Unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 1 Unidade teórica 3 1 Modelo de Markowitz e a Fronteira eficiente.

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1 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 1 Unidade teórica 3 1 Modelo de Markowitz e a Fronteira eficiente 2. Determinação da Fronteira eficiente C arlos Arriaga Costa 2005/06

2 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 2 Unidade teórica 3. O que é a fronteira eficiente num conjunto de portefólios?. Como modelizar a eficiência ?. Quais as hipóteses do modelo de Markowitz?. Como determinar a fronteira de eficiência?.

3 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 3 MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MODELO DE MARKOWITZ (1959)  HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ: - HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco. O retorno de um activo financeiro para um período futuro é consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal. H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam de uma forma independente de uns e de outros.

4 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 4 Hipóteses relativas ao comportamento dos investidores  H3: O comportamento de todos os investidores é caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela distribuição dos retornos)  H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam segundo escolhas transitivas.  H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de decisão, que comporta um só período.

5 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 5 ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ  Os acontecimentos dos quais contribuem para as decisões tomadas não se encontram explicitados no modelo. A distribuição de probabilidades relativamente aos rendimentos de cada activo financeiro é efectuado condicionalmente ao estado da economia em geral e à situação do mercado financeiro em particular.  Uma decisão consiste em alocar um determinado orçamento aos diferentes activos financeiros

6 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 6 FRONTEIRA EFICIENTE  1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das soluções dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções dominadas (ineficientes)  2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer corresponder aquela que maximiza a função de utilidade do investidor.

7 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 7 PRIMEIRA FASE  Em razão do principio de racionalidade, um investidor que pretende situar-se a um nível de risco optará por um portfólio de maior valor esperado do rendimento E(r2).  Em razão do princípio de racionalidade e de aversão ao risco, um investidor que pretende situar-se a um nível de rendimento esperado optará pelo portfólio de menor risco.  Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os investidores, com base em características objectivas, localizarão de maneira semelhante a fronteira eficiente, que é independente das preferências individuais dos investidores.

8 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 8 Segunda Fase  Temos de ter em conta as funções de utilidade de cada investidor (curvas de indiferença)  A fronteira de eficiência (dado objectivo)  Cada investidor escolherá o portfólio correspondente ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a uma das suas curvas de indiferença.

9 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 9 Fronteira de eficiência  A fronteira de eficiência deriva da maximização de um retorno esperado dado um determinado risco.  Markowitz (1952,JoF) resolveu este problema matemáticamente  Se não existir nenhum activo sem risco, a fronteira de eficiência será a metade mais elevada da fronteira com um mínimo de variância.  Se existir um activo sem risco, a fronteira de eficiência será a linha tangente à fronteira com um mínimo de variância.  Se não forem admitidas “posições curtas” todas as ponderações dos activos são não negativas. (X i 0).  Se forem admitidas “posições curtas” a curva continua indefinidamente.

10 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 10 Fronteira de eficiência onde não existem activos sem risco Fronteira de eficiência onde não existem activos sem risco  Fronteira de eficiência quando não são admitidos “posições curtas” Retorno Risco FEM A Se se admitir “short sales” a fronteira prolonga-se para lá de A

11 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 11 Fronteira de eficiência onde existe um activo sem risco Fronteira de eficiência onde existe um activo sem risco  A fronteira de eficiência é encontrada pelo ponto de tangência da recta que passa pelo activo sem risco e a fronteira.  Se “short sales” são admitidos o portfólio da fronteira deverá incluir alguns activos adquiridos em “short sales” (posição curta). Retorno Risco FEM B RFRF A

12 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 12 Fronteira eficiente  E(p) σ (p) σ (p)

13 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 13 Cálculo da fronteira de eficiência  Um investidor poderá enfrentar diferentes cenários não importa a existência de activos sem risco ou a possibilidade de “short sales”.  Cada um dos cenários implicará diferentes métodos matemáticos na resolução das ponderações óptimas do portefólio.  Os cenários que o investidor enfrenta são: -”Short sales” e uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de emprestimos. -”Short sales” e não existência de uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de emprestimos. -”Short sales” não permitidas e uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de emprestimos. -”Short sales” não permitidas e não existência de uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de emprestimos.

14 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 14 Cálculo da fronteira de eficiência utilizando o método de Markowitz Cenario 1 -”Posições curtas (short sales)” e uma taxa sem risco para empréstimos ou concessão de emprestimos.  A fronteira de eficiência é obtida pelo ponto de tangência entre a linha de transformação e a fronteira com o mínimo de variância.  O declive da linha de transformação é designada por Rácio de sharpe.  O rácio de sharpe é uma medida do excesso de retorno relativamente ao risco total.  O ponto de tangência coincide com o óptimo do portefólio.  Ao longo da fronteira de eficiência um investidor possui uma proporção de fundos neste portefólio que pode compreender alguns activos e “cash” (dívida pública por exemplo).

15 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 15 Racio de sharpe  Um dos activos sem risco (rf)  rp = (1-x)rf + xra = rf + (ra-rf)x  rp = rf + ((ra-rf) / σa) * σp  Racio de sharpe: declive da recta  ((ra-rf)/ σa) : mede o excesso de retorno derivado do risco do activo

16 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 16  Matematicamente, a técnica de Markowitz para o cálculo da fronteira de eficiência, resulta na maximização do declive (rácio de Sharpe) da linha de transformação sujeito a uma restrição que a soma dos ponderadores é igual a um.  Assim, escolher um óptimo de X i de modo a  Substituíndo por R p e  p o problema resulta em escolher X i de modo a

17 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 17  Dá-nos N condições de 1ª ordem  Desde que os retornos, variâncias e co-variâncias sejam conhecidas, as condições de 1ª ordem podem ser calculadas em óptimas proporções de Z i e então para ponderações óptimas de X i. Z i e então para ponderações óptimas de X i. Z i é a quantidade investida em activos com risco. Z i é a quantidade investida em activos com risco. Se Z i é inferior á unidade (1- Z i ) será investido nos activos sem risco (lenders). Se Z i é inferior á unidade (1- Z i ) será investido nos activos sem risco (lenders).  Se Z i é maior que a unidade (1- Z i ) será investido no activo sem risco (borrowers).  Uma vez que as ponderações óptimas são conhecidas, o retorno esperado e o risco do portefólio óptimo podem ser calculados  O rácio de Sharpe para o portfolio P pode igualmente ser calculado.

18 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 18  Cuthbertson eNitzsche (2001) reescrevem a equação (3) em forma matricial. Assumindo haver três activos :  Onde  é a matriz das variâncias-covariâncias dos retornos dos activos, z é um vector coluna de proporções óptimas e e um vector coluna do excesso dos retornos.

19 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 19  A solução é dada por  As ponderações óptimas, X i, são calculadas como atrás.

20 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 20  Lewis (1998) no “ NBER Working Paper No. 6351” assume que –A utilidade do investidor depende do retorno esperado e do risco. –Os investidores maximizam a sua utilidade sujeita à linha de transformação óptima. –A solução óptima é o ponto de tangância das curvas de indiferença do investidor a linha de transformação e pode-se interpretar as proporções óptimas, z, como a quantidade de fundos investidos nos activos com risco.  A solução será  Onde RRA é o coeficiente de aversão relativa ao risco.  Quanto menor uma pessoa for avessa ao risco, mais longe é o ponto de intersecção da linha de transformação com a curva de indiferença do investidor no seu ponto de tangência, i.e. z é maior.

21 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 21 Exemplo

22 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 22  Precisamos de calcular as co variâncias  ij = ij  i  j.  Substituimos os valores nas três equ (3) que traduzem as condições de 1ª ordem.  Obtemos A equação resolve-se por substituição. Contudo, se houver um número grande de activos, as condições de primeira ordem são resolvidas por cálculo matricial.

23 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 23 Em forma de matriz (7) fica

24 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 24  Suponha que A tem um coeficiente RRA=1 então as condições de 1ª ordem podem ser calculadas em relação a Z i como  Suponha que o investidor B tem menos aversão ao risco e tem um coeficiente de RRA=0.2 então as condições de 1ª ordem podem ser calculadas em relação a Z i como

25 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 25  Se ambos os investidores tiverem as mesmas expectativas sobre os retornos esperados, desvios padrão dos retornos e correlações entre os retornos, então as mesmas condições de 1ª ordem podem podem ser resolvidas para as mesmas ponderações óptimas X i.

26 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 26  O valor esperado do retorno é dado por

27 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 27  O risco esperado é dado por

28 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 28  A equação da linha de transformação que passa pelo portfolio P é dado por

29 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 29  Graficamente Retorno Risco 5% P 14.67% 5.82% Onde se localizam os portfolios A e B?

30 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 30  Os retornos esperados dos portfolios A e B são dados por

31 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 31  O risco esperado dos portfolios A e B é dado por

32 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 32  Graficamente Retorno Risco 5% P 14.67% 5.82% A é menos avesso ao risco que B. A(71%,29%) B(-43%,143%)18.81% 7.76% 1.66%8.29%

33 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 33 Diversificação eficiente  O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente diversificado.  Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar simultâneamente o rendimento esperado do portfólio.  O grau de diversificação possível de obter é função das covariancias dos activos financeiros que constituem o porfólio.  Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com 20 activos financeiros apresentam um resultado bastante satisfatório no que respeita ao binómio risco versus custos de transacção.O aumento de activos no portfólio pouco mais irá atenuar o risco.

34 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 34 Diversificação – exemplo com dois activos financeiros  Activo A E (R A ) = 5% σ (R A ) = 20%  Activo B E (R B ) = 15% σ (R B ) = 40%  Que proporções de A e de B?  Três situações:  ρ AB = 1  ρ AB = - 1  -1< ρ AB<1

35 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 35 Diversificação – exemplo com dois activos financeiros  E( R)  15%  10% B  C  5% A  10% 20% 40%  σ( R)

36 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 36 Diversificação

37 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 37 Teoremas dos portfolios eficientes  Proposição 1  Considerado c uma constante e R-c o vector  R-c = [E (r1) –c  E (r2)- c  E(rn) – c]  O vector Z resolve as equações R-c = Sz  Z = S -1 [R-c]  X = {x1, x2….xn}

38 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 38 Teoremas dos portfolios eficientes  Proposição 1  Xi = zi / ΣZj  Todos os portfolios de envelope (na fronteira) são desta forma   c xi porfolio de tangência dado c

39 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 39 Teoremas dos portfolios eficientes  Proposição 2  Se dois portfolios se encontram na fronteira eficiente (portfolios de envelope) e dada uma constante a o protfolio resultante  ax + (1-a)y  Também se encontra na fronteira de eficiência

40 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 40 Teoremas dos portfolios eficientes  Proposição 3  Se um portfolio s encontra na fronteira de eficiencia (portfolio y) então existirá sempre um outro linearmente relacionado com este que se encontra igualmente na fronteira de eficiência  E (rx) = c + β x [E(ry) – c]  β x = Cov (x,y) / σ 2 y  c será o valor esperado d eum portfolio z cuja covariancia com y é 0  c = E(rz)  Cov (y,z) = 0

41 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 41 Dificuldades do modelo de Markowitz  1. Os valores dos parâmetros não serem conhecidos  Algumas estimativas dos parâmetros estarem enviesadas estarem enviesadas O modelo requerer n valores de retorno, n valores da variância e N. (N-1)/2 O modelo requerer n valores de retorno, n valores da variância e N. (N-1)/2 co-variâncias. co-variâncias. Para n= 1000, precisamos de estimar 501 500 parâmetros Para n= 1000, precisamos de estimar 501 500 parâmetros

42 unid3 Carlos Arriaga Costa EconomiaFinanceira - Mestrado em Economia UM 2005/06 4º curso 42  Todavia é a a partir do Modelo de Markowitz que se fizeram simplificações e outros modelos surgiram…