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FRANCISCANO CENTRO UNIVERSITÁRIO Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Orientadora: Drª. ELENI BISOGNIN.

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2 FRANCISCANO CENTRO UNIVERSITÁRIO Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Orientadora: Drª. ELENI BISOGNIN Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Matemática Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Matemática

3 O USO DA METODOLOGIA DA MODELAGEM MATEMÁTICA Nesse trabalho de dissertação optamos pela utilização da metodologia da Modelagem Matemática por propiciar um estudo da matemática relacionando- o à situações da realidade. A escolha do tema referente ao uso de drogas, em particular o uso do álcool e do cigarro, deu-se em comum acordo entre a professora da turma e os alunos. Durante o desenvolvimento das etapas da Modelagem foi possível aos alunos pesquisarem sobre o tema escolhido, elaborar problemas, resolvê-los matematicamente e, sempre que possível, fizeram a análise crítica da solução.

4 LANÇAMENTO DO TEMA O início do trabalho foi no auditório do colégio. Na apresentação, foram utilizadas reportagens de revistas, dados estatísticos e montagens de fotos que permitiram que o assunto fluísse livremente. Os alunos puderam fazer colocações sobre o uso do álcool e do cigarro, comentando seus malefícios.

5 Utilizamos uma linguagem própria à idade dos alunos.Mostramos percentuais estatísticos do consumo de álcool e de cigarro pelos jovens, no Brasil e em alguns países; reportagens da revista SAÚDE! de março de 2005, que falava sobre o consumo de álcool entre os jovens; reportagem da revista GALILEU de fevereiro de 2005, que tratava dos efeitos de uma bebedeira; reportagem da revista SUPERINTERESSANTE de junho de 2003, comentando a ascensão e queda do consumo de tabaco; reportagem do jornal A RAZÃO de 30 agosto de 2005 sobre esse assunto.

6 Procuramos deixá-los interessados em buscar informações sobre o consumo de álcool e de cigarro e sobre seus efeitos no organismo humano. Orientamos os alunos a coletarem informações em jornais, livros, revistas, internet, periódicos especializados, etc.

7 CONFECÇÃO DE CARTAZES Após a apresentação os alunos confeccionaram cartazes referentes ao tema. Abaixo estão algumas imagens. Selecione a Figura Clique aqui para ver o clip dos cartazes

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19 ATIVIDADES PROPOSTAS AOS ALUNOS Após a confecção dos cartazes e ampla discussão sobre o tema, levantamos junto com os alunos, dados e, em função destes, criaram-se situações problema. A primeira atividade referiu-se ao Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria – RS. Foi dado um pequeno texto retirado de uma revista alertando que o álcool entra cada vez mais cedo e em doses altíssimas na vida dos adolescentes.

20 A seguir, apresentamos as seguintes atividades: - Nos últimos anos, o percentual de estudantes do Ensino Médio que usaram álcool tem aumentado 10% a cada ano. - No ano 2000, havia, em Santa Maria, aproximadamente estudantes do Ensino Médio usuários de álcool. Com base nessas informações perguntamos: Qual a previsão do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria, para os anos de 2005, 2010, 2015 e 2020, caso a taxa de crescimento permaneça constante? ATIVIDADE 1

21 Vamos considerar o número inicial de estudantes que havia em Santa Maria no ano 2000, ou seja, estudantes e pela taxa de crescimento, 10%, para obtermos o número de usuários nos anos 2005, 2010, 2015 e Dinâmica de Resolução da Atividade

22 Para organizar os dados numa tabela, indicou-se o ano 2000 como sendo o ano zero: Em 2001 teremos: / = = usuários Em 2002: / = = usuários Em 2003: / = = usuários Em 2004: / = ,1= usuários Em 2005: / = ,5 = usuários.

23 Tabela 1 Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Tempo(anos)Usuários (Álcool) Fonte: Dados construídos a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS

24 Dividindo-se o número de usuários de um ano pelo número de usuários do ano anterior, obteve-se uma constante Considerando-se o número inicial de usuários, tem-se: Valor inicial: Após 1 ano: ,1 Após 2 anos: ,1. 1,1 = (1,1) 2 Após 3 anos: (1,1) 3 e Após t anos: (1,1) t Falando-se numa linguagem mais formal: Falando-se numa linguagem mais formal:

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28 Esses valores foram analisados de maneira crítica, e verificou-se sua compatibilidade com a realidade, o que na Modelagem identifica-se como VALIDAÇÃO do modelo encontrado. Os alunos acharam que esses resultados estavam altos demais. Concluiu-se então, que para serem verdadeiros, a taxa de aumento de usuários de álcool teria que ser mantida constante, assim como o aumento na taxa de crescimento do número de estudantes do Ensino Médio também teria que ser proporcional.

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30 Usando o programa Excel foi construído o gráfico da Função Exponencial para analisar seu comportamento. Inicialmente construiu-se uma tabela com os valores encontrados: Tabela 2 Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Tempo (anos)Usuários (MILHARES) ,1 213,31 314,64 416,1 517, , , ,03 Fonte: Dados OBTIDOS a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.

31 Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:

32 Construir no Excel, o gráfico das funções e compare-os. O que podemos concluir? ATIVIDADE 2 Para construir o gráfico, elaborou-se uma tabela, usando a lei das funções para determinar pontos do seu gráfico. Dinâmica de Resolução da Atividade

33 Tabela 3 Valores de U(x), P(x) e Q(x). x ,114,316,5 213,3118,5924,75 314,6424,1737,12 416,131,4255,68 517,7140,8583,52 Fonte: Dados da autora

34 Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:

35 ATIVIDADE 3 O modelo matemático que nos dá o número de usuários de álcool no Ensino Médio, em Santa Maria, a partir do ano 2000 é: Em que ano em que o número de usuários chegará a 98,50 milhares?

36 . Resolvendo fica, ou ainda. Para descobrir t, usa-se a calculadora, fazendo-se diversas substituições até encontrar o valor mais aproximado, chegando-se, assim, há 23 anos. Igualando-se a lei da função a esse valor, pretende-se encontrar o ano, que será representado por t. Igualando-se os valores, obtém-se Dinâmica de Resolução da Atividade

37 Como o ano inicial (ano 0) é contado em 2000, passados 23 anos, conclui-se que o número de usuários de álcool, no Ensino Médio, em Santa Maria, chegará a 98,50 milhões, aproximadamente em Fazendo-se a interpretação crítica do resultado encontrado, conclui-se que ele não condiz com a realidade, pois seria muito alto, mesmo para Faz-se necessário lembrar que as populações crescem exponencialmente por um certo intervalo de tempo. Quando são transcorridos muitos anos, os crescimentos populacionais deixam de ser exponenciais

38 ATIVIDADE 4 A atividade a seguir teve o objetivo de explorar várias situações relacionadas à Função Exponencial, principalmente no que se refere ao seu gráfico. Estime em quanto tempo o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria: dobrará Construa no Excel o gráfico da função, aparecendo as situações a e b Construa no Excel o gráfico da função, aparecendo as situações a e b. triplicará

39 Dinâmica de Resolução da Atividade a)Para descobrir o ano em que o número de usuários vai dobrar, basta tomar o valor inicial, que é de 11 milhares e calcular o dobro, ou seja, 22 milhares. Como o modelo matemático é descrito por, para obter o dobro, ou seja, 22, procura-se o valor de t, tal que. Fazendo- se,isto é, t é aproximadamente 7,5 anos. Portanto, conclui-se que, para a população de usuários de álcool no ensino Médio em Santa Maria dobrar, seriam necessários, aproximadamente, 7 anos e 6 meses.

40 c) Para construir o gráfico no Excel, constrói-se inicialmen- te a tabela, incluindo-se os resultados encontrados nas letras a e b: b) Para o número de usuários chegar ao triplo, basta triplicar-se o valor inicial, passando-se de 11 milhares para 33 milhares. De maneira análoga a anterior, faz-se, igualando-se, de onde se conclui que o valor de t é de aproximadamente 11,5 anos. Assim, descobre-se que seriam necessários 11 anos e 6 meses para que o número de usuários de álcool no ensino Médio, em Santa Maria, triplique.

41 Tabela 4 Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Tempo (anos)Usuários (Milhares) ,1 213,31 314,64 416,1 517,71 7,522 11,533 Fonte: Dados construídos a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.

42 Gráfico da função: Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS. Pode-se observar, graficamente, o ano em que a população dobrou e também quando triplicou.

43 ATIVIDADE 5 Como o modelo encontrado tem como ano 0 o ano 2000, e a pergunta refere-se ao ano 1990, isto é, há dez anos atrás, deve-se usar para t 0 o valor -10: milhares 4180 Assim, o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria, no ano de 1990 é de Use o modelo que construímos para o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria para estimar o número de usuários que havia em 1990, admitindo-se que a taxa de crescimento é a mesma e construa o gráfico no Excel, incluindo essa situação. Dinâmica de Resolução da Atividade

44 Figura 4 - Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS. Construção do Gráfico

45 ATIVIDADE 6 Identifique nas tabelas a seguir se elas representam ou não os dados de uma Função Exponencial : xy 020,0 121,0 222,10 323, , ,2650 xy 020,0 121,0 222,05 323, , ,5256 a) b)

46 Dinâmica de Resolução da Atividade

47 ATIVIDADE 7 O número de usuários (em milhares) de álcool numa cidade tem crescido nos últimos 6 anos segundo o gráfico da Função Exponencial dada abaixo: a) Use o gráfico para estimar em que ano a população dobrou. b) Verifique graficamente que o tempo necessário para a população duplicar não depende do ponto onde se começa a analisar

48 Considerando a população inicial como sendo a ordenada inicial, percebe-se, pelo gráfico, que esta é menor do que 100 e que, para dobrar precisa de quase 2 anos, associando-a à abscissa correspondente. Esse é o tempo necessário para que qualquer valor da população venha a dobrar, que nada mais é do que o fator de crescimento desta função. Dinâmica de Resolução da Atividade

49 ATIVIDADE 8 Pesquise a população do estado de São Paulo no ano 2000, após descubra o número de dependentes de álcool nessa população e a taxa de crescimento do número de dependentes a cada ano. Responda às seguintes questões: Responda às seguintes questões: a) Qual é o modelo matemático que descreve o número de dependentes de álcool a partir do ano 2000, em função do tempo t? b) Se essa taxa permanece constante, qual será a previsão para o número de dependentes em 2010?

50 Obteve-se as seguintes informações: no ano 2000, a população do Estado de São Paulo era de aproximadamente 37 milhões, segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), aproximadamente 6,6% da população eram dependentes de álcool nesse ano; a taxa de crescimento do número de dependentes era de 1,4% a cada ano (IBGE, 2005 e CEBRID, 2000).

51 Primeiramente, calcula-se o número inicial de dependentes no ano 2000, que corresponde a 2,44 milhões. Sabendo a taxa anual de dependentes, que é de 1,4%, ou seja, 0,014, encontra-se o fator de crescimento, que é 1,014. Dinâmica de Resolução da Atividade

52 Tabela Representativa dos Dependentes de Álcool no Estado de São Paulo. Tempo (anos)Dependentes (Álcool) 02,44 12,47 22,50 32,54 Fonte: Dados da autora.

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54 ATIVIDADE 9 Em 2000, a população do Rio Grande do Sul era de 10 milhões. Supondo que a porcentagem do número de dependentes de álcool seja a mesma de São Paulo, ou seja, 6,6% da população e que a taxa de crescimento do número de dependentes também é de 1,4% ao ano, pede- se: 2000t a) O modelo matemático para o número de dependentes de álcool no RS, desde o ano 2000, em função do tempo t b) Se essa taxa permanecer constante, qual a previsão para o número de dependentes nos anos 2005, 2010 e 2020 ?

55 Dinâmica de Resolução da Atividade

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57 ATIVIDADE 10 O risco de acidentes automobilísticos cresce com a quantidade de álcool ingerido. Usando como referência o número de cálices de vinho ingeridos, tem-se a seguinte tabela do risco de acidentes (em porcentagem): Risco de acidentes automobilísticos em função do número de cálices ingeridos. Nº de Cálices Risco de Acidentes (%) 00,95 11,23 21,59 32,05 42,64 Fonte: Dados adaptados (BASSANEZI, 2002, p.275).

58 a) O modelo matemático que indica o risco de acidentes automobilísticos, em função do número de cálices de vinho bebidos. Sabendo-se que a taxa de risco é constante, pede-se: Dinâmica de Resolução da Atividade

59 a) Primeiramente, sugere-se que se encontre o fator de crescimento, usando-se os valores fornecidos na tabela: Calculando-se os quocientes 1,23/0,95=1,29, 1,59/1,23= 1,29, 2,05/1,59=1,29, etc..., obtém-se resultados constantes, pois, como foi dito, o risco de acidentes cresce exponencialmente em função do numero de cálices de vinho ingeridos. Esse resultado encontrado, 1,29, representa o fator de crescimento da função. Dada a Função Exponencial R(c)=ba c, indica-se por c o número de cálices de vinho ingeridos e R (c) o risco de se sofrer um acidente em função do número de cálices ingeridos.

60 Conhecido o fator de crescimento a=1,29 e a porcentagem de risco de 0,95, correspondente a b, encontra-se o modelo matemático R(c ) = 0,95. 1,29 c, que permite calcular o risco (em %) de se sofrer um acidente automobilístico, em função do número de cálices de vinho ingeridos. b) Quantos cálices devem-se ingerir para se ter a certeza de sofrer um acidente?

61 Na verdade, certeza de sofrer um acidente é uma maneira relativa de se falar, pois, na prática, ninguém tem certeza absoluta de que irá sofrer um acidente. A certeza de acidente está relacionada a um risco de 100%, ou seja, a partir do modelo, iguala-se a 100 e obtém-se o resultado. Ao se resolver, encontra-se a equação exponencial, onde se obtém para c o valor aproximado 18,3. Será necessário, portanto, ingerir aproximadamente 18,3 cálices de vinho para se ter a certeza de sofrer um acidente.

62 c) Construa o gráfico da função no Excel, incluindo o número de cálices encontrados na letra b. Tabela indicando a porcentagem do risco de acidentes automobilísticos em função do número de cálices de vinho ingeridos. Nº de Cálices Risco de Acidentes (%) 00,95 11,23 21,59 32,05 42,64 18,3100 Fonte: Dados adaptados (BASSANEZI, 2002, p.275).

63 Gráfico correspondente ao risco de acidentes

64 d) Se o teor alcoólico no sangue, ao se ingerir um cálice de vinho é de 0,0146% e de acordo com a legislação brasileira (anterior à lei atual em vigor), uma pessoa está incapacitada para dirigir com segurança se tiver um teor alcoólico superior a 0,08%, qual o número máximo de cálices de vinho que uma pessoa pode beber para passar no teste do bafômetro?

65 Para saber o número máximo de cálices de vinho que uma pessoa pode ingerir para passar no teste do bafômetro, basta dividir o número máximo permitido de teor alcoólico, ou seja, 0,08, pelo teor de um cálice de vinho, 0,0146, ou, seja: 5 5 é o maior número de cálices permitido. Dinâmica de Resolução

66 ATIVIDADE 11 Em 1987, na cidade de Porto Alegre, o número de pessoas que havia feito uso de álcool na vida era de aproximadamente 2,12 milhões. Em 1989, esse número era de aproximadamente 2,24 milhões. a)Sabendo-se que esse crescimento é exponencial, qual é o modelo matemático para determinar o número de usuários de álcool, em função do tempo t, desde 1987? b)Use o modelo encontrado para predizer o número de usuários em 2005, 2010 e c)Em que ano o número total de usuários chegará a 6,5 milhões?

67 Tempo (anos)Usuários (Álcool) 2,12 2,24 Usuários de álcool em Porto Alegre Fonte: Dados encontrados no referencial mencionado Dinâmica de Resolução da Atividade

68 Pensa-se, então, em como encontrar a lei da função dados dois dos seus pontos. Como já são conhecidos os conceitos relacionados à Função Exponencial, generaliza-se, sendo t o tempo em anos a partir de 1987, U(t) o número de usuários de álcool em Porto Alegre, a o fator de crescimento e b o número inicial de usuários em No ano 0 (1987), o número de usuários é 2,12, substituindo-se na função, encontra-se para b o valor 2,12. Para o ano 2 (1989), o número de usuários é 2,24, ao substituir na função, encontra-se, chegando-se na equação, ou seja,. Obtém-se o modelo:, em milhões, que descreve o número de usuários de álcool, em Porto alegre, a partir de 1987.

69 Usa-se o modelo matemático encontrado para predizer o número de usuários para os próximos anos (2005, 2010 e 2015). Para 2005, subtrai-se (2005 – 1987) para encontrar o número de anos transcorridos até então, encontrando-se 18 anos. Ao substituir, pode-se descobrir que o número de usuários de álcool em Porto Alegre em 2005 é de aproximadamente 3,60 milhões de usuários. Para 2010, serão transcorridos 23 anos (2010 – 1987):,c encontrando-se aproximadamente 4,18 milhões de usuários. Para 2015, serão passados 28 anos (2015 – 1987), para se saber o número de usuários, faz-se a substituição,,c, encontrando-se 4,85 milhões de usuários.

70 Respondendo-se ao último questionamento, em que ano o número de usuários atingirá o valor de 6,5 milhões, pensa-se em igualar a função a este valor:. Encontrando-se a equação exponencial, de onde se obtém para t o valor aproximado de 38 anos. Somando-se = 2025, logo, o número de usuários chegará a 6,5 milhões na cidade de Porto Alegre, aproximadamente no ano 2025.

71 ATIVIDADE 12 O estudo realizado por Menezes em 2004, na Universidade Federal de Pelotas, mostrou que a prevalência de tabagismo entre os estudantes de medicina tem caído nos últimos anos. A taxa de decrescimento encontrada é em torno de 0,95% ao ano. Utilizando essa mesma taxa para o decrescimento do número de usuários de tabaco entre os estudantes da Universidade Federal de Santa Maria, e sabendo-se que, no ano 2000, havia aproximadamente 5479 usuários, qual é a previsão para os anos 2005, 2010, 2015 e 2020, supondo-se que a taxa de decrescimento mantenha-se constante?

72 Dinâmica de Resolução da Atividade

73 Tempo (anos)Usuários (Tabaco) Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados. Usuários de tabaco na Universidade Federal de Santa Maria. Usuários de tabaco

74 ATIVIDADE 13 A taxa de eliminação de etanol em um homem que ingeriu 7 garrafas de cerveja é de aproximadamente 8% por hora. Se 340ml de cerveja possuem 20ml de etanol, pede-se: a) Construa uma tabela comparativa entre o resíduo de cerveja e o de etanol. b) Qual é o modelo matemático que representa o resíduo de cerveja no organismo, com o passar das horas?

75 c) Qual é o modelo matemático que representa o resíduo de etanol no organismo, com o passar das horas? resíduo de etanol no organismo? d) Após 8 horas, qual o resíduo de etanol no organismo? e) Analise graficamente quanto tempo levará até que o etanol desapareça do organismo. b c f) Faça um gráfico comparativo dos modelos encontrados em b e c.

76 a) A relação que foi dada é que 340ml de cerveja possuem 20ml de etanol, sendo assim, pensa-se em quantos ml possuem 7 garrafas de cerveja. Sabendo-se que 1 garrafa de cerveja possui 600ml, conclui-se que, se o indivíduo ingeriu 7 garrafas de 600ml, ingeriu um total de 4200ml. Para descobrir quanto de etanol há em 4200ml de cerveja, faz-se uma regra de três. Se uma lata de cerveja de 340ml corresponde a 20ml de etanol, então 4200ml de cerveja corresponde a um valor aproximado de 247ml. Dinâmica de Resolução da Atividade

77 0,08 0,92 Calcula-se a seguir o fator de decrescimento para se saber qual é o fator multiplicativo da função, a fim de se construir a tabela. Como a taxa de eliminação é de 0,08, o fator de decrescimento é 0,92.

78 Conhecendo-se o valor inicial de cerveja (4200ml), o valor inicial de etanol (247ml) e o fator multiplicativo (0,92), obtém-se a tabela: Resíduo de cerveja e resíduo de etanol. Tempo (horas)Resíduo CervejaResíduo Etanol , ,49209, ,49192, ,85176,95 Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.

79 b) O modelo matemático que representa o resíduo de cerveja no organismo é c(t)=4200.(0.92) t c) O modelo matemático que representa o resíduo de etanol no organismo é E(t)=247.(0.92) t d) O resíduo de etanol no organismo após 8h,é E(8)=247.(0.92)s, obtendo-se 125,97. Portanto, após 8 horas da ingestão de 7 garrafas de cerveja, ainda haverá 125,97ml de etanol no organismo.

80 Para observar graficamente quanto tempo será necessário para que o etanol desapareça do organismo, foi construída a tabela de valores e o gráfico correspondente.

81 Resíduo de etanol Tempo (horas)Resíduo (Etanol) , , , , , , ,76 409,88 504,94 601,73 700,74 800,25 900, ,05 Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados. e) Pela análise da tabela e do gráfico, conclui-se que levará em torno de 60 horas para o etanol desaparecer do organismo.

82 f) Tabela de valores comparativos entre os dois modelos Resíduo de etanol e resíduo de cerveja. Tempo (horas)Resíduo EtanolResíduo Cerveja , ,063554, ,343270, ,953008, , , , , , ,7329,4 700,7412,6 800,254,2 900,152, ,050,84 Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.

83 Gráfico comparativo entre o resíduo de etanol e o resíduo de cerveja.

84 ATIVIDADE 14 Estime a meia-vida do etanol e da cerveja no organismo, quando ingeridos 247ml e 4200ml, respectivamente. Após, construa os gráficos no Excel para observar essas duas situações. Dinâmica de Resolução da Atividade

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86 Resíduo de cerveja e resíduo de etanol no organismo. Tempo (horas)Resíduo (Cerveja)Resíduo (Etanol) , ,88209, ,49192, ,85176, ,5 Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados. Gráfico do resíduo de etanol e do resíduo de cerveja.

87 ATIVIDADE 15 Quando uma pessoa fuma um cigarro, aproximadamente 0,4 mg de nicotina são absorvidas pelo sangue. Aproximadamente 35% da nicotina é eliminada pelo sangue a cada hora. a) Encontre o modelo matemático que permite saber o nível de nicotina no sangue depois de fumar um cigarro. b) Use o modelo para estimar em quanto tempo a quantidade de nicotina no sangue chegará a 0,005mg.

88 Dinâmica de Resolução da Atividade

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90 Atualmente, morrem 3,5 milhões de pessoas por ano, no mundo, vítimas do fumo e sabe-se que a taxa de mortes cresce 4% a cada ano. a)Encontre o modelo que representa o crescimento do número de mortes a cada ano, a partir de b)Estime o número de mortes em 2010, 2020 e 2030, se a taxa de crescimento permanecer constante. ATIVIDADE 16

91 a)O número de pessoas que morriam vítimas do fumo em 2003 era de 3,5 milhões e a taxa de crescimento do número de mortes é de 4% ao ano. 1,04(1 + 0,4). M(t) Para encontrar o modelo, calcula-se o fator de crescimento, 1,04 (1 + 0,4). Usa-se t para representar o tempo dado em anos, M(t) para representar o número de mortes e, assim, constrói-se o modelo que permite determinar o número de pessoas que morrem por ano, vítimas do cigarro, a partir de Dinâmica de Resolução da Atividade

92 b) Para estimar o número de mortes nas próximas décadas, deve-se levar em conta que o ano inicial é 2003, sendo assim, para 2010 são transcorridos 7 anos. Logo obtém-se, aproximadamente 4,26 milhões de mortes. Em 2020, terão passados 17 anos, portanto resulta, 6,8 milhões de mortes. Para 2030, transcorrerão 27 anos, e ter-se-á 10,09 milhões de mortes.

93 ATIVIDADE 17 Sabe-se que, na última década do século XX, o consumo mundial de cigarros cresceu 1,5% (contrastando com o crescimento de 23,5% da penúltima década). No ano 2000, foram consumidos, no mundo, 5500 bilhões de cigarros. Supondo que a taxa de crescimento do consumo, por década, permaneça constante (1,5%), pergunta-se: Qual é o modelo exponencial para o consumo mundial de cigarros nas próximas décadas?

94 Dinâmica de Resolução da Atividade

95 SUGESTÕES DE ATIVIDADES Calcule a lei da função exponencial que passa pelos pontos (1,6) e (2,9). A seguir, construa no Excel o gráfico dessa função. Observe as curvas que representam o crescimento do uso de álcool em diferentes cidades. Qual cidade a) tem a maior taxa de crescimento? b) tem a menor taxa de crescimento? c) tem a maior população inicial? d) tem a menor população inicial? e) quais cidades têm a mesma taxa de crescimento? Atividade 1Atividade 2

96 Determine quais as funções que são exponenciais. Para as que representam função exponencial, determine a lei através dos dados apresentados na tabela. x0123 y a) b) c) t0123 L(t) ,2335,5 t Q(t) ,32224,97 Atividade 3

97 Seja uma função exponencial. Se e, encontre a) o fator de crescimento b) a taxa de crescimento C) a fórmula para Atividade 4

98 Seja uma função exponencial tal que e Quais desses valores são possíveis e quais são impossíveis? a) b) c) Atividade 5

99 Determine quais das seis funções abaixo representam uma função exponencial da forma e quais não representam. Explique a sua resposta. Atividade 6

100 Determine quais as funções abaixo são exponenciais. Para as que representam função exponencial, determine a lei através dos dados apresentados na tabela. x0123 y x0123 y x y ,36149,30 Atividade 7 a) b) c)

101 Qual dos seguintes pares de pontos determinam uma função exponencial da forma. Para as que determinam faça um esboço do gráfico e indique o sinal de b e analise o fator a, se ou se. Atividade 8

102 Identifique quais as situações que representam função exponencial crescente, função exponencial decrescente, função linear crescente ou decrescente, ou não representam função. a) O preço da cerveja aumenta em média 24% ao ano. b) O número de dependentes de álcool entre os habitantes de uma cidade aumenta em média em 300 pessoas por ano. c) O consumo de cigarros caiu em média 0,5% ao ano na Espanha entre 1980 e d) O número de usuários de cigarro cresceu em média 5% ao ano de 1994 a 1996 entre os jovens espanhóis. e) O número de internações no setor de psiquiatria para dependentes de álcool, de um determinado hospital, tem se mantido constante nos últimos anos. Atividade 9

103 Observe os gráficos abaixo que representam diferentes funções que descrevem estatísticas sobre o consumo de álcool e tabaco. Identifique aquela em que a) o consumo aumentou de 10% a cada ano. b) o consumo aumentou de 6% a cada ano. c) o consumo caiu de 5% a cada ano. d) o consumo permaneceu constante. Atividade 10

104 Encontre as possíveis equações dos gráficos das funções exponenciais de a, b e c. Atividade 11

105 a)Se a dosagem de ampicilina é 250 mg, escreva a função usada como modelo do nível de ampicilina no sangue, em função do tempo, se foi tomada uma dose. b) Estime quanto tempo levará para que o nível de ampicilina no sangue caia para 1 mg. Atividade 12 A quantidade da droga ampicilina (na forma de penicilina) na corrente sangüínea decresce aproximadamente 42% a cada hora.

106 a)Construa a função do modelo do nível de morfina no sangue após tomar uma dose. b) Quanto de morfina permanece no sangue após 4 horas? c) Estime quanto tempo levará para que o nível de morfina no sangue caia para 0,2 mg. Atividade 13 Num hospital é administrada a um paciente 3 mg de morfina para o controle da dor. Aproximadamente 31% de morfina é eliminada do sangue a cada hora.

107 Seja uma função exponencial tal que e. Quais desses valores são possíveis e quais são impossíveis? a)c)b) Atividade 14

108 Construa no Excel o gráfico das seguintes funções, no mesmo sistema de coordenadas observando-as e comparando-as. O que podemos concluir? Atividade 15 a),, b),, c), d),


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