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Filtros de Kalman. Motivação Acompanhamento de um fenômeno B D.

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Apresentação em tema: "Filtros de Kalman. Motivação Acompanhamento de um fenômeno B D."— Transcrição da apresentação:

1 Filtros de Kalman

2 Motivação Acompanhamento de um fenômeno B D

3 Idéia Básica Combinar –Predição, a partir dos valores passados. –Correção da predição, utilizando medições provenientes da observação do fenômeno previsto observado

4 Formulação do Problema Processo que obedece a uma lei de evolução linear, com a presença de erros aleatórios x k = k x k–1 + k, onde k ~N(0, Q k ) Medidas relacionadas com o valor real, também com erros aleatórios z k = H k x k + k, onde k ~N(0, R k )

5 Elementos do modelo x k = k x k–1 + k, onde k ~ N(0, Q k ) n 1 n n n 1 n 1 n n z k = H k x k + k, onde k ~N(0, R k ) m 1 m n n 1 m 1 m m k : matriz de transição H k : matriz de medição Q k,, R k : matrizes de covariância

6 Dada a estimativa x k–1 do estado anterior, com a respectiva matriz de covariância P k– procurar uma solução da forma x k = x k + K k (z k – H k x k ), onde x k = k x k–1... de tal modo que o valor esperado do erro quadrático (E (x k – x k ) 2 ) seja mínimo. K k : ganho de Kalman O Problema ^ ^ ^^ ^ ~~~

7 Solução Etapa de predição Etapa de correção

8 Comportamento do filtro depende da relação entre as matrizes de covariância Q e R (erros do processo e de medição) Q >> R: K = 1/H, x k = z k Q << R: K = 0, x k = x k Comportamento depende pouco da covariância inicial P 0 ^ ^ ~

9 Exemplo: estimando um valor constante x 1, x 2,..., x n com distribuição normal de média m, observadas com ruído. Estimação sequencial de m Modelo: x k = x k–1 +, com ~ N(0, 2 ) z k = x k +, com ~ N(0, 2 ) Comportamento depende da relação entre 2 e 2.

10 Exemplo: acompanhando um ponto Variáveis: posição e velocidade Modelo: onde ~N(0, Q) e ~N(0, R)


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