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QUICKSORT Katia S. Guimarães Uma outra abordagem Dividir-para-conquistar? Vimos que o Mergesort usava.

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2 QUICKSORT Katia S. Guimarães

3 Uma outra abordagem Dividir-para-conquistar? Vimos que o Mergesort usava a abordagem dividir-para-conquistar, porém fazia a divisão de forma trivial, levando a muito trabalho na fase de conquistar. Será que poderíamos encontrar um esquema onde a divisão fosse feita com mais cuidado, de forma a tornar a conquista mais rápida?

4 Uma outra abordagem Dividir-para-conquistar Vamos procurar dividir o array em duas partes, de forma que: - Os elementos y, menores que um certo elemento x fiquem todos à esquerda de x, e - Os elementos z, maiores do que x fiquem todos à direita de x. y x x x < z

5 Uma outra abordagem Dividir-para-conquistar Ficam duas questões: 1- Será que isso agiliza a etapa do conquistar? 2- Quanto custa fazer uma divisão tão sofisticada? Se dividirmos o array de acordo com esta regra, na fase de conquistar (após o retorno das chamadas recursivas) o arquivo estará ordenado!

6 Quanto Custa Dividir? Como fazer uma divisão tão sofisticada? Vamos começar definindo quem será o pivô x. Se nenhuma distribuição dos elementos é conhecida, então um elemento é tão bom como outro qualquer no array. Tomaremos pivô x [1]

7 Quanto Custa Dividir? Em seguida, vamos começar a inspecionar o array pela esquerda, prosseguindo enquanto o elemento y sendo inspecionado for x : i left; enquanto array[ i ] x faça i i + 1 x y x z left right i

8 Onde devemos colocar o elemento z ? Como z > x, ele deve ser colocado numa posição mais à direita do array. Mas onde? Talvez na última posição do array? x y x z left right i z ?

9 Onde devemos colocar o elemento z ? Observe que na última posição do array pode haver um outro elemento t com t > x. Se colocarmos z ali, estaremos fazendo trabalho inútil, pois t já está no lugar correto. Então onde colocaremos z ?

10 Onde será um bom lugar para z ? Vamos começar a inspecionar o array pela direita, prosseguindo enquanto o elemento t sendo inspecionado for > x : j right; enquanto array[j] > x faça j j - 1 x y x z left right i j x y t

11 Situação conveniente Temos z = array[ i ] > x e t = array[j] x Se os trocarmos, teremos reduzido a nossa tarefa a um array bem menor que o original. x y x z left right i t j x y x y x t z x y x y xx y

12 Custo de Particionar? Como varremos o array comparando cada elemento com o pivô (eventualmente trocando os elementos de posição), o custo é ( n ). x y x z left right i t j x y x y x t z x y x y xx y

13 Algoritmo Particiona Algoritmo Particiona (A, left, right) i left; j right; pivô A[left]; while i < j do { while A[i] pivô do i i + 1; while A[j] > pivô do j j - 1; if i < j then switch (A[i], A[j]) } switch (A[left], A[j]) retorne (j)

14 Algoritmo Quicksort Algoritmo Quicksort (A, left, right) if left < right then { split Particiona (A, left, right) Quicksort (A, left, split -1) Quicksort (A, split + 1, right) } retorne ( )

15 Considerações de Implementação Quando a quantidade de elementos é pequena, é melhor usar um outro algoritmo na chamada recursiva. Na verdade, quando n é pequeno, quanto mais simples melhor

16 Considerações de Implementação Como a escolha do pivô é crucial para um bom desempenho do algoritmo, as implementações usam métodos mais sofisticados para a sua escolha, sendo os mais populares: 1. Mediana ( A[left], A[(right+left) / 2], A[right] ) 2. Aleatório (left..right)

17 Custo de QuickSort - Caso Desfavorável Se a posição do pivô no array ordenado está sempre ou muito próximo do início ou muito próximo do final, então o tempo de execução de Quicksort é alto. Por exemplo, se o array de entrada está ordenado, o pivô é sempre o menor elemento da seqüência então A primeira partição gasta (n-1) comparações e deixa n-1 chaves por serem ordenadas. Q(n) = (n–1) + (n–2) + (n–3) = n (n –1) / 2 = (n 2 )

18 Custo de QuickSort - Caso Favorável Designaremos por Q(n) o número de comparações de chaves que Quicksort faz para uma entrada de tamanho n. Se o pivô sempre particionasse as chaves em partes iguais, então o número de comparações seria aproximadamente: (1 * n) + (2 * n/2) + (4 * n/4) + (8 * n/8) (n * 1) E a relação de recorrência seria: Q(n) = 2 * Q(n/2) + O(n), Q(1) = 1 Neste caso, já sabemos (Mergesort) que Q(n) = (n log n).


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