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Método dos Mínimos Quadrados
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Motivação A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros
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Há necessidade de ajustar à função tabelada, uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados Esta boa aproximação deve permitir extrapolação com uma certa margem de segurança
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Método dos mínimos Quadrados
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Método dos mínimos Quadrados
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Método dos mínimos Quadrados
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Método dos mínimos Quadrados
h(x) f(x) – h(x)
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Método dos mínimos Quadrados
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Método dos mínimos Quadrados
h(x)
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Método dos mínimos Quadrados
h(x)
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Caso discreto Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções escolhidas de alguma forma Sendo m >= n
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O objetivo é determinar coeficientes α1, α2,..., αn tal que
h(x)= α1g1(x)+ α2g2(x)+...+ αngn(x) E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)
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Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk
O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima
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Minimizando os desvios
Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero
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Regra da Cadeia
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Propriedades aij = aji – a matriz A é simétrica
Se as funções gi(x) forem tais que os vetores gi resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)
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Exemplo Seja o conjunto de pontos:
Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos usando MQ x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,2 0,4 0,5 0,7 1 f(x) 2,05 1,153 0,45 0,6 0,512 1,2
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x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,2 0,4 0,5 0,7 1 somas x2.x2 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0,0016 0,0256 0,2401 2,8464 f(x).x2 2,05 0,6485 0,162 0,1 0,045 0,008 0,096 0,128 0,588 5,8756 2,8464α = 5,8756 α = 2,0642
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Assim, h(x)=2,0642 x2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada
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Para o caso contínuo Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto Como fazer para o caso contínuo?
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... Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as gi(x) são contínuas
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Casos não Lineares Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original
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