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Vetores II. Combinação Linear Dados n vetores v 1, v 2,..., v n e n escalares a 1, a 2,..., a n o vetor v = a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n, é a combinação.

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1 Vetores II

2 Combinação Linear Dados n vetores v 1, v 2,..., v n e n escalares a 1, a 2,..., a n o vetor v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n, é a combinação linear dos vetores v 1, v 2,..., v n com coeficientes a 1, a 2,...,a n

3 Exemplo 1

4 Exemplo 2

5 Como w=0=0u + 0v, dizemos que 0 é combinação linear de u e v, com coeficientes zeros

6 Exemplo 3

7 Observando a figura, podemos escrever: w = -2/3v + 0u

8 Exemplo 4 Observe que o vetor AC = AB + AD possui a mesma direção que a diagonal AC Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será um losango

9 Exemplo 4 Sabe-se que em um losango ABCD, a bissetriz do ângulo BÂD contém a diagonal AC. Assim, o vetor AC = AB+ AD também possui a mesma direção da bissetriz do ângulo BÂD

10 Exemplo 4 Se | AB| | AD|, o vetor AC não possui a mesma direção da bissetriz de BÂD. Para obter um vetor que possua a mesma direção da bissetriz de BÂD basta usar o vetor v = tAB°+ tAD°, t є R*

11 Exemplo 4

12 Exemplo 5 Observe o paralelepípedo

13 Exemplo 5 AG = AB + BC + CG Dizemos então que AG é combinação linear dos vetores AB, BC e CG Como BC = AD e CG = AE, então: AG = AB+ AD+ AE. Assim, podemos também dizer que AG é combinação linear dos vetores AB, AD e AE

14 Paralelismo Definição: Os vetores v 1, v 2,..., v n são colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v 1 // v 2 // v 3 //...// v n No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo 2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos

15 Exemplo 1

16 Paralelismo Definição: Os vetores v 1, v 2,..., v n são colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v 1 // v 2 // v 3 //...// v n No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo 2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos

17 Exemplo 2

18 Propriedade 1 Os vetores u e v são paralelos se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear do outro. Prova: Considere os seguintes casos: 1) u = 0 = v; u = tv, tєR 2) u =0 e v 0; temos u = 0 v 3) u 0 e v 0. Como u // v, temos uº = ± vº. Daí, | u | uº = ± | u | (v /| v |), ou seja, u = ±(| u |/| v |) v. Assim, se u e v têm mesmo sentido podemos escrever u = (| u |/| v |) v. E se u e v têm sentidos contrários temos u = -(| u |/| v |) v

19 Por outro lado, suponha que podemos escrever u como combinação linear de v, ou seja, u = tv. Pela definição de produto de um número real por vetor, temos que u e v têm a mesma direção, logo são paralelos.

20 Vetores Coplanares Os vetores v 1, v 2,..., v n são coplanares, se possuem representantes em um mesmo plano Observe que a colinearidade de vetores é um caso particular da coplanaridade de vetores Nos exemplos de 1 a 4, os vetores envolvidos são coplanares

21 Exemplo 1

22 Exemplo 2

23 Exemplo 3

24 Exemplo 4 Observe que o vetor AC = AB + AD possui a mesma direção que a diagonal AC Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será um losango

25 Exemplo 5 Observe o paralelepípedo

26 Propriedade 1 Os vetores u, v e w são coplanares se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros. Prova: 3 possíveis casos

27 Caso 1 Um deles sendo o vetor nulo, digamos u = 0 Podemos escrever: u= 0v + 0w.

28 Caso 2 Dois deles são paralelos, digamos u // v e v 0 Assim, u = mv = mv + 0w, m R

29 Caso 3 Quaisquer dois desses vetores não paralelos Considere a figura, onde α é um plano que contém representantes dos vetores u, v e w

30 Tomemos OA= v, OB= u e OC= w. Tracemos pelo ponto C uma reta paralela ao vetor OB= u, que intercepta a reta OA no ponto P. Assim, w = OC = OP+ PC

31 Como OP // OA e PC //OB temos: w = mv + nu, m,n R Por outro lado, suponhamos que w = mv + nu, n,m R. Assim, pela definição de adição de vetores, temos que u, v e w são coplanares.

32 Dependência Linear Um Vetor: v é linearmente dependente, se v = 0 Dois vetores: u e v são linearmente dependentes se eles são paralelos Três vetores: u, v e w são linearmente dependentes se eles são coplanares

33 Dependência Linear Mais de três vetores do espaço (R 3 ), são sempre linearmente dependentes Quando os vetores do espaço não são linearmente dependentes (LD), dizemos que são linearmente independentes (LI)

34 Exemplo

35 1)AB é ? 2)AB+BC+CA é ? 3)AD e AE são ? 4) AB e ½ AB são ?

36 Exemplo 1)AB é LI 2)AB+BC+CA é LD 3)AD e AE são LI 4) AB e ½ AB são LD

37 Exemplo 5)AB, AD e AE são ? 6)AE, AB e DC são ? 7)AB, AD e FF são ? 8)AB, BF, BC e AG são ?

38 Exemplo 5)AB, AD e AE são LI 6)AE, AB e DC são LD 7)AB, AD e FF são LD 8)AB, BF, BC e AG são LD

39 Propriedades - 1 Se um vetor v é LI, então dado u // v, temos que existe um único escalar m tal que u=mv Como v é LI e u // v pela propriedade 1 de Paralelismo, temos que u=mv Suponha u=mv => (m-m)v = 0

40 Propriedades - 2 Se dois vetores v 1 e v 2 são LI, então dado v coplanar com v 1 e v 2, temos que existe um único par de escalares (m, n), tal que v = mv 1 + nv 2

41 Propriedade – 2 (prova) Como v, v 1 e v 2 são coplanares e, v 1 e v 2 são LI, temos pela prova da propriedade 1 de vetores coplanares, que v= mv 1 + nv 2 Para mostrar que esses escalares são únicos, suponha que existam me n, tais que: v= mv 1 + nv 2 Então (m- m )v 1 + (n- n)v 2 =0

42 Propriedade – 2 (prova) Se m – m 0, podemos escrever v 1 = (n-n)/(m-m) v 2 Daí, v 1 // v 2, o que contradiz o fato de v 1 e v 2 serem LI. Logo, m – m = 0, m = m A prova para n e n é análoga

43 Propriedade - 3 Se três vetores v 1, v 2 e v 3 são LI, então dado um vetor v qualquer, temos que existe único trio de escalares (m, n, p), tal que v = mv 1 + nv 2 + pv 3

44 Propriedade – 3 (Prova) Suponha que v 1, v 2 e v 3 são LI, temos então os seguintes casos: 1) v=0. Logo, v= 0v 1 +0v 2 +0v 3 2) v paralelo a um dos vetores, digamos v//v 1. Então v=mv 1 +0v 2 +0v 3

45 Propriedade – 3 (Prova) 3) v coplanar com dois dos vetores, digamos v, v 1 e v 2 são coplanares. Assim, v=mv 1 +nv 2 = mv 1 + nv 2 + 0v 3 4) v não é coplanar com quaisquer dois dos vetores (próximo slide)

46 Propriedade – 3 (Prova) α é o plano paralelo ao plano OA 1 A 2 passando por ponto A B é o ponto de interseção da reta OA 3 com o plano α Temos:v = OA = OB + BA

47 Como OB // v 3 r e BA é coplanar com v 1 e v 2, temos: OB=pv 3, BA=mv 1 +nv 2 Logo v=mv 1 +nv 2 +pv 3 Para provar que estes escalares são únicos usamos a mesma metodologia da prova da propriedade 2 Propriedade – 3 (Prova)

48 Base – Coordenadas de Vetor Dado um vetor v LI, dizemos que { v } é uma base para o conjunto de vetores paralelos a v Dados dois vetores v 1 e v 2 LI, dizemos que { v 1, v 2 } é uma base para o conjunto de vetores coplanares com v 1 e v 2

49 Base – Coordenadas de Vetor Dados três vetores v 1, v 2 e v 3 LI, dizemos que { v 1, v 2, v 3 } é uma base para o conjunto de vetores do espaço ( R3) Dizemos que uma base é ortogonal, quando seus vetores são ortogonais quando comparados dois a dois

50 Base – Coordenadas de Vetor Dizemos que uma base é ortonormal, se ela for ortogonal e seus vetores unitários Costumamos representar uma base ortonormal por { i, j, k} Fixada uma base { v 1,v 2,v 3 } do espaço, pela propriedade 3 de Dependência linear, todo vetor v, temos v = mv 1 + nv 2 + pv 3, onde m, n e p são únicos

51 Base – Coordenadas de Vetor Dizemos que mv 1, nv 2 e pv 3 são as componentes de v na direção dos vetores v 1, v 2 e v 3, respectivamente Os escalares m, n e p são as coordenadas de v em relação à base {v 1, v 2, v 3 } Geralmente, representamos o vetor v através de suas coordenadas, ou seja, v = (m, n, p)

52 Exemplo Considere o cubo e fixemos a base {AB,AC,AE}

53 Exemplo AB =1AB+ 0AC+ 0AE, daí AB = (1,0,0) Analogamente, AC = (0,1,0) e AE = (0,0,1)

54 Exemplo Podemos concluir então que, dada uma base qualquer {v 1,v 2,v 3 }, as coordenadas desses vetores em relação a esta base são: v 1 = (1,0,0), v 2 =(0,1,0) e v 3 = (0,0,1)

55 Exemplo 2)AF =1AB+ 0AC+ 1AE, daí AF = (1,0,1). Observe que se a base considerada for {AB,AE,AC}, temos AF = (1,1,0) 3)AG = 0AB+1AC+1AE, daí AG = (0,1,1)

56 Exemplo 2 Consideremos v = (-1,1,1) em relação base {AB,AC,AE} do exemplo anterior. Assim, v = -AB + AC + AE = AH Analogamente ao que foi feito para o conjunto dos vetores no espaço, podemos fazer para conjuntos de vetores coplanares e colineares. Assim, um vetor num conjunto de vetores coplanares tem duas coordenadas e um vetor num conjunto de vetores colineares tem uma coordenada

57 Propriedade 1 Seja {v 1, v 2, v 3 } uma base do espaço. Considere os vetores u, v e w, dados por suas coordenadas em relação a esta base 1) Se u=(a 1, a 2, a 3 ), v=(b 1, b 2, b 3 ) e t є R então: a) u = v a 1 =b 1, a 2 =b 2 e a 3 =b 3 b) u + v = ( a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) c) t u = (t a 1, t a 2, t a 3 )

58 Propriedade 1 (prova) a) Como u = a 1 v 1 +a 2 v 2 +a 3 v 3 e v=b 1 v 1 +b 2 v 2 +b 3 v 3, temos: (a 1 -b 1 )v 1 + (a 2 -b 2 ) v 2 + (a 3 - b 3 ) v 3 = 0 Daí, 0=(a 1 -b 1, a 2 - b 2, a 3 - b 3 ) Logo, a 1 -b 1 =0, a 2 -b 2 =0 e a 3 - b 3 =0

59 Propriedade 1 (prova) De maneira análoga podemos mostrar os itens b) e c) Observe que os vetores u = (0, 0, 0) e v = ( b1, b2, b3) são LD, visto que o vetor nulo é paralelo a todo vetor do espaço

60 Propriedade 2 Sejam u = ( a 1, a 2, a 3 ) e v = (b 1, b 2, b 3 ) vetores não nulos, u e v são LD se, e somente se, existe um t є R tal que : a 1 = t b 1 a 2 = t b 2 a 3 = t b 3

61 Propriedade 2 (prova) Se u e v são LD, então u // v. Como v é LI, podemos escrever: u = t v, ou seja, a 1 = t b 1 a 2 = t b 2 a 3 = t b 3

62 Propriedade 2 (prova) Por outro lado, se existe t є R, tal que a 1 = t b 1 a 2 = t b 2 a 3 = t b 3 então u = t v. Logo u // v e portanto u e v são LD

63 Propriedade 3 Três vetores u=(a 1, a 2, a 3 ), v=(b 1, b 2, b 3 ) e w=(c 1, c 2, c 3 ) são LD se, e somente se

64 Propriedade 3 Esta propriedades pode ser demonstrada através de propriedades de determinantes Concluímos que se t não existe na propriedade 2, ou se Delta é diferente de zero, na propriedade 3, temos que os vetores considerados são LI

65 Exercícios Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e w =3i +6j Verifique se os vetores são LD em cada um dos itens u u e v 0

66 Exercício u e 0 u e (4,-2,4) u, v e w u, v, (1,2,3) e (2,1,4) u, v, (7,4,0)

67 Exercícios Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e w =3i +6j Verifique se os vetores são LD em cada um dos itens u -> LI u e v -> LI 0 -> LD

68 Exercício u e 0 -> LD u e (4,-2,4) -> LD u, v e w -> LI u, v, (1,2,3) e (2,1,4) ->LD u, v, (7,4,0) -> LD

69 Exercício Considere o prisma, no qual a base é um hexágono regular – Verdadeiro ou Falso FM pode ser escrito como combinação linear de FA,FE e GM GM e 2AH são coplanares F=E+LM

70 Sistemas de Coordenadas Cartesianas Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um conjunto formado por um ponto O e uma base { v 1, v 2, v 3 } e denotado por {O, v 1, v 2, v 3 }

71 Sistema de coordenadas O ponto O é chamado origem do sistema e os eixos que passam por O e tem as direções de v 1, v 2 e v 3, respectivamente, são chamados de eixo das abscissas, ordenadas e cotas.

72 Sistema de coordenadas Considere um sistema de coordenadas cartesianas {O, v 1, v 2, v 3 } e seja P um ponto arbitrário do espaço Chamamos coordenadas do ponto P em relação ao sistema {O, v 1, v 2, v 3 }, as coordenadas do vetor OP Se OP = (a 1, a 2, a 3 ), então P=(a 1, a 2, a 3 ). Os números a 1, a 2, a 3 são denominados abscissa, ordenada e cota do ponto P, respectivamente

73 Exemplo

74 OP=1/2v 1 +2v 2 +v 3 OP=(1/2,2,1) logo P=(1/2,2,1) OQ=(1/2,2,0) OR= -2/3v 3 = (0,0,-2/3) OO=(0,0,0)

75 Propriedade 1 Considere um sistema de coordenadas {O, v 1, v 2, v 3 }, v = (a, b, c), P(x 1, y 1, z 1 ) e Q(x 2, y 2, z 2 ): QP=(x 1 -x 2, y 1 -y 2, z 1 -z 2 )

76 Propriedade 1 (prova) Escrevemos o vetor QP como combinação linear dos vetores OQ e OP QP=-OQ+OP QP=-(x 2, y 2, z 2 )+ (x 1, y 1, z 1 ) QP=(x 1 -x 2, y 1 -y 2, z 1 -z 2 )

77 Propriedade 2 P+v=A=(x 1 +a, y 1 +b, z 1 +c)

78 Propriedade 2 (Prova) Utilizando a definição de soma de um ponto com um vetor, temos que PA=v Assim, o vetor OA=OP+PA=(x 1 +a,y 1 +b,z 1 +c)

79 Propriedade 3 O ponto médio de PQ é o ponto M dado por M=((x 1 +x 2 )/2, (y 1 +y 2 )/2, (z 1 +z 2 )/2)

80 Propriedade 3 (prova) Escrevendo OM=OQ+QM OM= OQ+1/2QP Representando os vetores OQ e QP através de suas coordenadas, obtemos: OM=(x 2,y 2,z 2 )+ ½(x 1 -x 2,y 1 -y 2,z 1 -z 2 )

81 Exemplo 2 Considere o paralelogramo ABCD, onde A=(1,0,2), B=(1,-1,2), C(0,2,-2) Devemos determinar as coordenadas dos vetores AB e BC, do vértice D e do ponto médio de AB

82 Exemplo 2 Aplicando as propriedades temos: AB = (1 -1, , 2 - 2) = (0,-1,0) BC = (-1,3,-4) D = A + AD = A + BC = (0,3,-2) M=(1, -1/ 2, 2)


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