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Estatística amintas paiva afonso. Quando trabalhamos com grandes conjuntos de dados, muitas vezes é útil organizar e resumir os dados para fornecer informações.

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1 Estatística amintas paiva afonso

2 Quando trabalhamos com grandes conjuntos de dados, muitas vezes é útil organizar e resumir os dados para fornecer informações úteis e facilitar a sua visualização e seu entendimento DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA (EM CLASSE) Introdução

3 É um grupamento de dados em classes, exibindo o número ou porcentagem de observações em cada classe. Uma distribuição pode ser apresentada em forma gráfica ou tabular. 40 Número de carros Frequência de revendedores Histograma do número de carros vendido para as revendedoras Distribuições de frequências (em classe)

4 Tabelas de Frequência Resumo de dados em Tabelas de frequência O número de elementos distintos é grande, o que dificulta a análise. Exemplo: Análise da altura da turma. A finalidade é agrupar dados!

5 Um engenheiro da área de vendas de uma montadora selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo Brasil e anotou o número de unidades adquiridas por estes revendedores no mês de maio. Com estes dados, ele deseja construir um quadro de frequência. 1º PASSO: Identifique o valor máximo e o valor mínimo para calcular a amplitude. R(intervalo total) = Max - Min = = 33 Passos para a construção de uma Tabela de Frequência

6 2º PASSO: Escolha do número de classes ou intervalos (k). - não existe uma regra única para a determinação do tamanho e quantidade de classes. Alguns autores afirmam que ela deve variar entre 5 e Adotaremos o seguinte cálculo: Importante: o valor de k deve ser um valor inteiro. Assim, neste caso pode ser: 6 ou 7. 3º PASSO: Determinação da amplitude do intervalo (h) Obs.: Como os dados coletados são números inteiros, a amplitude também deve ser um número inteiro. Passos para a construção de uma Tabela de Frequência

7 Assim, o valor da amplitude (R) deve ser acrescido de duas unidades para que sua divisão pelo número de classes (k =7) seja um número inteiro. 4º PASSO: Rever os limites de classe preliminares. Aqui, o arredondamento deve ser distribuído igualmente para o limite inferior da primeira classe e o limite superior para a última classe. 1037,5% | ,5% 15 | ,5% 20 | ,5% 25 | % 30 | % % 100% 5º PASSO: Montagem da tabela de frequência Passos para a construção de uma Tabela de Frequência

8 1 - Dados brutos Proceder a contagem 10 a 13 - /// 13 a 16 - //// 16 a 19 - //// /// 19 a 22 - //// 22 a 25 - /// 4 - Fazer uma tabela de freqüência classe nº % 10 a ,5 13 a ,8 16 a ,4 19 a ,8 22 a ,5 ou 5 - traçar um histograma Freqüência classes 2 - Fixar intervalos de classe 1 - intervalo total= máx-min k totalervalo Amplitude knk int 25 5 Distribuições de Frequência

9 Exercício: Montar uma tabela de frequência para o peso dos homens da turma de estatística. 1º PASSO: Encontrar o valor máximo e o valor mínimo para calcular a amplitude. R = Max - Min = = 32 Tabela de Frequência - Exercício

10 2º PASSO: Escolha do número de classes ou intervalos (k). Lembrando que: k deve ter um valor inteiro, este pode ser: 5 ou 6. 3º PASSO: Determinação da amplitude do intervalo (h) Como os dados são números inteiros valor de h deve ser um valor inteiro. Iremos admitir k = 6 e somaremos 4 unidades na amplitude. 4º PASSO: Rever os limites de classe preliminares. Aqui, o arredondamento deve ser distribuído igualmente para o limite inferior da primeira classe (58 56) e para o limite superior da última classe (90 92). Tabela de Frequência - Exercício

11 5º PASSO: Montagem da tabela de frequência: Obs.: Atenção para o cálculo da frequência. Tabela de Frequência - Exercício

12 Um engenheiro de produção que atuava numa empresa de manutenção de motores de aviões, observou nos registros da empresa, que o tempo de mão-de-obra gastos na revisão completa de um motor apresentava-se na seguinte tabela de frequência: Para planejar o orçamento e a data de entrega de 5 motores, ele deseja saber o número médio de horas de mão-de-obra necessário para a revisão de cada motor. Calculando a média pela Tabela de Frequência

13 1º PASSO: Calcular o ponto médio de cada classe: º PASSO: Realizar o somatório da multiplicação de cada ponto médio pela frequência: X1 =2 6 X5 =30 10X10 = X12 =168 18x4=72 Calculando a média pela Tabela de Frequência

14 3º PASSO: Realizar o cálculo final do valor médio pela fórmula: Interpretação do resultado: sabendo que o tempo médio de mão-de-obra para a manutenção de cada motor é 11,625 horas, o engenheiro pode realizar os cálculos do orçamento e do prazo de entrega do serviço. Exercício: Uma empresa fez um levantamento da venda de seu produto em vários supermercados da região sudeste obtendo em determinado mês a tabela: Determine o consumo médio do produto por supermercado pesquisado. R: 3.342,1 unidades por supermercado Calculando a média pela Tabela de Frequência

15 As tabelas de frequência serão bem utilizadas quando tivermos uma grande quantidade de dados, bastante distintos. Ex.: Diferentes medidas de eixos num lote de fabricação. As tabelas de frequência têm a função de condensar um conjunto de dados e servem como base para a construção de histogramas. Pelas tabelas de frequência também é possível calcular as medidas de tendência central e medidas de dispersão. Conclusões sobre as Tabelas de Frequência

16 1- HISTOGRAMA - equivalente de uma tabela de frequência - Gráfico que possui na sua escala horizontal os valores de dados a serem apresentados e na escala vertical, as suas freqüências; - Utilizado para dados contínuos; Construindo histogramas a partir de uma tabela de frequência 1º Passo: Construímos os eixos da frequência e intervalos de classe. Obs.: atenção para as escalas. Formas gráficas de apresentação de dados

17 Frequência Notas º Passo: Dispomos os valores da frequência de cada classe no gráfico. 3º Passo: Dá-se um nome para o histograma Histograma das notas de estatística Formas gráficas de apresentação de dados

18 Exercício: Monte o histograma para a tabela de frequência abaixo. Número de carros Frequência de revendedores Histograma do número de carros vendido para as revendedoras 1037,5% | ,5% 15 | ,5% 20 | ,5% 25 | % 30 | % 352 5% 100% Formas gráficas de apresentação de dados

19 Moda - MO MEDIDAS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA Determinação da moda num gráfico freqüência classe modal Formas gráficas de apresentação de dados

20 freqüência classes POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA Alternativa ao histograma polígono de freqüência 0,30 0,20 0,10 0, Formas gráficas de apresentação de dados É um gráfico que se obtém unindo por uma poligonal os pontos correspondentes às frequências das diversas classes, centradas nos respectivos pontos médios. Para obter as interseções do polígono com o eixo, cria-se em cada extremo do histograma uma classe com frequência nula.

21 Moda - MO Às vezes há dois ou mais picos de freqüência. Os dados provêm de duas ou mais populações. Distribuição bimodal classes modais MEDIDAS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA Formas gráficas de apresentação de dados

22 2 – DIAGRAMA DE PONTOS O conjunto de dados relativos à resistência de uma argamassa modificada em uma indústria de cimento:16,85 ; 16,4 ; 17,21 ; 16,35 ; 16,52 ; 17,04 ; 16,96 ; 17,15 ; 16,59 e 16,57. Veja que o meio dos dados (mediana) é muito próximo de 16,8 e que os valores de resistência caem no intervalo de 16,3 a 17,2 kgf/cm 2 argamassa modificada 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 resistência – kgf/cm 2 Este diagrama é muito útil para apresentar um pequeno conjunto de dados (até aproximadamente 20 dados) Este gráfico nos permite rapidamente e facilmente ver a localização ou a tendência central nos dados e a variabilidade Formas gráficas de apresentação de dados

23 2 – DIAGRAMA DE PONTOS É utilizado freqüentemente para comparar dois ou mais conjuntos de dados Considere o segundo conjunto de dados de resistência de argamassa: 17,50 ; 17,63 ; 18,25 ; 18,00 ; 17,86 ; 17,75 ; 18,22 ; 17,90 ; 17,96 e 18,15. argamassa modificada argamassa não modificada 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 resistência – kgf/cm 2 Imediatamente verifica-se que a argamassa modificada apresenta resultados com valores menores de resistência A variabilidade dentro (within) dos grupos é praticamente a mesma Também é possível ver a freqüência dos dados Formas gráficas de apresentação de dados

24 3 – DIAGRAMA DE RAMOS E FOLHAS A tabela de freqüência e o histograma nos dá informações valiosas sobre a natureza da distribuição dos dados, mas geralmente perdemos informações sobre os mesmos O diagrama de ramos e folhas é uma boa maneira de ter uma informação da natureza da distribuição do conjunto de dados sem perda de informação Os dados devem conter pelo menos dois dígitos Exemplo: O dado 257 é dividido em duas partes: a primeira parte 25 chamada de ramo (stem) é constituída pelo primeiro ou primeiro e segundo dígitos e a segunda parte 7 chamada de folha (leaf) é constituído pelo dígito restante. É usual escolher o número de ramos entre 5 a 20 Formas gráficas apresentação de dados

25 Considere o conjunto de dados relativos à resistência a compressão de uma liga de alumínio ramos folhas freqüência Formas gráficas apresentação de dados

26 4- GRÁFICO DE BARRAS / COLUNAS Tipo de gráfico mais utilizado quando os dados consistem em uma contagem e não em mensurações em uma escala contínua; São mais usados para mostrar diferenças entre categorias, regiões e etc. Os gráficos de barra também podem mostrar de que forma duas variáveis se relacionam; Formas gráficas de apresentação de dados

27 4.1- DIAGRAMA OU GRÁFICO DE PARETO É um gráfico de barras para dados qualitativos, com as barras ordenadas de acordo com a frequência. A barra mais alta fica à esquerda e as barras menores na extrema direita Quantidade de defeitos Percentagem Acumulada Gráfico de Pareto para os defeitos de lentes Formas gráficas de apresentação de dados

28 5- GRÁFICO DE SETORES / TORTA OU PIZZA. É uma outra alternativa para o gráfico de barras, quando se pretende mostrar a composição de um total; O gráfico é construído dividindo os 360º graus de um círculo pela contribuição relativa de cada categoria; Fonte: Site da Abinee Formas gráficas de apresentação de dados

29 Uma imagem vale mais do que mil palavras! Entretanto, ao se construir qualquer tipo de gráfico, é importante: 1) que o gráfico receba um título adequado; 2) que cada um dos eixos seja rotulado e contenha uma escala sensata; Histogramas são utilizados para identificar o padrão de variação ao longo de um tempo ou ao longo de um fluxo; Conclusões

30 Safra anual de 40 pessegueiros 11,112,5 32,47,821,016,411,222,3 4,46,127,532,818,516,415,16,0 10,715,825,018,212,212,64,723,5 14,822,616,019,17,49,210,026,2 3,516,214,53,28,112,919,113,7 O conjunto de dados abaixo, embora pequeno, não permite uma visão global da safra de pêssegos). A distribuição de freqüência facilitará a visualização e entendimento. Fazer a tabela de freqüência e o histograma para o conjunto de dados abaixo, onde estão relacionados os dados da safra de 40 pessegueiros. Exercício Resolvido

31 Etapas para construção 1 - Determinar o intervalo total dos dados; 2 - Determinar o número K de classes; 3 - Calcular a amplitude da classe; 4 - Estabelecer limites de classes preliminares. Rever os limites, que devem tocar-se mas não intercepta-se; 5 - Relacionar os intervalos e fazer a contagem dos pontos por classe (a contagem total dever ser igual a n); 6 - Construir uma tabela de freqüências e um histograma de freqüências ou um polígono de freqüências. Exercício Resolvido

32 1 - Determinar o intervalo dos dados Maior safra é 32,8 e a menor é 3,2 2 - Determinar o número K de classes 40 No caso dos pessegueiros n = 40, logo = 6,32 que pode ser arredondado para 6 ou 7 É aconselhável tomar entre 5 a 25 classes Regra prática: K = Ajustá-la se for necessárion adotar k = 6 intervalo é 29,6 32,8 – 3,2 = Exercício Resolvido

33 3 - Calcular a amplitude da classe Amplitude = intervalo / nº de classes (k) Amplitude = 29,6 / 6 = 30/6 = 5 Amplitude = 5 Certifique-se que k vezes a amplitude é maior que o intervalo, pois, de outra forma, os valores extremos não serão incluídos; Houve a necessidade de acrescentar 0,4 ao intervalo para que o valor desse um número inteiro. Esse valor deve ser distribuído para os limites inferiores (- 0,2) e superiores (+ 0,2). 6 * 5 = > 29,6 - ok Exercício Resolvido

34 4 - Estabelecer limites de classes preliminares. Rever os limites, que devem tocar-se mas não interceptar-se 1ª classe limite inferior 3 limite superior = = 8 Começando com o primeiro inteiro logo abaixo do menor valor do conjunto de dados. 2ª classe limite inferior 8 limite superior = = 13 3ª classe limite inferior 13 limite superior = = 18 6ª classe limite inferior 28 limite superior = = 33 5ª classe limite inferior 23 limite superior = = 28 4ª classe limite inferior 18 limite superior = = 23

35 É importante que não ocorra lacunas na fixação das classes (deve haver uma classe para cada valor) Considerar os intervalos como: 3 a < 8 ou a < 13 ou a < 18 ou a < 28 ou a < 23 ou a < 33 ou Comentários adicionais As classes não devem interceptar-se (um valor deve pertencer a só uma classe üA amplitude é igual para todas as classes Exercício Resolvido

36 conjunto de dados ordenados Intervalo = 29,6 min max 3,2 32,8 intervalo de classe ou amplitude de classe 5 K classes de dados K = 6 6*5 = 30 A diferença entre 29,6 e 30 = 0,4 deve ser distribuída entre a extremidades 3,0 8,0 13,0 18,0 23,0 28,0 33,0 DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA Exercício Resolvido

37 5 – Relacionar os intervalos e fazer a contagem dos pontos por classe (a contagem total deve ser igual a n) classe contagem 3 a 8 8 a a a a a 33 //// /// //// //// // //// // Total n = 40 freqüência Exercício Resolvido

38 6 – Construir uma tabela de freqüência ou histograma de freqüência Tabela de freqüência Número de alqueires Número de árvores Percentagem de árvores 3 a < 8 8 a < a < a < a < a < /40 = 0,050 7/40 = 0,175 9/40 = 0,225 10/40 = 0,250 8/40 = 0,200 4/40 = 0,100 totais n = 40 1,000 Exercício Resolvido

39 Distribuição de freqüência relativa (%) para a safra de pêssego. Poderia ser freqüência absoluta (nº de árvores). Histograma freqüência classes 0,30 0,20 0,10 0, safras Percentagem de árvores Exercício Resolvido

40 freqüência relativa ou absoluta classes Deve-se apenas unir os pontos médios das classes do histograma por segmentos de reta POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA Alternativa ao histograma polígono de freqüência 0,30 0,20 0,10 0, Exercício Resolvido

41 amintas paiva afonso


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