Relações.

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1 Relações

2 Relações Ao estudarmos conjuntos, estamos interessados em certas propriedades de seus elementos ou em relações entre conjuntos. Ou seja, queremos analisar sua estrutura.

3 Relações Modelos matemáticos de fenômenos da natureza
podem ser divididos em três grandes categorias: Estruturas de Ordem <C, R> Estruturas Algébricas <C, Op> Estruturas Topológicas (Geometria, Análise) <C, P(C)>

4 Relações Binárias Na vida real, quando dizemos que duas pessoas, Maria e José, se relacionam, entendemos que Maria e José se distinguem dos demais pares de pessoas por haver uma relação que eles satisfazem ou verificam. Ex.Maria e José são casados. Maria e José são colegas de trabalho. Maria e José não se entendem. Maria manda em José Em matemática é análogo: distinguimos determinados pares de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os elementos dos demais pares, em geral, não satisfazem. Notação: casado-com(Maria, José), mora-em(Maria, Campina Grande) (Maria, casado-com, José) (Maria, mora-em, Campina Grande)

5 R  SxS = S2 Relações Binárias Dados dois conjuntos S e T
Uma relação R entre S e T é dada por R  SxT Uma relação binária R em S é dada por R  SxS = S2

6 Relações Binárias Ex.: Sejam S= {1,2} e T = {2,3}
Temos que SxT = {(1,2). (1,3), (2,2), (2,3)} Relação de igualdade: os elementos do par são iguais. O único par do “universo” (SxT) que satisfaz essa relação é (2,2), Relação menor do que: isto é, primeiro elemento do par é menor do que o segundo. Três pares se distinguem: (1,2), (1,3), (2,3).

7 Relações Binárias Definição de uma relação   ST: com palavras
pela enumeração dos pares ordenados que a satisfazem. Por uma fórmula relacional Pela definição do conjunto  Usaremos a notação xy ou (x,y) para indicar que o par ordenado (x,y) satisfaz ou pertence à relação : x y  (x,y)  . Uma relação   ST também é denotada por (ST)

8 Relações Binárias Exemplos. Sejam S = {1,2} e T = {2,3,4} :
descrição: x  y  x+y é ímpar. x  y  x+y = 2n+1, com n  N x  y = {(1,2), (1,4), (2,3)}  = {(x,y) | x  S e y T e x+y é ímpar} Seja PESSOA um conjunto de pessoas, podemos ter: casado-com(PESSOA, PESSOA)

9 Relações Binárias Para cada uma das seguintes relações binárias  em NN, determine quais dos pares ordenados apresentados pertencem à : x  y  x = y+1 ((2,2), (2,3), (3,3), (3,2) x  y  x divide y (2,4), (2,5), (2,6) x  y  x é ímpar (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) x  y  x > y2 (1,2), (2,1), (5,2), (5,4), (4,3))

10 Relações n-árias Dados os conjuntos S1, S2, ..., Sn, uma relação n-ária em S1S2...Sn é um subconjunto de S1S2...Sn. Neste caso para uma relação  em S1S2...Sn escrevemos (s1, s2, ...,sn) se s1, s2, ...,sn pertence à relação. Exemplo: A= {1,2}, B = {2}, C = {2,3}. ABC = {(1,2,2), (1,2,3), (2,2,2), (2,2,3)} (x,y,z)  x=y=z  = {(2,2,2)} (x,y,z)  x>y  = ??

11 Relações unárias Uma relação unária  em um conjunto S é um subconjunto particular de S. Um elemento x de S satisfaz ou pertence à  se, e somente se, x pertence ao subconjunto que define a relação. Exemplo 1: O conjunto dos números pares P (subconjunto de N) é definido pela relação: x   x é par. Exemplo 2: Para o conjunto pessoa podemos ter a relação unária maior-de-idade(PESSOA).

12 Relações em um conjunto S
Uma relação binária em um conjunto S é um subconjunto de S2 = (SxS). Ex.: x  y  xy em N Analogamente, uma relação n-ária em um conjunto S é um subconjunto de Sn. Ex.: (x,y,z)   x+y=z em N.

13 Definições Seja  uma relação binária em SxT. Então,  consiste de um conjunto de pares ordenados da forma (s,t).  é uma relação um-para-um se cada primeiro elemento s e cada segundo elemento t aparecem exatamente uma vez na relação. Formalmente: se (s,t)   e (s,t’)   então t=t’ e se (s,t)   e (s’,t)   então s=s’ Ex.: Sejam S = {2,5,7,9} e T = {1,3,4,5}  = {(2,4), (5,5), (7,3), (9,1}

14 Definições  é uma relação um-para-vários se algum primeiro elemento s aparece mais de uma vez. Ex.:  = {(7,4), (2,5), (2,3)}  é uma relação vários-para-um se algum segundo elemento t fizer par com mais de um primeiro elemento s.. Ex.:  = {(2,4), (3,4), (5,2)}  é uma relação vários-para-vários se pelo menos um s fizer par com mais de um t e pelo menos um t fizer par com mais de um s.. Ex.:  = {(7,4), (2,5), (9,4), (2,3)}

15 Definições fracas  é uma relação um-para-um se se cada primeiro elemento s e cada segundo elemento t aparecem no máximo uma vez na relação  é uma relação um-para-vários se algum primeiro elemento s pode aparecer mais de uma vez.  é uma relação vários-para-um se algum segundo elemento t pode fazer par com mais de um primeiro elemento s..  é uma relação vários-para-vários se é um-para-vários e vários-para-um.

16 Operações sobre relações
Seja B o conjunto de todas as relações binárias em um dado conjunto S: B = P(SxS) = {:  é uma relação binária em S} Isto é, se   B, então   S2 . Assim, se  e s  B, então podemos aplicar as operações de conjuntos à  e s resultando em novos subconjuntos de S2, isto é, em novas relações binárias: x (  s) y  x  y ou x s y. x (  s) y  x  y e x s y. x ’ y  não x  y.

17 Exercícios 1. Sejam  e s duas relações binárias em S={1,2,3,4,5} definidas por: x  y  x = y. e x s y  x < y. Encontre:   s ’ s’   s   ’ 2. Analise as relações pai-de(PESSOA,PESSOA), casado-com(PESSOA, PESSOA) e trabalha-em(PESSOA,EMPRESA) Quanto às características um-para-um, um-para-muitos, etc.)

18 Propriedades das relações
Seja  uma relação binária em S.  é reflexiva quando xx para todo x  S.  é simétrica quando xy se, e somente se yx para todo x e y  S.  é transitiva quando, xy e yz implica xz para todo x, y e z  S.  é anti-simétrica quando xy e yx implica x = y para todo x e y  S.

19 Exemplos Seja S = P(N) e seja A  B  A  B. Então:  é reflexiva.
 é transitiva.  é anti-simétrica. Seja S = N os naturais, e x  y  o resto da divisão de x e y por 10 é o mesmo.  é reflexiva.  é transitiva.  é simétrica

20 Fecho de uma relação Se uma relação  em um conjunto S não tem uma certa propriedade, podemos tentar estender  a fim de obter uma relação * em S que tenha a propriedade. Uma relação binária * em um conjunto S é dita ser o fecho de uma relação  em S relativo à propriedade P se: * tem a propriedade P;   * ; * é a ‘menor’ relação contendo  com a propriedade P, ou seja  ’ com P e   ’ vale *  ’

21 Fecho de uma relação Obs.: a nova relação * conterá todos os pares ordenados que  contém mais os pares ordenados adicionais necessários para que a propriedade desejada se verifique. Portanto,   *. Exemplo: Seja S = {1,2,3} e  = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} Então, o fecho reflexivo de  em S é: * = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)} o fecho simétrico de  em S é: * = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}

22  = {(c,c), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)}
Exercício Seja S = {a,b,c,d} e  = {(c,c), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)} Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo de . E o fecho anti-simétrico??

23 Relações de Ordem Ordem Parcial
Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é dita ser uma relação de ordem parcial (ordenação parcial) em S. Exs.: x  y  x  y (em N) A  B  A  B (em P(N)) x  y  x divide y (em N) x  y  x = y2 (em {0,1}).

24 Ordem Parcial Se  é uma ordenação parcial em S, então o par (S, ) é chamado de um conjunto parcialmente ordenado (POSET). Obs.: denotaremos por (S,) qualquer conjunto parcialmente ordenado (poset). Seja (S, ) um poset e seja A  S. Então,  é um conjunto de pares ordenados de S, alguns dos quais podem ser pares ordenados de A. O conjunto formado pelos pares ordenados de A que pertencem a  é dito ser a restrição de  à A (notação |A e constitui uma ordenação parcial em A. Exemplo: (N, x divide y) é um poset. Então, ({1,2,3,6,12,18}, x divide y) também é um poset.

25 Ordem Parcial Notação visual de um POSET:
Exemplo: ({1,2,3,6,12,18}, x divide y) 12 18 6 2 3 1

26 Predecessor e Sucessor
Seja (S,) um poset. Se x  y, temos duas possibilidades: x = y ou x  y. Se x  y e x  y, denotamos por x < y e dizemos que x é um predecessor de y ou que y é um sucessor de x. Um dado y pode ter diversos predecessores mas, se x < y e não há z tal que x < z < y, então dizemos que x é um predecessor imediato de y. Exercício: Considere a relação “x divide y” em {1,2,3,6,12,18}: Escreva os pares ordenados desta relação; Escreva todos os predecessores de 6; Escreva todos os predecessores imediatos de 6.

27 Exemplo Considere o conjunto P({1,2}) e a relação de inclusão em conjuntos (). Já sabemos que (P({1,2}), ) é um poset. O conjunto e seu grafo são mostrados abaixo: P({1,2}) = {, {1}, {2}, {1,2}} {1} {1,2} {2} 

28 Grafo de um Poset Se s é finito, então podemos descrever um poset (S, ) visualmente através de um grafo (Diagrama de Hasse): cada elemento de S é representado por um ponto (nó, nodo ou vértice); se x é um predecessor imediato de y, então o nó de y é desenhado acima do nó de x e os dois nós são ligados por uma linha. (P({1,2}), ): {1} {1,2} {2} 

29 Grafo de um Poset Exemplo: Diagrama de Hasse dos divisores de 60

30 Posets especiais Uma árvore é um poset (S, ) em que
existe um elemento r S que é predecessor de todos outros, isto é para todo s  S temos r  d, (é chamado de raiz da árvore) todo elemento de S, exceto a raiz, possui um único predecessor imediato. .

31 Posets especiais Dado um poset (S, ) e dois elementos r,s  S,
Definimos t=sup(r,s) como o ‘menor’ elemento t tal que r  t e s  t. Análogamente definimos q = inf(r,s) Escrevemos t = r+s e q = r.s. Note que nem todo poset possui r+s e r.s DEFINIÇÃO: Um reticulado é um poset (S, ) em que para quaisquer r,s  S, existe um (único) sup(r,s) e um único inf(r,s). Dado um reticulado finito (S, ), defina sup(S) e inf(S)

32 Exercício Desenhe o grafo da relação “x divide y” em {1,2,3,6,12,18}.
Obs. Podemos reconstruir o conjunto de pares ordenados da relação a partir do grafo. Dado abaixo o grafo de uma ordenação parcial  em um conjunto S = {a,b,c,d,e,f}, descreva a relação : b c a d e

33 Exercícios Mostre que para todo conjunto S, P(S) é um reticulado.
Encontre Para quaisquer A,B  P(S), sup(A,B) e inf(A,B) sup(P(S)) e inf(P(S)). Um reticulado pode ser uma árvore? Porque?

34 Mínimo/Máximo e Minimal/Maximal
Seja (S, ) um conjunto parcialmente ordenado. Se houver um x S tal que x  y para todo y  S, então, x é um elemento mínimo do conjunto. Exercício: mostre que um elemento mínimo, se houver, é único. Seja (S, ) um poset. Um elemento y  S é dito ser minimal se não houver outro x  S tal que x  y.

35 Mínimo/Máximo e Minimal/Maximal
Obs.: O elemento mínimo (máximo) é sempre minimal (maximal) mas a recíproca não é verdadeira. Exercício: Mostre que um reticulado tem um único elemento minimal (o mínimo) e um único maximal (o máximo). Resposta da questão é não. Seja [R, {<a,b>, <a,c>, <b,d>, <b,e>, <c,d>, <c,e>, <d,f>, <e,f>}], tem minimo {a} e máximo {f} mas não é reticulado pois sup(b,c) = {d,e} não é único. Questão: Um poset que tem um elemento mínimo e um elemento máximo é um reticulado?

36 Exercícios Desenhe o grafo de um poset com 4 elementos, 2 elementos minimais, nenhum elemento mínimo, 2 elementos maximais e nenhum elemento máximo. Desenhe o grafo dos posets abaixo e identifique quais são árvores ou reticulados: S = {1,2,3,5,6,10,15,30} e x  y  x divide y. S = P({1,2,3}) e A  B  A  B. S = {a,b,c,d} e  = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (a,c)}

37 Ordem Total Uma ordenação parcial na qual todo elemento do conjunto está relacionado com todos os demais elementos é chamado de cadeia (ordenação total). em outras palavras, (S, ) é uma ordem total se para todo (x,y), vale, ou x  y ou y  x. Obs.: o grafo de uma ordenação total tem a forma de uma linha. Exemplo: a relação “” em N é uma ordem total.

38 Exercícios Analise os conjuntos totalmente ordenados quanto aos conceitos de árvore, reticulado, mínimo, minimal, etc.

39 Relação de Equivalência
Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação de equivalência em S. Exs.: x  y  x + y é par (em N) x  y  x = y2 (em {0,1}) x  y  x senta na mesma coluna que y (em sala)  = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)} (em{1,2,3})

40 xy  x senta na mesma coluna que y (S = alunos na sala)
Partição Seja  a relação em S definida por: xy  x senta na mesma coluna que y (S = alunos na sala)  particiona o conjunto S em subconjuntos de forma que todo aluno da classe pertence a um, e apenas um, subconjunto. Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos disjuntos não-vazios de S cuja união resulta em S. Os subconjuntos que formam a partição (chamados de classes de equivalência) são formados pelos elementos de S que se relacionam.

41 Classe de Equivalência
Seja  uma relação de equivalência em S e x um elemento de S (x S). Denotamos por [x] o conjunto de todos os elementos de S que se relacionam com x e chamamos esse conjunto de classe de equivalência de x. Assim, [x] = { y : y S e x  y}. Exemplo: No caso da relação “x senta na mesma coluna que y”, suponha que João, Pedro e Maria sentam todos na coluna 3. Então: [João] = [Pedro] = [Maria] = {João, Pedro, Maria}.

42 Relação de Equivalência
Teorema: Seja  uma relação de equivalência em S. Então, as classes de equivalência distintas de S formam uma partição S, ou seja, (1) a união das classes resulta em S e (2) classes distintas são disjuntas. Prova: Seja UxS[x]  união de todas as classes de equivalência de S. 1. UxS[x] = S UxS[x]  S. Cada classe [x] é um subconjunto de S. Portanto, UxS[x] também é um subconjunto de S. S  UxS[x]. Seja x S . Como xx (reflexiva). temos x  [x]. Portanto, como x é qualquer, todo elemento de S pertence a alguma classe de equivalência e, portanto, pertence à união das classes.

43 Relação de Equivalência
2. Se [x]  [z], então [x]  [z] = . Vamos mostrar por contradição. Vamos assumir que [x]  [z]  . Se [x]  [z]  , então existe yS tal que y [x]  [z]: y [x]  [z] y [x] e y [z] xy e zy xy e yz xz O que nos permite dizer que [x] = [z], o que contradiz a premissa [x]  [z].

44 Relação de Equivalência
Corolário: Uma relação de equivalência em um conjunto S determina uma partição de S e uma partição de S determina uma relação de equivalência. Prova: Do teorema anterior e do fato de que a relação xy  “x está no mesmo subconjunto da partição que y” é uma relação de equivalência. Obs.: O particionamento de um conjunto em classes de equivalência é útil porque freqüentemente é conveniente tratar as classes como entidades.

45 Exemplo Seja S = { a/b : a, b Z e b  0}, ou seja, o conjunto de todas as frações. Duas frações a/b e c/d são ditas serem equivalentes (a/b  c/d) se, e somente se, ad = bc, ou seja: a/b  c/d  ad = bc A relação  é uma relação de equivalência.(verificar). Algumas classes de equivalência de  : [1/2] = {..., -3/-6, -2/-4, -1/-2, 1/2, 2/4, 3/6,...} [3/10]= {..., -9/-30, -6/-20, -3/-10, 3/10, 6/20, 9/30,...} Obs.: O conjunto Q dos números racionais pode ser visto como o conjunto de todas as classes de equivalência de S por .

46 Exercício Seja S = N os números naturais e a partição:
N = P  IP (em que P são os números pares e IP os números ímpares) Defina uma relação de equivalência  determinada por esta partição. Dadas as funções f(x)=x2+1 e g(x) = cos(2x). O que seria a classe de equivalência [] para cada uma dessas funções. Se R é o conjunto dos números reais, descreva as partições de S criadas por  sob f(x) e sob g(x). 1. Para f(x)=x2+1 [] = {, -} pois 2+1 = (-)2+1 = 9, = 10,87 Para g(x) = cos(2x), como cos(n)=1 para todo n par, temos [] = {k, para k=..-4,-2, 0, 2, 4, ..} 2. Para f(x)=x2+1, para cada real positivo x, {-x, x} é uma partição Para g(x) = cos(2x), para cada real y com -1<y<1 {x tal que cos(2x)=y}.será uma partição.

47 Aritmética Modular Exemplo: Seja Z o conjunto dos inteiros e seja 3 a relação congruência módulo 3 em Z definida da seguinte forma: x 3 y  x-y = k.3, para algum k Z . ( x  y (mod 3) ) Essa relação é uma relação de equivalência: x  x (mod 3)  x-x = 3.0 (k=0) Se x  y (mod 3) então y  x (mod 3). x-y=k.3, para algum k y-x = -k.3 y-x = (-k).3 y-x = m.3  y  x (mod 3). Se x  y (mod 3) e y  z (mod 3) então x  z (mod 3).

48 Aritmética Modular Seja Z o conjunto dos inteiros e seja n  Z+. Então, a relação x  y (mod n)  x-y = k.n, para algum k Z, é uma relação de equivalência. Obs.: Toda máquina tem um limite no tamanho dos inteiros que ela pode armazenar que depende do número fixo de bits que ela pode armazenar em uma posição de memória. Suponha que n-1 é o maior inteiro que pode ser armazenado e que x e y são inteiros tais que 0xn-1 e 0yn-1. O que acontece se for solicitado a soma x+y e ela exceder o limite n-1? R.: ela não pode ser armazenada. O que fazer?

49 Aritmética Modular Realizar a adição módulo n e armazenar o resto r da divisão de x+y por n. Se x+y > n-1, então podemos escrever: x+y = q.n +r, 0  r < n. Esta equação pode ser escrita como: (x+y) – r = q.n Ou seja, (x+y) – r é um múltiplo de n, e assim, pela definição acima: x+y  r (mod n) Isto quer dizer que r pode ser diferente de x+y, mas está na mesma classe de equivalência [x+y] e, como 0  r  n, está na faixa dos inteiros que podem ser armazenados. Portanto, todo número inteiro z em uma base n pode ser representado como: z = q.n + r, para algum 0  r < n. NOTAÇÃO: zn = (r,q)

50 Adição e Multiplicação Modular
Seja Zn = {0, 1, 2, ..., n-1}. A adição módulo n, denotada por +n em Z é definida por x +ny = r, onde r é o resto da divisão de x+y por n. Exemplo: = 4 3 +54 = 2 A multiplicação módulo n, denotada por n em Z é definida por x  ny = r, onde r é o resto da divisão de x . y por n. Exemplo: 2  53 = 1 ou seja 65 = (1,1) 4  54 = 1 ou seja 165 = (1,3)

51 Exercício Complete as tabelas abaixo para definir + 5 e  5 na notação (r,q): +5 1 2 3 4 (3,0)  5 1 2 3 4 (2,1)