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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS MATRIZES. O QUE É UMA MATRIZ Uma matriz pode ser definida como uma tabela onde os valores são dispostos em linhas e colunas.

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1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS MATRIZES

2 O QUE É UMA MATRIZ Uma matriz pode ser definida como uma tabela onde os valores são dispostos em linhas e colunas. A diferença fundamental entre uma matriz e uma tabela normal é que na matriz representamos apenas os dados numéricos da tabela, para que os cálculos sejam facilitados.. Uma matriz pode ser definida como uma tabela onde os valores são dispostos em linhas e colunas. A diferença fundamental entre uma matriz e uma tabela normal é que na matriz representamos apenas os dados numéricos da tabela, para que os cálculos sejam facilitados..

3 Vamos entender melhor como interpretar as informações de uma tabela analisando a tabela abaixo que mostra as informações nutricionais de quatro alimentos vendidos em uma lanchonete. Vamos entender melhor como interpretar as informações de uma tabela analisando a tabela abaixo que mostra as informações nutricionais de quatro alimentos vendidos em uma lanchonete.

4 A tabela representada anteriormente pode ser representada na forma de uma matriz com 4 linhas e 6 colunas, ou uma matriz 4x6. A tabela representada anteriormente pode ser representada na forma de uma matriz com 4 linhas e 6 colunas, ou uma matriz 4x6.

5 Em relação à essa matriz, vamos responder às seguintes perguntas: Em relação à essa matriz, vamos responder às seguintes perguntas: a) Em que linha e coluna está o número 302? a) Em que linha e coluna está o número 302? Na quarta linha e primeira coluna. Na quarta linha e primeira coluna. b) Na matriz, o que representa o número 4,2? b) Na matriz, o que representa o número 4,2? A quantidade de gorduras trans, em gramas, presentes em uma porção de batatas. A quantidade de gorduras trans, em gramas, presentes em uma porção de batatas.

6 c) Que elemento está na terceira linha e quinta coluna? c) Que elemento está na terceira linha e quinta coluna? É o número 0 É o número 0 d) Quantos elementos há na matriz. d) Quantos elementos há na matriz. 24 elementos. 24 elementos. Observação: podemos encontrar o número de elementos de uma matriz multiplicado seu número de linhas por seu número de colunas. Observação: podemos encontrar o número de elementos de uma matriz multiplicado seu número de linhas por seu número de colunas.

7 De maneira geral, representamos uma matriz da seguinte forma: Amxn, ordem m indica o número de linhas e n o número de colunas da matriz. De maneira geral, representamos uma matriz da seguinte forma: Amxn, ordem m indica o número de linhas e n o número de colunas da matriz. Poderíamos representar a matriz do exemplo anterior por Poderíamos representar a matriz do exemplo anterior por

8 Já os elementos costumam ser representados com uma letra minúscula (aij), onde i indica a linha na qual o elemento se encontra e j a coluna. Já os elementos costumam ser representados com uma letra minúscula (aij), onde i indica a linha na qual o elemento se encontra e j a coluna. Na matriz indicada no exemplo, temos que: Na matriz indicada no exemplo, temos que:

9 A matriz dada como exemplo inicial possui 4 linhas e 6 colunas, logo, ela poderia ser representada por A = (aij), com 1 i 4 e 1 j 6. A matriz dada como exemplo inicial possui 4 linhas e 6 colunas, logo, ela poderia ser representada por A = (aij), com 1 i 4 e 1 j 6. Se uma matriz possuir 3 linhas e 5 colunas ela poderá ser indicada por: A = (aij), com 1 i 3 e 1 j 5. Se uma matriz possuir 3 linhas e 5 colunas ela poderá ser indicada por: A = (aij), com 1 i 3 e 1 j 5.

10 EXEMPLO Com relação à matriz genérica A = (aij), com 1 i 5 e 1 j 8, responda: Com relação à matriz genérica A = (aij), com 1 i 5 e 1 j 8, responda: a) Quantas linhas há na matriz A a) Quantas linhas há na matriz A Há 5 linhas na matriz A, pois com 1 i 5 Há 5 linhas na matriz A, pois com 1 i 5 b) E quantas colunas: b) E quantas colunas: 8 colunas, já que: com 1 j 8 8 colunas, já que: com 1 j 8 c) Quantos elementos compõe a matriz A c) Quantos elementos compõe a matriz A O número de elementos é 8.5 = 40 elementos O número de elementos é 8.5 = 40 elementos

11 Os elementos de uma matriz também podem ser representados por meio de equações. Nesse caso encontramos os elementos fazendo a substituição dos valores propostos na fórmula (como em uma função), para encontrarmos os elementos da matriz. Os elementos de uma matriz também podem ser representados por meio de equações. Nesse caso encontramos os elementos fazendo a substituição dos valores propostos na fórmula (como em uma função), para encontrarmos os elementos da matriz.

12 Por exemplo, construir uma matriz A2x2, onde os elementos são dados por aij = 2i + 3j – 1. Nesse caso temos: Por exemplo, construir uma matriz A2x2, onde os elementos são dados por aij = 2i + 3j – 1. Nesse caso temos: A matriz procurada nesse caso é:

13 TIPOS DE MATRIZ MATRIZ QUADRADA: Uma matriz é dita quadrada quando seu número de linhas e de colunas é igual. Por exemplo: MATRIZ QUADRADA: Uma matriz é dita quadrada quando seu número de linhas e de colunas é igual. Por exemplo: Os elementos 2; 0 e 5 são os elementos da chamada diagonal principal e os elementos 7; 0 e 6 são os elementos da chamada diagonal secundária. Os elementos 2; 0 e 5 são os elementos da chamada diagonal principal e os elementos 7; 0 e 6 são os elementos da chamada diagonal secundária.

14 Toda matriz quadrada possui duas diagonais, uma chamada de principal, formada pelos elementos aij, tais que i = j e a outra chamada secundária, formada pelos elementos aij tais que i + j = n + 1, onde n indica a ordem da matriz. Toda matriz quadrada possui duas diagonais, uma chamada de principal, formada pelos elementos aij, tais que i = j e a outra chamada secundária, formada pelos elementos aij tais que i + j = n + 1, onde n indica a ordem da matriz.

15 MATRIZ IDENTIDADE É toda matriz na qual os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são nulos. É toda matriz na qual os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são nulos. Abaixo estão representadas as matrizes identidades de ordens dois e três. Abaixo estão representadas as matrizes identidades de ordens dois e três.

16 MATRIZ TRANSPOSTA A transposta de uma matriz é a matriz que se obtém ao trocarmos as linhas de uma matriz pelas colunas e vice-versa. A transposta de uma matriz é a matriz que se obtém ao trocarmos as linhas de uma matriz pelas colunas e vice-versa. Por exemplo: Por exemplo:

17 Observe que ao transpormos uma matriz, sua ordem fica alterada, exceto no caso de uma matriz quadrada. Observe que ao transpormos uma matriz, sua ordem fica alterada, exceto no caso de uma matriz quadrada. Indicamos a transposta de uma matriz por. Indicamos a transposta de uma matriz por. Se uma matriz for tal que A =, ela é dita simétrica e se = -A (oposta de A), a matriz é dita anti-simétrica. Se uma matriz for tal que A =, ela é dita simétrica e se = -A (oposta de A), a matriz é dita anti-simétrica.

18 MATRIZ TRIANGUAR Uma matriz quadrada é dita triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos. Uma matriz quadrada é dita triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.

19 MATRIZ DIAGONAL Uma matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos da diagonal principal são não nulos e todos os demais elementos são nulos. Uma matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos da diagonal principal são não nulos e todos os demais elementos são nulos.


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