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Ensino Superior 3.1. Comprimento de Arco Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.

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Apresentação em tema: "Ensino Superior 3.1. Comprimento de Arco Amintas Paiva Afonso Cálculo 2."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior 3.1. Comprimento de Arco Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

2 Comprimento de arco A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular também conhecido como retificação de uma curva representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos. Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos. Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

3 Comprimento de arco Considere uma função f(x) tal que f(x) e f(x) (isto é a derivada em relação a x ) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula: a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

4 Comprimento de arco Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos especificados A e B. Suponha uma função contínua f(x) = y para a x b. Vamos dividir o intervalo em n partes tal que x 0 = a, x 1, x 2,..., x k -1, x k..., x n = b de acordo com a figura. x y A B

5 Comprimento de arco Seja P k ponto (x k, y k ) onde y k = f(x k ) O comprimento da corda que liga os pontos P k-1 a P k será dado por Pitágoras conforme a figura abaixo S = P 0 = A x 0 = x a P1P1 P K-1 PKPK P n = B x1x1 x k-1 xkxk xbxb y x P K-1 PKPK ΔYkΔYk ΔXkΔXk S

6 Comprimento de arco Quando P k-1 estiver muito próximo de P k poderemos admitir que o comprimento da corda entre P k-1 e P k é o comprimento do arco entre estes dois pontos. Então o comprimento da k-ésima corda é: Colocando Δx k em evidência: Suponhamos que y = f(x) além de contínua é também derivável entre A e B. Isto nos permite substituir a razão, que está dentro do radical e que é o coeficiente angular da corda que une os pontos P k-1 a P k, pelo valor da derivada e algum ponto x * k entre x k-1 e x k, então (1)

7 Comprimento de arco Podemos fazer isto, pois a corda é paralela a tangente em algum ponto da curva entre P k -1 e P k * Isto permite escrever (1) como comprimento da K-ésima corda = Logo o comprimento total será Agora tomando o limite destas somas quando n tende a infinito e o comprimento do maior subintervalo tende a zero Comprimento do arco AB = lim max Δx k 0 Desde que f (x) seja contínua para que a integral exista. (2) (3)

8 Comprimento de arco Uma outra visão mais intuitiva pode ser utilizada, se denotarmos por s o comprimento de arco variável de A até um ponto variável sobre a curva como mostra a figura abaixo Se crescermos s uma pequena quantidade ds de modo que ds seja o elemento diferencial de arco, assim teremos dx e dy como as mudanças correspondentes em x e y. Se tivermos ds tão pequeno que essa parte da curva é virtualmente reta e, portanto, ds é a hipotenusa de um triângulo retângulo fino chamado triângulo diferencial. Portanto, pelo teorema de Pitágoras ds 2 = dx 2 + dy 2 a d c bx y dx dy ds s

9 Comprimento de arco Assim, se isolarmos ds e depois fatorarmos dx e o removermos do radical, teremos: Assim o comprimento total do arco AB pode ser pensado como a soma ou integral de todos os elementos de arco ds, quando ds percorre a curva desde a até b. Desta forma (4) se tornará comprimento de arco que é a mesma fórmula (3) Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x. (4)

10 Comprimento de arco Para x = a y = c e para x = b y = d, sendo estes valores de y os limites de integração. Assim: Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x. No entanto, às vezes é mais conveniente tratar x como uma função de y. Neste caso

11 Comprimento de arco Se isolarmos y Exemplo 1: Calcule o comprimento da curva y 2 = 4x 3 entre os pontos (0, 0) e (2, 4 ) Logo, 2 x y O comprimento do arco será:

12 Comprimento de arco

13 Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva

14 Comprimento de arco Exemplo 3: Determinar o comprimento de arco da curva, de x = 2 a x = 4.

15 Comprimento de arco Exemplo 4: Determinar o comprimento de arco da curva, de x = 0 a x = 5.

16 Comprimento de arco Exemplo 5: Determinar o comprimento de arco da curva, de x = 0 a x = 1.

17 Comprimento de arco Exemplo 6: Determinar o comprimento de arco da curva, de x = /4 a x = /2.

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