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Vetores III. Produto Escalar Dados dois vetores u e v não nulos, e escolhido um ponto O qualquer, temos: A=O+u e B=O+v Chamamos ângulo de u e v a medida.

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1 Vetores III

2 Produto Escalar Dados dois vetores u e v não nulos, e escolhido um ponto O qualquer, temos: A=O+u e B=O+v Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AÔB determinado pelas semi-retas OA e OB

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4 Indicamos AÔB=(u,v), onde 0<=(u,v)<=π Observe que se (u,v) = 0, os vetores u e v têm mesmo sentido e se (u,v) = π, estes vetores têm sentidos contrários

5 Produto Escalar Sejam u e v vetores não nulos. O produto escalar de u por v, indicado por u. v, é o número real u. v = | u | | v | cos(u,v) Se um dos vetores for nulo temos u. v = 0

6 Exemplo Considere um quadrado ABCD de lado 2u: 1) AB. BC = | AB| | BC| cos 90º = 0 2) AB. AC = | AB| | AC| cos 45º = 4 3) AB. CD = | AB| | CD | cos180º = -4.

7 Produto Escalar Sejam u um vetor não nulo e v um vetor qualquer. O vetor v se exprime de maneira única na forma v=v 1 +v 2, onde v 1 é paralelo a u e v 2 é ortogonal a u u v

8 Produto Escalar Chamamos o vetor v 1, de projeção de v na direção de u e indicamos por proj u v=v 1

9 Interpretação Geométrica Se v é um vetor qualquer e u um vetor unitário, então v 1 =proj u v = (v. u) u Como v 1 // u, temos v 1 =t u Basta mostrar que v. u = t

10 Interpretação Geométrica O ângulo θ=(u, v) é agudo Temos t > 0, e daí | v 1 | =| t | | u |= t

11 Interpretação Geométrica Por outro lado, o triângulo ABC é retângulo em A t=|v 1 |=|v| cosθ =| v | | u | cos θ = v. u

12 O ângulo θ=(u, v) é obtuso temos t < 0, e daí | v 1 |= | t | | u |=- t Além disso, o ângulo (u, v) = π-θ

13 Considere o triângulo retângulo EFG t =-|v 1 |=-|v|cosθ=-|v||u|cosθ=|v||u|cos(π-θ) = v. u

14 Medida Algébrica Se 0| u |, temos proj u v = proj uº v=(v.uº)uº Chamamos v.uº, a medida algébrica da projeção de v na direção de u e indicamos med alg proj u v

15 Exemplo Dados u0, |v|=6 e (u,v) = 60º, temos: med alg proj u v=v.uº= | v || uº| cos 60º= 6x1x1/2=3 Daí, proj u v=3uº

16 Exemplo Dados a 0, | b| = 8 e ( a, b) =120º med alg proj a b = b. aº = | b | | aº | cos120º = 8x 1x -1/2 =-4 Daí, proj a b = -4aº

17 Propriedades 1) v. u = u. v 2) u. v = 0 u é ortogonal a v 3) u. u = |u| 2 4) t (v. u) = (t v ). u = v.(t u)

18 Propriedades 5) u.( v +w ) = u.v + u.w Nas propriedades, u, v e w são vetores quaisquer e t é um número real As quatro primeiras propriedades decorrem diretamente da definição do produto escalar

19 Propriedade 5 (prova) Se um dos vetores for nulo, a verificação é imediata. Considere, na figura, os vetores u, v e w não nulos e os pontos O, A, B e C

20 A = O + v, B = A + w e C = O + u observe que: med alg proj u (v +w) = med alg proj u v + med alg proj u w ( v+ w ). u° = v. u° + w. u° ( v+ w ).(| u |u° ) = v.(| u |u° ) + w.(| u |u°) Então, ( v +w ). u = v. u + w. u Pela propriedade 1, temos: u. ( v + w ) = u. v + u. w

21 Expressão Cartesiana Dada uma base ortonormal { i, j, k} e os vetores u =(x 1, y 1, z 1 ) e v= (x 2, y 2, z 2 ) u. v = (x 1 i+ y 1 j+ z 1 k). ( x 2 i+ y 2 j+ z 2 k) =(x 1 x 2 )i.i+(x 1 y 2 )i.j+(x 1 z 2 )i.k+(y 1 x 2 )j.i+ (y 1 y 2 )j.j +(y 1 z 2 )j.k+(z 1 x 2 )k.i+(z 1 y 2 )k.j+(z 1 z 2 )k.k

22 Como { i, j, k} é uma base ortonormal, seus vetores satisfazem às relações: i. j = j. k = k. i = 0 e i. i = j. j = k. k =1 u. v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

23 | u | 2 = u. u = x y z 1 2 | u |= u v u. v = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 = 0

24 Exemplo Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2), temos u. v = ? | u |= ? uº = ?

25 Exemplo Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2), temos u. v = = 6 | u |= uº = u/|u|= 1/3(1,2,2)

26 cos(u, v) = ? sendo w = (0,2,-2), w u? med alg proj u v = ? proj u v = ?

27 cos(u, v) = (u.v)/(| u || v |) = sendo w = (0,2,-2), u w pois u.w =0 med alg proj u v = v. uº = 2 proj u v = (v. uº)uº = ((2,0,2).(1/3,2/3,2/3)) (1/3,2/3,2/3) = (2/3,4/3,4/3)


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