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ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS Prof. Henrique Dantas Neder – Universidade Federal de Uberlândia.

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1 ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS Prof. Henrique Dantas Neder – Universidade Federal de Uberlândia

2 Processos Estocásticos Definição: Seja T um conjunto arbitrário. Um processo estocástico é uma família tal que, para cadaé uma variável aleatória. Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias.

3 O processo estocástico Está completamente especificado se conhecermos as funções de distribuição para todo

4 Processos estocásticos estacionários Um processo estocástico é estritamente estacionário se todas as funções de distribuições permanecem as mesmas no decorrer do tempo, ou seja, para quaisquer t 1,...,t n,

5 Processo estocástico estacionário Todas as distribuições univariadas são invariantes no tempo: µ(t)=µ,V(t)=σ 2 para todo Podemos também supor que µ=0 ou, de forma alternativa, considerar o processo {Z(t)-µ} Como

6 Processo estocástico estacionário Logo, em um processo estritamente estacionário, é uma função de um único argumento, ou seja, o valor da covariância depende apenas da defasagem temporal.

7 Processo estocástico fracamente estacionário Processo estacionário de 2a. ordem (ou em sentido amplo): 1) E{Z(t)}=µ(t)=µ, constante, para todo t Є T; 2) E{Z 2 (t)} < ; para todo t Є T; 3) é uma função de ׀t 1 –t 2 ׀ ׀t 1 –t 2 ׀

8 Autocorrelação É o coeficiente de correlação entre observações defasadas no tempo:

9 Autocorrelação onde as médias amostrais são: e

10 Autocorrelação Costuma-se simplificar a expressão anterior da seguinte forma: Já quee assumindo variância constante.

11 Autocorrelação A expressão anterior pode ser generalizada para k períodos de tempo (defasagem):

12 Séries aleatórias Se x 1,x 2,...,x n são i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) então o coeficiente de autocorrelação amostral r k é assintoticamente normalmente distribuído com média e variância dados por:

13 Processo ruído branco - Stata * simulação de um processo ruído branco e um passeio aleatório drawnorm ruido, n(500) seed(500) gene tempo = _n tsset tempo twoway (tsline ruido) wntestq ruido

14 Simulação de um processo ruído branco – todas as variáveis X t tem distribuição normal com média µ=0 e σ=1

15 Processo Passeio Aleatório - Stata set obs 500 gen int t = _n gen sumz = sum(invnorm(uniform())) tset t twoway (tsline sumz) O passeio aleatório é não estacionário. A sua especificação econométrica é: Y t =Y t-1 +a t, a t ~N(0,σ 2 )

16 Simulação de um processo passeio aleatório (random walk)

17 Processo Passeio Aleatório - Stata Ou um passeio aleatório com tendência: Y t =β 0 +Y t-1 +at, a t ~N(0,σ 2 ) Se β 0, então em média, Y t aumenta. A melhor previsão da série para t+1 é Y t +β 0. No modelo anterior, passeio aleatório sem tendência, a melhor previsão da série t+1 é Y t.

18 Processo Passeio Aleatório O modelo de passeio aleatório é uma caso especial do modelo AR(1) – auto-regressivo de primeira ordem: Y t =β 1 Y t-1 +a t, a t ~N(0,σ 2 ) quando β 1 =1, o modelo AR é não estacionário e sua variância aumenta ao longo do tempo. Na equação Y t =Y t-1 +a t, a t ~N(0,σ 2 ) Var(Y t ) = Var(Y t-1 )+Var(a t ) Para que Y t seja estacionário Var(Y t ) = Var(Y t-1 ), mas para isto Var(a t ) = 0

19 Processo Passeio Aleatório Y 0 =0, Y 1 =a 1, Y 2 =a 1 +a 2,Y t =a 1 +a a t Var(Y t )=t.σ 2 : a variância aumenta a medida que t aumenta. No caso de um modelo auto-regressivo de ordem p (AR(p)): Y t =β 1 Y t-1 +β 2 Y t β p Y t-p +a t, a t ~N(0,σ 2 ) Para ser estacionário todas as raízes do polinômio 1-β 1 z-β 1 z β p z p devem ser maiores do que 1 em valor absoluto.

20 Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller Consideremos o modelo AR(1): Z t = θ 1 Z t-1 +a t, a t ~N(0,σ 2 ) ΔZ t = θ 1 Z t-1 +a t θ 1 = θ 1 -1 H 0 {θ 1 = 0 H Á {θ 1 < 0

21 Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentado O número de defasagens p pode ser obtido utilizando os critérios AIC (Akaike) ou Schwarz que veremos adiante. A estatística ADF não tem distribuição normal, mesmo para amostras grandes.

22 Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentado use tsset qtr twoway (tsline investment) dfuller investiment dfuller D.investment dfuller D.investment, lags(4) fitstat dfuller D.investment, lags(3) fitstat dfuller D.investment, lags(2) fitstat

23 Evolução temporal da série investimento – antiga Alemanha Ocidental

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28 Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentado Com a seguinte seqüência de comandos Stata, verifique a estacionariedade de um passeio aleatório: set obs 500 gen int t = _n gen sumz = sum(invnorm(uniform())) tset t dfuller sumz dfuller D.sumz twoway (tsline D.sumz)

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30 Evolução temporal da diferença de um passeio aleatório

31 Existem alguns problemas adicionais com relação a testes de raiz unitária: 1)Eles tem baixo poder para discriminar entre uma raiz unitária e um processo próximo de raiz unitária. 2) Eles podem usar um conjunto inapropriado de regressores determinísticos. 3) Para os testes deve ser considerada a possibilidade de quebra estrutural.

32 Os testes ADF devem considerar o seguinte conjunto de equações:

33 Operadores para séries temporais Operador translação para o passado BZ t =Z t-1 B m Z t =Z t-m Operador diferença ΔZ t =Z t -Z t-1 =(1-B)Z t Δ = 1 – B Operador soma SZ t =

34 Modelos ARMA (Box-Jenkins) ARMA(p,q) ARMA(p,q)

35 Modelos ARMA (Box-Jenkins) Filtro linear Filtro linear Filtro linear atat ztzt Ψ(B) Z t =μ+a t +ψ 1 a t-1 + ψ 2 a t =μ+ ψ(B) a t Onde ψ(B)=1+ψ 1 B+ ψ 2 B

36 Modelo ARMA(1,1) Z t =0,8Z t-1 +a t -0,3a t-1 Z t =0,8Z t-1 +a t -0,3a t-1 Simulação no Stata: Simulação no Stata: drawnorm a, n(50) seed(500) drawnorm a, n(50) seed(500) gene tempo = _n gene tempo = _n tsset tempo tsset tempo set matsize 800 set matsize 800 gene z = 0 gene z = 0 mkmat a z,matrix(Z) mkmat a z,matrix(Z) forvalues i = 2(1)50 { forvalues i = 2(1)50 { matrix Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'-1,1] matrix Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'-1,1] } } svmat Z, name(serie) svmat Z, name(serie) twoway (tsline serie2) twoway (tsline serie2)

37 Função de autocorrelação parcial Seja um modelo autorregressivo AR(k): Temos assim as equações de Yule-Walker:

38 Equações de Yule-Walker

39 Função de autocorrelação parcial Resolvendo para k =1,2,3... Onde P k é a matriz de autocorrelações e P k * é a matriz P k com a última coluna substituída pelo vetor de autocorrelações (ver Morettin, 2004).

40 Modelos ARMA 1. Um processo AR(p) tem fac que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas, infinita em extensão; 2. Um processo MA(q) tem fac finita, com um corte após o lag q; 3. Um processo ARMA(p,q) tem fac infinita em extensão, que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas após o lag q-p

41 Modelos ARMA 1. Um processo AR(p) tem facp Ø kk 0, para kp e Ø kk =0, para k >p; 2. Um processo MA(q) tem facp que se comporta de maneira similar à fac de um processo AR(p); 3. Um processo ARMA(p,q) tem facp que se comporta como a facp de um processo MA puro (ver Morettin, 2004)

42 Modelos ARMA Vamos simular no Stata diversos processos ARMA e verificar a sua fac e fapc. Para isto baixe o arquivo do- file:

43 Modelos ARMA

44 Correlograma processo AR(1)

45 Correlograma processo MA(1)

46 Correlograma processo ARMA(1,1)

47 Identificação de modelos ARMA ARIMA(1,0,0) ρ k decai exponencialmente Somente Ø 11 0 ARIMA(0,0,1) Somente ρ 1 0 Ø kk decai exponencialmente ARMA(2,0,0) ρ k – mistura de exponenciais ou senoides amortecidas Ø 11 0 e Ø 22 0 ARMA(0,0,2) ρ 1 0 e ρ 2 0 Ø kk – mistura de exponenciais ou senoides amortecidas ARMA(1,0,1) ρ k decai exponencialmente após o lag 1 Ø kk decai exponencialmente após o lag 1

48 Outras alternativas de identificação de modelos ARMA Critério de informação de Akaike: Critério de informação de Akaike: onde: é a estimativa de máxima verossimilhança da variância dos resíduos do modelo ARMA(k,l) ajustado às N observações da série.

49 Outras alternativas de identificação de modelos ARMA Critério de informação Bayesiano Critério de informação Bayesiano onde: é a estimativa de máxima verossimilhança da variância dos resíduos do modelo ARMA(k,l) ajustado às N observações da série.

50 Aplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata- aplicados a série gdp diferenciada(produto interno bruto) dos EUA – Exemplo Gujarati

51 Aplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata

52 ModeloAICSIC -2log likelihood No. de parâmetros AR( ) MA( ) ARMA(1,1) ARMA(2,1) ARMA(1,2)

53 Verificação da adequação do modelo - diagnóstico Para verificar a adequação do modelo aos dados, um dos procedimentos utilizados é verificar se os resíduos são auto-correlacionados. Para verificar a adequação do modelo aos dados, um dos procedimentos utilizados é verificar se os resíduos são auto-correlacionados. Os resíduos do modelo podem ser obtidos através do comando predict: Os resíduos do modelo podem ser obtidos através do comando predict: arima d.gdp, ar(1) ma(1) predict residuo, residuals corrgram residuo ac residuo

54 Verificação da adequação do modelo - diagnóstico Aparentemente, os resíduos do modelo ARMA(1,1) não são auto-correlacionados (com exceção do lag 8, as correlações dos resíduos defasados não são significativas).

55 Introdução a Análise VAR – Vector Autoregressive Regression Considere o sistema bi-variado simples: Assume-se que: 1) y t e z t são séries estacionárias 2) ε yt e ε zt são erros aleatórios ruído branco com desvios-padroes σ y e σ z respectivamente. 3) ε yt e ε zt são séries não auto-correlacionadas b 12 é o efeito contemporâneo de uma mudança unitária de z t em y t.

56 Podemos colocar este sistema na forma matricial:

57 A Função de Impulso-Resposta Considere um modelo VAR bi-variado: Considere os efeitos dos choques correntes e passados na serie y t. Por exemplo, um choque unitário ε 1,t tem um efeito de aumentar y 1,t em uma unidade e ε 2,t tem um efeito similar sobre y 2,t. Mas examinemos os efeitos de outros choques e choques passados.

58 Fazendo repetidas substituições para trás: Isto torna claro que o efeito de uma unidade no choque ε 1,t-1 sobre y 1,t é Φ 1,1 e que o mesmo choque tem um efeito de Φ 2,1 sobre y 2,t.

59 O impulso-resposta de segunda ordem é obtido por: Generalizando: o efeito de uma unidade do choque ε 1,t-h sobre y 1,t é dado pelo elemento superior esquerdo da matriz Φ 1 h. Em geral, o efeito sobre y i,t de uma unidade de choque ε j,t-h é dado pelo elemento (i,j) da matriz Φ 1 h.

60 Para as aplicações a seguir iremos utilizar o arquivo de dados Stata obtido através do comando: use Este comando irá carregar através da web o arquivo de dados para o Stata. Para obter um modelo VAR o primeiro passo a ser executado é a obtenção de seu número de lags. Isto é conseguido através do comando varsoc: set matsize 800 varsoc y m inf, maxlag(7)

61 Determinação do número de lags de um modelo VAR irrestrito

62 Pelo resultado anterior, de acordo com os critérios de AKAIKE (AIC), Final Predction Error (FPE) e Likelihood Ratio Test (LR) a melhor estrutura de lags corresponde ao modelo de 4 lags. Rodamos então o modelo VAR com 4 lags através do comando: var y m inf, lags(1/4) O resultado em si das estimativas MQO do modelo não tem valor analítico para o tipo de análise que iremos fazer a seguir. Portanto, para suprimir a saída das estimativas do modelo, iremos executar o comando: quietly var y m inf, lags(1/4)

63 Teste de normalidade dos resíduos para modelo VAR

64 Pelos resultados do teste Jarque-Bera, os resíduos para as equações das variáveis y e m são normais ao passo que para a equação da variável inf é rejeitada a hipótese nula de normalidade dos resíduos. É importante também verificar a condição de não auto- correlação dos resíduos do modelo. Utiliza-se para isto o comando: varlmar Pelos resultados da saída Stata a seguir, os resíduos do modelo apresentam auto-correlação de primeira ordem, mas não apresentam auto-correlação de segunda ordem.

65 Teste de auto-correlação dos resíduos do modelo VAR

66 Para realizar a análise das funções impulso-resposta e decomposição de variância no Stata temos uma seqüência de comandos: irf set arquivo1 irf create modelo1 irf table irf fevd Com estes comandos especificamos a saída para as funções impulso-resposta e decomposição de variância, mostradas a seguir.

67 Funções impulso-resposta e decomposição de variância para modelo VAR

68 Decomposição de variância Diferentemente da análise de impulso-resposta, na decomposição de variância estamos interessados em avaliar a importância relativa (percentual) sobre os erros de previsão para uma determinada variável. Na análise de impulso-resposta podemos verificar o sentido dos efeitos de cada variável (impulso) sobre as outras variáveis (resposta). O efeito neste caso pode ser positivo ou negativo. No caso da decomposição de variância esta noção de sentido dos efeitos já não existe, mas apenas o valor relativo dos efeitos de cada variável sobre o erro de previsão de uma determinada variável.

69 Funções Impulso-Resposta para Modelo VAR

70 Nos gráficos da primeira coluna do slide anterior vemos as respostas das três variáveis sobre a inflação. No primeiro gráfico desta coluna vemos o efeito resposta de uma variação unitária do choque exógeno na equação da inflação sobre a própria inflação quando transmitido através dos seus efeitos multiplicadores pelo conjunto do sistema. Ele mostra que a inflação tem efeitos sobre seus próprios valores futuros até o terceiro ou quarto lags. Observando a segunda linha de gráficos verifica-se que a oferta monetária não produz efeito futuro sobre as variáveis inflação (inf) e Produto Interno Bruto (y). Ela apresenta um impacto significativo sobre a própria oferta monetária até o segundo lag. Isto sugere que há uma fraca relação dinâmica entre as variáveis do modelo.

71 Um comando apropriado para o Stata para gráficos de decomposição de variância é: irf graph fevd, irf(modelo1) Isto também pode ser obtido através do menu: Statistics => Multivariate time series => IRF & FEDV Analysis => Graphs by Impulse or response (e especifique em Statistics to graph: fevd)

72 Decomposição de variância para Modelo VAR


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