular; (b)Relacionar um subconjuntos destes atributos através de operações aritméticas, funções, ou outras estruturas matemáticas; (c)Usar as representações resultantes para resolver problemas. Enquadramento teórico que emergiu do trabalho dos alunos com o winch Avaliar Representações Construir Representações Usar Representações Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º8

9 Metodologia Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º9 12 pares de alunos do 8º ano de uma escola da área da Baía de S Francisco Participantes 1º verbalizar de forma clara e pormenorizada os raciocínios que realizavam e cada momento e à medida que iam progredindo 2º Construir novo conhecimento de modelação durante as primeiras entrevistas 3º Voltar a usar o novo conhecimento construído nas entrevistas seguintes Estudo de Caso da Amy e da Kate Instrumentos de recolha de dados Entrevistas video-gravadas (1 vez por semana durante 4 a 5 semanas) 3 tipos de tarefas: -Prever a distância vertical entre os dois pesos após um determinado número de voltas; -Determinar, se possível, o momento em que: - a altura de um peso é o dobro da altura do outro; -os dois pesos estão à mesma altura.

10 Análise do Trabalho da Amy e da Kate Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º10 Fase I – Construção das representações algébricas para as alturas de cada peso e para as distâncias verticais entre os dois pesos; Fase II – Dificuldades iniciais no uso de representações algébricas para determinar quando é que a altura de um peso seria o dobro da altura do outro; Fase III – Previsão do momento em que os dois pesos se encontram à mesma altura com confirmação dessas previsões substituindo valores nas equações; Fase IV – Aperfeiçoamento e reorganização do conhecimento da Kate para construir, usar e avaliar representações que lhe permitissem resolver equações para determinar o momento de determinado acontecimento. Divisão em 4 fases (cronológicas) Questão 4: Suponham, outra vez, que têm uma winch com 100-inch de altura. Será que um dos pesos alguma vez se encontrará ao dobro da altura do outro? Se sim, quando?

11 Análise do Trabalho da Amy e da Kate Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º11 Fase IV Avaliar Representações Sempre verdadeiro (Amy) Equações únicas (Amy/ Kate) Construir Representações Altura menor é igual à distância vertical dos dois pesos (Amy/ Kate) Usar Representações Não usaram Avaliar Representações Equações únicas (Kate) Construir Representações Altura menor é igual à distância vertical dos dois pesos (Kate) Usar Representações Resolvido para n (Kate)

12 Considerações Finais Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º12 A Kate e a Amy aprenderam a: -distinguir equações que são verdadeiras para qualquer valor atribuído à variável independente de equações que restringem a variável independente a um valor único; -Resolver este último tipo de equações para determinar quando é que ocorre uma determinada situação ocorre no modelo físico. Desta análise emergem dois resultados: -Os alunos têm e podem usar critérios para avaliar representações algébricas; -Desenvolvimento de um quadro teórico que explica como os alunos podem desenvolver o conhecimento de modelação através da coordenação destes critérios com o conhecimento para construir e usar representações algébricas.

13 Considerações Finais Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º13 Implicações para outros estudos: Desenvolvimento de tarefas e materiais que apoiem discussões em que os conhecimentos de modelação possam ser mais visíveis para investigadores, professores e alunos Implicações pedagógicas: Importância das discussões gerais, na sala de aula, sobre as relações existentes entre as representações e os contextos modelados e o uso de representações para atingir os objectivos da resolução de problemas;

14 Referências Bibliográficas Simbolização n.º14 Arcavi, A.(1994). Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics, 14(3), Arcavi, A.(2005). El desarrollo y el uso del sentido de los símbolos, Actas de Caminha. Hiebert, J.(1988). A theory of developing competence with written mathematical symbols. Educational Studies in Mathematics, 19, Izsák, A.(2003). We want a statement that is always true: Criteria for good algebraic representations and the development of modelling knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 34(3), Janvier, C., Girardon, C., & Morand, J.-C.(1993). Mathematical symbols and representations. In P.S. Wilson (ED.), Research ideas for the classroom: High school mathematics (pp ). Reston: NCTM.


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