Análise de Sensibilidade

Apresentação em tema: "Análise de Sensibilidade"— Transcrição da apresentação:

1 Análise de Sensibilidade

2 Conteúdos do Capítulo Análise de Sensibilidade Caso Motorela Celulares
Interpretação Econômica do Problema Dual Preço de Sombra – Shadow Price Custo Reduzido – Reduced Cost Caso Motorela Celulares Caso Agropecuária Coelho Observação: Poderia relacionar neste slide os pontos abordados na Interpretação ....., conforme topo dos demais slides.

3 Conteúdos do Capítulo Continuação
Intervalos de validação Preço Sombra ( Shadow Price ou Dual Price ) Custo Reduzido (Reduced Cost) Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Solução Gráfica Análise dos Coeficientes da Função Objetivo A análise do Excel Observação: Redimensionar a aula. Muito conteúdo a ser trabalhado.

4 Conteúdos do Capítulo Continuação
O Limite dos coeficientes das Restrições Excel Analisando todas as respostas do Excel Answer Report Análise Econômica Sensitivity Report Limits Report Solução Degenerada

5 Interpretação Econômica do Problema Dual
Cada variável yi do Dual está diretamente relacionada com a restrição i do problema Primal; O valor ótimo desta variável, yi* recebe diversas denominações, entre elas: Preço-Sombra (Shadow Price); Preço-Dual (Dual Price); Portanto, cada restrição i possui um preço-sombra yi* 14

6 Preço de Sombra O preço-sombra para o recurso i (yi*) mede o valor marginal deste recurso em relação ao lucro total; Isto é, a quantidade que o Lucro Total (Z) seria melhorado, caso a quantidade do recurso i (bi) fosse aumentado de uma quantidade igual à unidade.

7 Preço de Sombra Solução Gráfica
, 21 5 20 s.r. 30 40 Max 2 1 10 3 + = x Z Solução Ótima (0;25) (18,75;25) (25;20) (0;0) (35;0) Vamos medir o efeito de aumentar essa constante em 3 unidades, até 24?

8 Preço de Sombra Solução Gráfica
Max Z = 40 x + 30 x Max Z = 40 x + 30 x 1 2 1 2 s.r. s.r. x + 2 1 x 20 x + 2 1 x 20 5 1 2 2 5 1 2 2 1 x 5 1 x 5 5 2 5 2 3 x + 3 x 21 x + 3 3 x 24 5 1 10 2 5 1 10 2 x , x x , x 1 2 1 2

9 Preço de Sombra Solução Gráfica
O conjunto de soluções viáveis foi alterado A solução ótima também foi alterada , 24 5 20 s.r. 30 40 Max 2 1 10 3 + = x Z Solução Ótima (18,75;25) (0;25) (25;20) (0;0) (35;0) (40;0)

10 Preço de Sombra Solução Gráfica
Na primeira situação tínhamos Dado o acréscimo de 3 unidades na segunda restrição obtivemos: Portanto: Alteração da Função-objetivo: Logo, preço de sombra : 3 400 1600 5200 = - 44 , 3 400 =

11 Preço de Sombra Solução Gráfica
Max Z = 40 x + 30 x , 21 6 20 s.r. 30 40 Max 2 1 10 3 5 + = x Z 1 2 s.r. x + 2 1 x 20 5 1 2 2 x 1 5 5 2 x + 3 3 x 21 5 1 10 2 x , x 1 2

12 Preço de Sombra Solução Gráfica
, 21 6 20 s.r. 30 40 Max 2 1 10 3 5 + = x Z (0;25) (0;0) (18,75;25) (35;0) Solução Ótima (25;20) (0;30) O conjunto de soluções viáveis foi alterado Essa restrição não limitava à solução ótima inicial, que não foi alterada. Qual é o preço de sombra desta restrição? ZERO

13 Interpretação Econômica do Problema Dual Custo Reduzido
Cada variável de folga/excesso do Dual está diretamente relacionada a uma determinada variável original do problema Primal; Esse valor é chamado de Custo Reduzido ou Reduced Cost; Portanto, cada variável do problema original possui um determinado custo reduzido. 14

14 Custo Reduzido O custo reduzido de uma variável é:
o total que o seu coeficiente na função-objetivo deve melhorar para que ela deixe de ser zero na solução ótima; quanto a função-objetivo irá piorar para cada unidade que a variável aumente a partir de zero; O custo reduzido só se aplica a variáveis que, na solução ótima, assumem o valor zero.

15 Exemplo A tabela abaixo sintetiza o problema de um pecuarista: São três alimentos diferentes que contribuem com alguns nutrientes para a alimentação do gado. Qual é o custo mínimo diário para estabelecer uma dieta com o requerimento mínimo? Ingrediente Nutritivo Quilo de milho ração alfafa Requerimento mínimo diário carboidratos 90mg 20mg 40mg 200mg proteínas 30mg 80mg 60mg 180mg vitaminas 10mg 150mg custo ($/kg) 21 18 15

16 Modelagem no Excel

17 Os Parâmetros do Solver

18 Resultado do Excel Mesmo resultado apresentado pelo Lindo

19 A Análise do Excel Os Reduced Costs Os preços de sombra

20 Análise de Sensibilidade Interpretação no Excel
Para o Excel, os conceitos de Preço-Sombra estão relacionados ao valor nominal do efeito na função-objetivo, isto é, quanto a função-objetivo aumenta ou diminui.

21 Análise de Sensibilidade
As quantidades informadas pelas grandezas Preço-Sombra e Custo Reduzido refletem as conseqüências de alterações unitárias; Alterações diferentes da unidade provocaram conseqüências proporcionais. Entretanto, estes valores só podem ser garantidos dentro de intervalos apontados nos relatórios, se a solução ótima não for degenerada.

22 Preço de Sombra Limite Partindo do problema: 30 40 Max + = x Z s.r. 20
Solução Ótima 30 40 Max 2 1 + = x Z s.r. (0;25) 20 2 1 5 + x (18,75;25) 5 2 1 x (25;20) 21 2 10 3 1 5 + x , 2 1 x (0;0) (35;0)

23 Preço de Sombra Limite Z = 40 x + 30 x s.r. 20 £ + x 5 £ x 21 £ + x ,
Max Z = 40 x + 30 x = + Max Z 40 x 30 x 1 2 1 2 s.r. s.r. 20 2 1 5 + x 20 2 1 5 + x 5 2 1 x 5 2 1 x 21 2 10 3 1 5 + x 24 2 10 3 1 5 x + x , 2 1 x , x 1 2

24 Alteração da Função= Objetivo:
Preço de Sombra Limite Solução Ótima Solução Ótima (0;25) (18,75;25) (0;25) (18,75;25) (25;20) (25;20) (0;0) (35;0) (0;0) (35;0) (40;0) Alteração da Função= Objetivo: Logo, preço de sombra :

25 Preço Sombra: Limite no Excel
Problema Original Problema Alterado

26 Preço Sombra: Limite no Excel
Problema Original Problema Alterado Mesmo Preço-Sombra

27 Preço de Sombra Limite 30 40 Max + = x Z s.r. 20 £ + x 5 £ x 21 £ + x
10 3 1 5 + x x + 30 3 3 x 5 1 10 2 , 2 1 x , 2 1 x

28 Preço de Sombra: Limite
Solução Ótima Solução Ótima (0;25) (0;25) (18,75;25) (18,75;25) (25;20) (25;20) (35;0) (0;0) (35;0) (50;0) Alteração da Função- Objetivo: Logo, preço de sombra : O valor do preço de sombra permaneceu constante

29 Preço Sombra: Limite no Excel
Problema Original Problema Alterado

30 Preço Sombra: Limite no Excel
Problema Original Problema Alterado Mesmo Preço-Sombra

31 Caso Motorela Celulares
Para produzir 3 tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorela utiliza três processos diferentes, o de montagem, a configuração e a verificação. Para fabricar o celular Multi-Tics, são necessárias 0,1 h de montagem, 0,2 h de configuração e 0,1 h de verificação. O mais popular Star Tic Tac requer 0,3 h de montagem, 0,1 h de configuração e 0,1 h de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 h de montagem, 0,3 h para configuração, porém, em virtude de seu circuito de última geração, não necessita de verificação. A fábrica dispõe de capacidade de 290 hs/mês na linha de montagem, 250 hs/mês na linha de configuração e 110 hs/mês na linha de verificação. Os lucros unitários dos produtos Multi-Tics, Star Tic-Tac e Vulcano são R$ 100, R$ 210 e R$ 250, respectivamente e a Motorela consegue vender tudo o que produz. Sabe-se ainda que o presidente da Motorela exige que cada um dos três modelos tenha produção mínima de 100 unidades e quer lucrar pelo menos R$ /mês com o modelo Star Tic-Tac. O presidente também exige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo Star Tic-Tac. Resolva utilizando o Solver do Excel: Observação: Fazer o caso no computador a planilha está anexa. Cada nova pergunta deve ser feita sem apresentar a resposta.

32 Caso Motorela Celulares Variáveis de Decisão
x1- Número de celulares Multi-Tics produzidos mensalmente. x2- Número de celulares Star Tic-Tacs produzidos mensalmente. x3- Número de celulares Vulcanos produzidos mensalmente.

33 Caso Motorela Celulares: Função-Objetiva
Maximizar o Lucro da Motorela 3 2 1 250 210 100 x Max +

34 Caso Motorela Celulares: Restrições
Produção Linha de Montagem Linha de Configuração Linha de Verificação 290 4 , 3 1 2 + x 250 3 , 1 2 + x 110 1 , 2 + x

35 Caso Motorela Celulares: Restrições
Produção Mínima Lucro Mínimo Star Tic-Tac Produção Vulcano Não Negatividade 100 ; 3 2 1 x 25200 210 2 x 2 3 x ; 3 2 1 x

36 Caso Motorela Celulares: Modelo
; 2 25200 210 100 110 1 , 250 3 290 4 + x st Max

37 Caso Motorela Celulares: Modelo no Excel

38 Caso Motorela Celulares: Parametrização do Solver

39 Caso Motorela Celulares: Relatórios
Marcar os Relatórios Desejados

40 Caso Motorela Celulares: Solução

41 Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios
Que restrições limitam a solução ótima?

42 Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios
Quanto deve ser melhorado no lucro unitário para que se produza o modelo Star Tic-Tac?

43 Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios
Até quanto você pagaria por uma hora de verificação terceirizada?

44 Alterando o Problema Para Verificar Resultado
Problema Alterado - Mesmo Valor Ótimo

45 Caso Motorela Celulares Análise dos Relatórios
Até quanto você pagaria por uma hora de montagem terceirizada?

46 Alterando o Problema Para Verificar Resultado
=

47 Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios
O que significa o shadow price de -20 na última restrição? Cada unidade adicional de Vulcano provoca perda de lucratividade de R$20,00, isto é, a função-objetivo diminui de 20.

48 Alterando o Problema Para Verificar Resultado
=

49 Caso Agropecuária Coelho
O Sr. Coelho possui uma fazenda de criação de porcos para abate, e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requerimentos básicos diários de nutrientes: 200 u.m. de carboidratos, 250 u.m. de proteínas e 120 u.m. vitaminas. Considere que os alimentos disponíveis do mercado são milho, ração e alfafa, ao custo por quilo de R$20,00, R$30,00 e R$35,00, respectivamente. A tabela abaixo resume a quantidade de cada nutriente (u.m.) presente em um quilo de cada alimento: Observação: Poderia a partir deste slide elaborar outra aula? O caso não poderia ser apresentado em texto pré-impresso? Milho Ração Alfafa Carboidratos 10 20 Proteínas 40 Vitaminas 30

50 Caso Agropecuária Coelho: Variáveis de Decisão
x1 – quantidade de quilos de milho na alimentação diária x2 – quantidade de quilos de ração na alimentação diária x3 – quantidade de quilos de alfafa na alimentação diária Função-objetivo: minimizar custos da alimentação diária Min 20x1 + 30x2 + 35x3 Restrições do modelo: Carboidratos: 10x1 + 20x2 + 20x3 ³ 200 Proteínas: 10x1 + 20x2 + 40x3 ³ 250 Vitaminas: 40x1 + 30x2 + 20x3 ³ 120

51 Caso Agropecuária Coelho: Modelo
; 120 20 30 40 250 10 200 35 3 2 1 + x st Min

52 Caso Agropecuária Coelho: Modelo no Excel

53 Caso Agropecuária Coelho: Solução no Excel

54 Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios
Que tipos de nutrientes são limitantes da dieta básica? Carboidratos e Proteínas

55 Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios
Quanto deveríamos exigir de redução no custo do milho para que ele participasse como matéria prima da alimentação diária?

56 Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios
Qual o custo marginal que uma 1 u.m. adicional de vitaminas traria à agropecuária?

57 Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios
Qual a variação de custo que uma exigência de 1 u.m. adicional de carboidratos na dieta diária? O custo adicional é de R$ 1,25 (valor positivo)

58 Intervalos de Validação do Preço-Sombra e do Custo Reduzido
A análise de sensibilidade determina os intervalos em que o Custo Reduzido e o Preço-Sombra são válidos Uma razão para se estabelecer esses intervalos está ligada a hipótese de certeza assumida em modelos de programação linear.

59 Análise de Sensibilidade Solução Degenerada
A solução de um problema de Programação Linear algumas vezes apresenta uma anomalia conhecida como degeneração. Uma solução de uma PL é dita degenerada quando o valor de incremento ou decremento de uma restrição é igual a zero. A presença de degeneração altera a interpretação da análise de sensibilidade em um certo número de maneiras.

60 Análise de Sensibilidade
A análise de sensibilidade serve também para amenizar a hipótese de certeza nos coeficientes e constantes. Em uma análise de sensibilidade queremos responder basicamente a duas perguntas: Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função- objetivo? Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição?

61 Análise de Sensibilidade
Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade: Estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da função-objetivo e constantes das restrições: Excel; Hipótese de uma alteração a cada momento; Verifica se uma ou mais mudanças em um problema alteram a sua solução ótima: Mais Complicado Pode ser feito através da alteração do problema e sua nova resolução.

62 A Análise de Sensibilidade Através de Limites
Vamos nos dedicar ao primeiro tipo de análise. A análise dos limites dos coeficientes da função-objetivo e das constantes das restrições do problema. Vamos entender o processo da análise dos coeficientes da função-objetivo primeiro.

63 Análise de Sensibilidade Solução Gráfica
x2 Max Z x = + 40 30 1 2 , 21 5 20 10 3 Solução Ótima (0;25) (18,75;25) (25;20) x1 (0;0) (35;0)

64 Análise de Sensibilidade Solução Gráfica
Função- Objetivo 2 Max Z x = + 40 30 1 , 21 5 20 10 3 (25;20) (0;25) (18,75;25) (0;0) (35;0)

65 Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo
As três retas pertencem a uma mesma família de retas, pois têm o ponto (25;20) em comum. Uma diferença entre elas é no coeficiente angular. A mudança de um coeficiente da função objetivo causará uma alteração no coeficiente angular da função-objetivo. Função- Objetivo (0;25) (25;20) (18,75;25) (0;0) (35;0)

66 Análise dos Coeficientes da Função Objetivo
Portanto, enquanto o coeficiente angular da função-objetivo estiver entre os das retas limites a solução ótima não se alterará. A B (0;25) (25;20) (18,75;25) (0;0) (35;0)

67 Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo
Declividade da reta B Declividade da reta A -2 < Declividade da Função-Objetivo < -0,8

68 Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo
A forma geral da função objetivo é dada por: Que na Forma declividade-Interseção é dada por

69 Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo
Estudaremos uma variação por vez, portanto manteremos constante primeiramente c2=30. Logo, podemos dizer que:

70 Análise dos Coeficientes da Função Objetivo
Para estudarmos as variações possíveis de c2, manteremos c1 =40. Logo, temos:

71 Análise dos Coeficientes da Função Objetivo
Poderíamos então criar uma tabela resumindo os limites dos coeficientes das variáveis na função-objetivo: Mantendo esses limites, podemos garantir que a solução ótima (não degenerada) será a mesma! 50 30 20 x2 60 40 24 x1 Máximo Atual Mínimo

72 A Análise do Excel 50=30+20 30 20=30-10 x2 60=40+20 40 24=40-16 x1
Máximo Atual Mínimo

73 Análise de Sensibilidade Constantes das Restrições
As constantes das restrições também estão submetidas a limites; Esses limites dizem respeito aos Preços-Sombra, e não à solução ótima; Veja que os Preços-Sombra equivalem à solução ótima do Dual, onde as constantes das restrições são os coeficientes da Função-objetivo; O estudo dos limites é feito de maneira similar.

74 O Limite dos Coeficientes das Restrições Excel
Variações permitidas às constantes das restrições! = infinito

75 Analisando Todas as Respostas do Excel
Modelo Max Z x = + 40 30 1 2 , 21 5 20 10 3

76 Solicitando os Relatórios
Marcar os relatórios desejados

77 Análise de Sensibilidade Excel
Valor das variáveis na solução ótima Valor máximo da função-objetivo

78 Relatório de Respostas
Agrupar => LHS=RHS Sem Agrupar => LHSRHS, quando a variável de folga for básica e diferente de zero. Variáveis de Folga

79 Relatório de Respostas Observação Importante
O Excel determina que a restrição tem status “Sem Agrupar" quando a variável de folga daquela restrição é básica. Geralmente, isto significa que existe folga, e portanto LHS (diferente) RHS . Entretanto, é possível acontecer da variável de folga ser básica e igual a zero. Neste caso, a restrição terá status Agrupar e LHS = RHS.

80 Análise Econômica do Excel
Valores ligados ao Problema Dual

81 Análise Econômica do Excel
As interpretações para o Preço-Sombra são as seguintes: A quantidade pela qual a função-objetivo será modificada (valor nominal) dado um incremento de uma unidade na constante de uma restrição. Quanto estaríamos dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso.

82 Análise Econômica do Excel
Existem duas interpretações para o Custo Reduzido: A quantidade que o coeficiente da função- objetivo de uma variável original deve ser modificada antes dessa variável se tornar básica. A quantidade de penalização que será paga se quisermos tornar uma variável básica.

83 Análise de Sensibilidade Excel
Variações de incremento e decremento, aos quais cada coeficiente da Função-Objetivo, isoladamente, pode ter sem que a solução ótima (valores ótimos das variáveis) se altere.

84 Análise de Sensibilidade Excel
Variações de incremento e decremento, ao qual a constante de uma Restrição, isoladamente, pode ter sem que o seu Preço-Sombra (Dual Price) se altere.

85 Relatório de Limites A coluna Inferior Limite indica o menor valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.

86 Análise de Sensibilidade Excel – Limits Report
A coluna Superior Limite indica o maior valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.

87 Análise de Sensibilidade Solução Degenerada
Quando a solução ótima é degenerada O valor do Custo Reduzido pode não ser único. O valor de incremento e decremento dos coeficientes da função-objetivo permanecem válidos. De fato, os valores podem se alterar substancialmente acima desse valores, sem que a solução ótima se altere. O valor do Preço-Sombra e seus intervalos podem continuar sendo interpretados da mesma maneira, contudo podem não ser únicos. Observação: Propor atividade de fixação e indicar leitura básica e complementar. Aula muito extensa. Redimensionar.