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Zeros Reais de Funções Reais. Métodos iterativos - Zeros I. Método da Bissecção II. Método da Posição Falsa III. Método do Ponto Fixo IV. Método de Newton-Raphson.

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1 Zeros Reais de Funções Reais

2 Métodos iterativos - Zeros I. Método da Bissecção II. Método da Posição Falsa III. Método do Ponto Fixo IV. Método de Newton-Raphson V. Método da Secante

3 Introdução Zero real da função real : Comentário: Nesta aula estamos interessados somente em zeros reais de funções reais.

4 Introdução Graficamente, os zeros reais de são as abscissas dos pontos da intersecção da curva com eixo

5 Introdução A obtenção dos zeros da função é dividida bem duas fases. Parte 1: Isolamento das raízes (obter um intervalo que contém uma raiz) Parte 2: Refinamento (refinar a aproximação iniciai até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma certa precisão prefixada)

6 Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ Teorema 1. Seja contínua em Se, então existe pelo menos um em que é zero de

7 Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ Teorema 2. Seja contínua em. Se e se existir, que preserva o sinal em, então este intervalo contem um único zero de

8 Parte 1 Formas de se localizar as raízes de : Tabelar e analisar as mudanças de sinal de e o sinal da derivada nos intervalos em que mudou de sinal. Análise gráfica da função.

9 Parte 1- Exemplo 1 / Método1 Seja. Sinais de As raízes estão nos intervalos de mudança de sinal de. Veja.....

10 Parte 1- Exemplo 1 / Método 2 Façamos o gráfico de Novamente temos os intervalos dos zeros.

11 Parte 1- Exemplo 1 / Método 3 Façamos o gráfico da função equivalente Novamente temos os intervalos dos zeros

12 Parte 1- Exemplo 2 Seja para. Sinais de Logo temos uma única raiz!!!!! Sinais de Temos uma raiz no intervalo

13 Parte 2 - Refinamento Refinamento por métodos iterativos Métodos iterativos=Seqüência de ciclos Iteração=um ciclo (loop) Iteração k depende da iteração anterior k-1 Testes (critérios) verificam se resultado da iteração k atingiu resultado esperado.

14 Parte 2 - Refinamento Critérios de parada: está suficientemente próximo da raiz exata? Métodos iterativos podem ser representados por um diagrama de fluxo

15 Parte 2 - Refinamento Dados iniciais k=1 Cálculo da nova aproximação A aproximação está suficientemente próxima da solução exata? k=k+1 Cálculos finais Sim Não

16 Critérios de parada Teste para verificar se está suficientemente próximo da raiz exata. Então, é a raiz aproximada com precisão, se: i) ou ii) Não conhecemos Nem sempre é possível satisfazer (i) e (ii) simultaneamente.

17 Critérios de parada Caso 1 Caso 2

18 Critérios de parada Note que satisfazer não implica que. Note que satisfazer não implica que. Métodos numéricos satisfazem os dois critérios, preferencialmente. Programas estipulam um número máximo de iterações (evitar looping)

19 Critérios de parada – Método Geral Reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Se um intervalo é tal que Então pode ser

20 Métodos iterativos - Zeros I. Método da Bissecção Seja contínua em, tal que. Se preserva o sinal em, então o intervalo contem uma única raiz de. Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que, dividindo ao meio sucessivamente.

21 Métodos iterativos - Zeros I. Método da Bissecção Seja com zero em As iterações são realizadas da forma 1) 2) 3) Continue o processo até que e

22 Método da Bissecção b=b 0 a=a0a=a0 x0x0 || a1a1 x1x1 b2b2 a3a3 a2a2 b1b1 x2x2 b3b3

23 Método da Bissecção I. Método da Bissecção-Exemplo Seja com e. Temos Obtemos em dez iterações. iteração x f(x) b-a

24 Método da Bissecção Iteração akak bkbk xkxk f(x k )b k -a k k= k= k= k= k= k= k= X10 -3 k= X10 -3 k= X X10 -3 k= X X10 -4 Note que (b k -a k )<

25 Método da Bissecção I. Estudo da Convergência Teorema: O método da bissecção gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em.

26 Método da Bissecção I. Estimativa do numero de iterações Dada a precisão e um intervalo inicial, qual será o número de iterações para que. Tomando o logarítmo da equação,

27 Método da Bissecção I. Estimativa do numero de iterações - Exemplo Queremos o zero da função no intervalo com precisão. O número de iterações a realizar pelo método da bissecção é:

28 Métodos iterativos - Zeros II. Método da Posição Falsa Seja contínua em, tal que. Se preserva o sinal em então o intervalo contem uma única raiz de. Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que, dividindo por meio de uma média aritmética ponderada em.

29 Método da Posição Falsa II. Média Ponderada Para e. Como, podemos supor que o zero está mais próximo de. Assim, fazemos uma média ponderada, de modo que fique mais próximo de.

30 Método da Posição Falsa II. Método da Posição Falsa Seja com um zero em. As iterações são realizadas da forma 1) 2) Continue o processo até que e.

31 Método da Posição Falsa II. Método da Posição Falsa - Exemplo Seja com e. Temos. Obtemos em três iterações. O Método da bissecção necessitava de 10 iterações para tal precisão. Iteraçãoakak bkbk xkxk f(x k )b k -a k k= k= X k= X Um dos critérios de parada foi atingido

32 Método da Posição Falsa I. Estudo da Convergência Teorema: O método da posição falsa gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em. Comentário: A convergência é mais rápida que no método da bisecção.


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