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DERIVADAS E DIFERENCIAIS IV Nice Maria Americano da Costa.

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Apresentação em tema: "DERIVADAS E DIFERENCIAIS IV Nice Maria Americano da Costa."— Transcrição da apresentação:

1 DERIVADAS E DIFERENCIAIS IV Nice Maria Americano da Costa

2 Introdução Nesta aula, discutiremos um conjunto de teoremas relativos às funções deriváveis: Teorema de Rolle Teorema de Lagrange Teorema de Cauchy Teorema de L´Hospital Teoremas sobre extremos Estes teorema são úteis à análise do comportamento das funções:

3 FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS : TEOREMAS Teorema de Rolle. Se a função é contínua no intervalo [a,b], derivável em todos os pontos interiores do intervalo e se anula nas extremidades dele, então existe, ao menos um ponto intermediário x=c, a

4 Aplicando, agora limite às expressões anteriores, teremos O teorema de Rolle vale também para o caso de uma função que não se anula nos extremos do intervalo [a,b], mas que, nestes pontos, se tem f(a)=f(b). a y b f(a)=f(b) c1c1 c2c2 x

5 Demonstração. Consideremos a equação da reta secante à curva nos pontos A e B Teorema de Lagrange. Se a função é contínua no intervalo [a,b] e derivável em todo ponto interior do intervalo, existe então, ao menos, um ponto c, a

6 Então a função F(x) satisfaz à hipótese dos Teorema de Cauchy. Logo, podemos escrever para ela:

7 Teorema de Cauchy. Sejam f(x) e (x) duas funções continuas no intervalo [a,b], deriváveis nele, e seja (x) tal (x) não se anula em nenhum ponto deste intervalo. Então existe um ponto x=c no interior do intervalo, a

8 então

9 Teorema de LHospital. Sejam f(x) e (x) duas funções satisfazendo às condições do teorema de Cauchy e se anulando no ponto a, i. e., f(a)= (a). Se, por outro lado a relação entre as derivadas de f e de (x) existe, quando x tende a z, então o limite da relação entre as derivadas existe e é igual ao limite da relação entre estas duas funções.


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