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Método dos Mínimos Quadrados. Motivação A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo.

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1 Método dos Mínimos Quadrados

2 Motivação A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros

3 Há necessidade de ajustar à função tabelada, uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados Esta boa aproximação deve permitir extrapolação com uma certa margem de segurança

4 Método dos mínimos Quadrados

5

6

7 f(x) – h(x) h(x)

8 Método dos mínimos Quadrados

9 h(x)

10 Método dos mínimos Quadrados h(x)

11 Caso discreto Sejam dados os pontos (x 1,f(x 1 )), (x 2,f(x 2 )),..., (x m,f(x m )) os pontos conhecidos Sejam g 1 (x), g 2 (x),..., g n (x) funções escolhidas de alguma forma Sendo m >= n

12 O objetivo é determinar coeficientes α 1, α 2,..., α n tal que h(x)= α 1 g 1 (x)+ α 2 g 2 (x)+...+ α n g n (x) E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)

13 Seja d k = f(x k ) – h(x k ) o desvio em x k O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima

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15 Minimizando os desvios Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α 1,α 2,...,α n ) devemos encontrar os pontos críticos Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero

16 Regra da Cadeia

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21 Propriedades a ij = a ji – a matriz A é simétrica Se as funções g i (x) forem tais que os vetores g i resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α 1,α 2,...,α n )

22 Exemplo Seja o conjunto de pontos: Ajuste uma parábola do tipo x 2 aos pontos usando MQ x-0,75-0,6-0,5-0,300,20,40,50,71 f(x)2,051,1530,450,40,500,20,60,5121,22,05

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24 x-0,75-0,6-0,5-0,300,20,40,50,71somas x2.x210,31640,12960,06250,008100,00160,02560,06250,240112,8464 f(x).x22,050,64850,1620,10,04500,0080,0960,1280,5882,055,8756 2,8464α = 5,8756 α = 2,0642

25 Assim, h(x)=2,0642 x 2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada

26 Para o caso contínuo Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto Como fazer para o caso contínuo?

27 ...

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29 Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as g i (x) são contínuas

30 Casos não Lineares Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original


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