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Introdução a Lógica Matemática João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática.

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1 Introdução a Lógica Matemática João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática /1

2 Proposições Compostas Os conectivos Lógicos ~: não; ۸ : e; ۷ : ou; : condicional e : bicondicional permitem formar proposições compostas a partir de proposições simples ou fórmulas atômicas. parênteses servem para denotar o "alcance" dos conectivos. Símbolos Auxiliares: ( ), parênteses servem para denotar o "alcance" dos conectivos. Exemplo: –Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada: ((p ۸ q) ~ p) · Definição de Fórmula: Toda fórmula atômica é uma fórmula. 2. Se A e B são fórmulas então: ~ ۸۷ (~ A), (A ۸ B), (A ۷ B), (A B), (A B) também são fórmulas. 3. São fórmulas apenas as obtidas por 1 e 2. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 2

3 As Tabelas Verdade no Cálculo Proposicional O uso das TVs e das operações lógicas básicas (¬p, p ۸ p, p۷q, p q, p q) permite construir a TV de qualquer proposição composta mostrando os casos em que seu valor lógico será verdadeiro ou falso; A TV de uma proposição composta P com n proposições simples é constituída de 2 n linhas. Considerando a TV de uma proposição composta com n proposições simples, temos que a coluna correspondente à k-ésima proposição p k (k n) terá, alternadamente 2 n /2 k valores lógicos F seguidos de igual número de valores V. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 3

4 A TV de Proposições Compostas Em uma proposição composta constituída de p, q e r proposições simples ou atômicas, temos que: A TV terá: n = 3 e 2 n =2 3 = 8 linhas. - Para p temos k=1, e 2 3 /2 1 = 2 2 = 4 valores F seguidos de 4 V - Para q temos k=2, e 2 3 /2 2 = 2 1 = 2 valores F seguidos de 2 V alternadamente até completar a tabela. alternadamente até completar a tabela. - Para r temos k=3, e 2 3 /2 3 = 2 0 = 1 valor F seguido de 1 V alternadamente até completar a tabela. alternadamente até completar a tabela. Ex: Construir a TV da fórmula: P(p,q) = ((p ۷ q) ~ p) (q ۸ p). P(p,q) = ((p ۷ q) ~ p) (q ۸ p). Solução: a TV terá 4 linhas e 7 colunas e 7 colunas Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 4 pq ((p ۷ q) ~ p) (q ۸ p). FFVVVFF FVVVVFF VFVFFVF VVFVFVV

5 Exemplos 1 – Construir a TV da proposição: P(p,q)= ¬(p ۸ ¬ q) Solução: a TV terá 4 linhas Solução: a TV terá 4 linhas e 5 colunas. e 5 colunas. Simbolicamente: P(FF)=V, P(FV)=V, P(VF)=F, P(VV)=V. Simbolicamente: P(FF)=V, P(FV)=V, P(VF)=F, P(VV)=V. 2 – Idem para: P(p,q)= ¬(p ۸ q)۷ ¬(q p) Solução: Solução: Simbolicamente: P(FF)=V, P(FV)=V, P(VF)=V, P(VV)=F. Ou abreviadamente: P(FF, FV, VF, VV) = VVVF Ou abreviadamente: P(FF, FV, VF, VV) = VVVF Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 5 0 (F) 1 (V) 0 (F) 1 (V) ¬ q 0 (F) 1 (V) 0 (F) p ۸ ¬ q 1 (V) 0 (F) 1 (V) 0 (F) 1 (V)0 (F) ¬(p ۸ ¬ q)qp 0 (F) 1 (V) ¬(p ۸ q) 0 (F) 1 (V) 0 (F) ¬(q p) 1 (V) 0 (F) p ۸ q 1 (V) 0 (F) 1 (V) q p 0 (F)1 (V) 0 (F)1 (V) 0 (F) 1 (V)0 (F) ¬(p ۸ q) ۷ ¬(q p)qp

6 Valor Lógico de Prop. Composta Dado a proposição composta P(p,q,r,...) é sempre possível determinar o seu valor lógico V(P) quando são conhecidos os valores lógicos das proposições p, q, r,... Exemplos: Determinar o valor lógico da proposição V(P) nos seguintes casos: a) P(p,q) = ~(p ۷ q) ~p۸~q onde V(p) = V e V(q) = F. Sol:. V(P) = ~(V ۷ F) ~V۸~F = ~V F۸V = F F = V b) P(p,q) = (p q) (p p۸q) onde p: = 3 e q: sen /2 = 0. Sol:. V(P) = (F F) (F F۸ F) = V (F F) = V V = V c) P(p,q,r) = (q (r ~p)) ۷ ((~q p) r) onde V(p)=V, V(q)=F e V(r)=F. Sol:. V(P) = (F (F ~V)) ۷ ((~F V) F) = = (F (F F)) ۷ ((V V) F) = (F V) ۷ ( V F) = F ۷ F = F = (F (F F)) ۷ ((V V) F) = (F V) ۷ ( V F) = F ۷ F = F Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 6

7 Uso de Parênteses e Precedência O uso de parêntesis serve para evitar ambigüidades, por exemplo a proposição P = p ۸ q ۷ r pode gerar as proposições: P 1 = (p ۸ q) ۷ r ou P 2 = p ۸ (q ۷ r). Muitos parêntesis podem ser suprimidos se forem observadas as convenções: a) ordem de precedência dos conectivos: a) ordem de precedência dos conectivos: (1) ~ (2) ۸ e ۷ (3) (4) (1) ~ (2) ۸ e ۷ (3) (4) Isto é o conectivo mais fraco é ~ e o mais forte, assim a proposição: p q s ۸ r é uma bicondicional e não uma condicional. b) eliminação dos parêntesis via associação a partir da esquerda de um mesmo conectivo repetido sucessivamente. Exemplos: 1) ((~(~(p ۸ q))) ۷ (~p )) = ~~(p ۸ q)۷ ~p 2) ((p ۷ (~q)) ۸ (r ۸ (~p ))) = (p ۷ ~q) ۸ (r ۸ ~p Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 7

8 Tautologias Uma tautologia é uma proposição composta que sempre assume valor lógico verdadeiro para qualquer atribuição de valores lógicos dados as proposições simples. Exemplos: Use a TV e mostre que são tautológicas: a) P1(p) = p p e P2(p) = p p; (Princípio da identidade). b) P(p)= ~(p ۸ ~p); (Princípio da não contradição). c) P(p)= p ۷ ~p; (Princípio do terceiro excluído). d) P(p,q)= p ۷ ~(p ۸ q); e) P(p,q)= p ۸ q (p q) ; f) P(p, q, r)= p ۸ r ~q ۷ r ; Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 8

9 Contradições Uma contradição ou proposição contra-válida é uma proposição composta que assume valor lógico falso para qualquer atribuição de valores lógicos dados as proposições simples. Exemplos: Use a TV e mostre que são contradições : a) P(p)= p ۸ ~p; b) P(p)= p ~p; d) P(p,q)= (p ۸ q) ۸ ~( p ۷ q); e) P(p,q)= ~p ۸ (p ۸ ~ q); Obs: Contingência é uma proposição composta que não assume as formas de tautologia ou contradição. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 9

10 Equivalência Lógica Uma proposição P composta é logicamente equivalente a uma outra Q (P Q ) quando os seus valores de verdade coincidem em cada linha das últimas colunas de suas TVs. Dessa forma, P é equivalente a Q se, e somente se, a bicondiconal P Q é uma tautologia. Propriedades da equivalência lógica: 1) Reflexiva: P P; 2) Simétrica: se P Q, então Q P; 3) Transitiva: se P Q e Q R, então P R; 4) se P e Q são ambas tautologias ou contradições, então P Q ; Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 10

11 Implicação Lógica Uma proposição P composta implica logicamente uma outra Q (P Q ) se Q é verdadeira toda vez que P for verdadeira. Dessa forma, P implica Q se, e somente se, a condiconal P Q é uma tautologia. Propriedades da implicação lógica: 1) Reflexiva: P P; 2) Anti-simétrica: se P Q e Q P, então P Q; 3) Transitiva: se P Q e Q R, então P R; Obs: Os símbolos e são conectivos sendo usados em expressões lingüísticas, enquanto e são usaodos para denotar a relação entre proposições. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 11


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