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Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. Mais precisamente…

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1 Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. Mais precisamente…

2 Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória é uma função (mensurável) X: R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

3 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições Quando se observa cck: X = 2 Y = 1

4 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x0123 P(X=x)

5 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x0123 P(X=x)1/83/8 1/8 função de massa de probabilidade (fmp) de X

6 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y012 P(Y=y)

7 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y012 P(Y=y)1/42/41/4

8 Função de Distribuição Acumulada A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função F X : R R definida por F X (x) = P(X x)

9 Função de Distribuição Acumulada Exemplo: x0123 P(X=x)1/83/8 1/ /2 7/8 1 Se x < 0: P(Xx) = 0 Se 0 x <1: P(Xx) = P(X=0) = 1/8 Se 1 x <2: P(Xx) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2

10 Função de Distribuição Acumulada Roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X x) = x/10, se 0 x 10 1, se x >

11 Função de Distribuição Acumulada Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho

12 Função de Distribuição Acumulada Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X x) = ½ + ½ x/10, se 0 x 10 1, se x >

13 Tipos de Variáveis Aleatórias Discretas F X (x) = x i x P(X = x i ) (Absolutamente) Contínuas F X (x) = x i x f X (x) dx (onde f X (x) é a densidade de probabilidade de X) Mistas F X (x) = x i x P(X = x i ) + x i x f X (x) dx (Há outras, mais patológicas …)

14 Exemplo 10 1 P(X = 0) = ½ 0, se x < 0 f X (x) =1/20, se 0 x 10 0, se x > 10

15 Propriedades da F.D.A. F X é não-decrescente lim x – F X (x) = 0, lim x + F X (x) = 1 lim x a+ F X (x) = F(a) (continuidade à direita)

16 Função de Distribuição Acumulada A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.) P(X = 2) = P(X = 3) = P(X < 3) = P(1 X 3) =

17 Principais Distribuições Discretas Bernoulli Binomial Geométrica Hipergeométrica Poisson

18 Principais Distribuições Contínuas Uniforme Exponencial Normal (e associadas: 2, t, F)

19 Bernoulli Espaço amostral binário (sucesso- fracasso, sim-não, 1-0) 1, com probabilidade p X = 0, com probabilidade 1–p Notação: X be(p)

20 Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos

21 Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos tem probabilidade p k (1–p) n-k. Logo: Notação: X B(n, p)

22 Geométrica Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.

23 Geométrica Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso. X = k k–1 fracassos seguido de um sucesso Notação: X G(p)

24 Hipergeométrica Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde são extraídas n bolas, sem reposição. X = número de bolas brancas extraídas Notação: X HG(N, B, n)

25 Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?

26 Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais B são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra? Resposta: HG(N, B, n)

27 Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra? Resposta: HG(N, B, n) Mas, se n << N, aproximadamente B(n, B/N)

28 Distribuição de Poisson Em média, um site de internet tem = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um segundo?

29 Distribuição de Poisson Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p. Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a, deve-se ter np =

30 Distribuição de Poisson

31 Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante –Acessos a sites –Chegadas de consumidores a um banco –Número de erros tipográficos em um texto –Número de partículas radioativas emitidas

32 Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

33 Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo? P(X>0) = 1– P(X=0) = 1 – e -0.5 = 0,395

34 Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

35 Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto? Poisson (30) Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson ( t)

36 Esperança Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número de vezes.

37 Esperança Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00?

38 Esperança Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00? Ganha-se 17 com probabilidade 1/25 -1 com probabilidade 24/25 Após um grande número n de apostas, o ganho médio é, aproximadamente:

39 Esperança O valor esperado de uma v.a. discreta X é: EX = i x i. P(X=x i ) (ou seja, a média dos valores assumidos por X, ponderados por sua probabilidade) EX pode ser um número real, +, –, ou não estar definida.

40 Esperança finito EX R – finito EX = – finito + EX = + – + EX não definido

41 Paradoxo de S. Petersburgo Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja aposta é 1:1. Estratégia: jogar até vencer, sempre dobrando o valor da aposta. Variáveis aleatórias de interesse: X = ganho quando se aposta 1. N = número de apostas até a saída. Y = ganho na saída.

42 Paradoxo de S. Petersburgo X = –1, com prob. 2/3 1, com prob. 1/3 EX = –1/3. N é finito com prob. 1 Y = 1

43 Paradoxo de S. Petersburgo Mas seja C o capital usado até a vitória

44 Propriedades E(aX + b) = aEX + b Mas, em geral, E(g(X)) g(E(X)) Exemplo: Y = X 2 EX = (–1).0,2.(–1)+0.0,4+1.0,4 = 0,2 EY = 0.0,4+1.0,6 = 0,6 Note que EY = 0 2.P(X=0) P(X=1) + (–1) 2.P(X=–1) Xp –1–10,2 00,4 1 Yp 0 10,6

45 Propriedades Para X discreta: E(g(X)) = i g(x i ) P(X=x i ) (Law of the unconscious statistician)

46 Propriedades E(X+Y) = EX + EY (sempre!) E(XY) = EX EY, se X e Y são independentes

47 Exemplo Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco bolas são retiradas. Qual é o número esperado de bolas brancas retiradas: a)com reposição? b)sem reposição?

48 Variância Var(X) = E(X–EX) 2 = E(X 2 ) –(EX) 2

49 Propriedades Var(aX+b) = a 2 Var(X) Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

50 Propriedades Se X 1, X 2, …, X n são independentes, então Var(X 1 + X 2 +…+ X n ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + …+ Var(X n )

51 Exemplo X ~ binomial(p)

52 Variáveis Aleatórias Contínuas F(x) = - x f(t) dt f 0 é a densidade de X P(a < X < b) = a b f(t) dt - + f(t) dt = 1 f(x) = F (x) P(x– / 2 < X < x+ / 2 ) f(x) x

53 Exemplo Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a densidade de X? 1 1

54 Solução 1 1 x

55 Outra solução 1 1 x

56 Esperança –discreta: –contínua: –mista:

57 Principais Distribuições Contínuas Uniforme Exponencial Gama Normal (e associadas: 2, t, F)

58 Distribuição Uniforme a b 1/(b-a) a b 1 fXfX FXFX

59 Distribuição Exponencial De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso? X > t se e só se o número de acessos em [0, t] é igual a 0 Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde N~Poisson( t) Portanto, P(X>t) = e - t

60 Distribuição Exponencial X tem distribuição exponencial com parâmetro quando F X (x) = 1–e – x, para x >0 Ou seja, f X (x) = e – x, para x > 0

61 Exemplo O tempo de vida, em meses, de um componente tem distribuição exponencial de parâmetro = 0,5. a)Qual é a probabilidade de que um componente novo dure pelo menos 2 meses? b)Dado que um componente usado já tem 1 mês de vida, qual é a probabilidade de que ele dure pelo menos mais dois meses?

62 Processo de Poisson Tempo entre chegadas consecutivas independentes, com distribuição exponencial ( ) Número de chegadas em intervalos disjuntos independentes e com distribuição Poisson ( t), onde t é o comprimento do intervalo

63 Exemplo Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes por dia –Número médio de acidentes por semana? –Número médio de dias sem acidentes por semana? –Intervalo médio entre acidentes? –Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2 a e 1 na 3 a ? –Probabilidade de que o primeiro acidente em um certo dia só ocorra depois das 12 horas?

64 Distribuição Normal A distribuição normal padrão é a distribuição da variável aleatória Z de densidade Notação: Z ~ N(0, 1) EZ = 0, Var Z = 1

65 Distribuição Normal Uma variável X tem distribuição normal com parâmetros (média) e 2 (variância) quando é da forma X = Z +, onde Z~N(0,1) Notação: X~N( 2 )

66 Distribuição Normal Qual é a densidade da distribuição X~N( 2 )? De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g é uma função inversível e X é uma v. a. de densidade f?

67 Transformando uma v. a. A densidade de Y = g(X) é dada por onde x é tal que g( x) = y.

68 Transformando uma v.a. Caso particular: Se X tem densidade f, então Y = aX + b (a>0) tem densidade X Y Y = 2XX= Y/2

69 Densidade da distribuição normal A densidade da v.a. X com distribuição normal N(, 2 ) é

70 Exemplo As notas dos alunos em um teste têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10. –Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que sua nota seja maior que 85? –Qual é a nota correspondente ao percentil 95%?

71 V. A. Multidimensionais Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes X = número de caras Y = número de transições Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1? x0123 P(X=x)1/83/8 1/8 y012 P(Y=y)1/42/41/4

72 V. A. Multidimensionais Não se pode responder (em geral) a partir das distribuições individuais (marginais) de X e Y. Pode-se responder com base na distribuição de (X, Y), também chamada de distribuição conjunta de X e Y.

73 Distribuição Conjunta XY ccc30 cck21 ckc22 kcc21 ckk11 kck12 kkc11 kkk00

74 Distribuição Conjunta PXY ccc1/830 cck1/821 ckc1/822 kcc1/821 ckk1/811 kck1/812 kkc1/811 kkk1/800 X Y

75 Distribuição Conjunta PXY ccc1/830 cck1/821 ckc1/822 kcc1/821 ckk1/811 kck1/812 kkc1/811 kkk1/800 X Y / / /8 - P(X=2 e Y =1) = 2/8

76 Distribuição Conjunta A distribuição conjunta de X = (X 1, X 2,..., X n ) completamente caracteriza probabilidades envolvendo X 1, X 2,..., X n e quaisquer subconjuntos delas (distribuições marginais).

77 Distribuição Conjunta X Y 0123Y 01/ / /8 - X

78 Distribuição Conjunta X Y 0123Y 01/8-- 1/4 1-2/8 -1/2 2-1/8 -1/4 X1/83/8 1/8

79 Função de Distribuição Acumulada A distribuição conjunta de X = (X 1, X 2,..., X n ) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. F X 1, X 2,... X n (x 1, x 2,..., x n ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ) Exemplo F X 1 (x 1 ) = ?

80 Função de Distribuição Acumulada A distribuição conjunta de X = (X 1, X 2,..., X n ) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. F X 1, X 2,... X n (x 1, x 2,..., x n ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ) Exemplo F X 1 (x 1 ) = lim x 2,..., x n F X 1, X 2,... X n (x 1, x 2,..., x n )

81 Tipos de distribuição conjunta Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x 1, x 2,...} tal que P(X A) = 1. Neste caso, P(X B) = x i B P(X = x i )

82 Tipos de distribuição conjunta Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x 1, x 2,...} tal que P(X A) = 1. Neste caso, P(X B) = x i B P(X = x i ) Contínuas Quando existe uma função de densidade f tal que Neste caso:

83 Exemplo Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário com densidade proporcional a x+y. –Qual é a função de densidade? –Qual é a probabilidade de que X seja menor que 1/2?

84 Propriedades Esperança de funções de v.a. multidimensionais E(g(X)) = i g(x i ) P(X=x i ) (discreta) E(g(X)) = R n g(x) f X (x) dx (contínua) Casos particulares: EX = R 2 x f X,Y (x,y) dy dx E(X+Y) = R 2 (x+y) f X,Y (x,y) dy dx = = R 2 x f X,Y (x,y) dy dx + R 2 y f X,Y (x,y) dy dx = EX +EY

85 Propriedades Em geral, E (XY) EX EY Mas E(XY) = EX EY se X e Y são independentes.

86 Observação X, Y independentes E(XY) = EX EY E(XY) = EX EY X, Y independentes não correlacionadas

87 Covariância e Correlação Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) = = E(XY) – EX EY (X, Y) = Cov(X,Y)/ (X) (Y) Teorema: –1 (X, Y) 1


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