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Otimização Combinatória O Problema da K-Dispersão Discreta Fabrício Lacerda Biajoli Natacha Silva e Clemente.

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1 Otimização Combinatória O Problema da K-Dispersão Discreta Fabrício Lacerda Biajoli Natacha Silva e Clemente

2 Importância 1.A solução de problemas de dispersão está hoje crescendo em importância. Necessidade de providenciar um destino adequado aNecessidade de providenciar um destino adequado a uma série de materiais (rejeitos industriais e nucleares, armamentos etc); 2. Conceito: Dado um conjunto de n facilidades alocadas sobre os nós de um grafo, o problema consiste em selecionarDado um conjunto de n facilidades alocadas sobre os nós de um grafo, o problema consiste em selecionar k facilidades dentre as n possíveis, de modo que a distância mínima entre qualquer par das k facilidades selecionadas seja máxima.

3 1.Localização de reservatórios de combustível; 2.Alocação de agentes competitivos como franquias etc; 3.Distribuição de depósitos de lixo; 4.Localização de silos de mísseis e instalações nucleares; 5.Prisões e instalações militares; 6.Tratamento de águas residuais; 7.Distribuição de freqüências em sistemas de comunicações; 8.Experimentos estatísticos; 9.Exploração de madeira etc. Aplicações

4 INÍCIO Ler grafo G=(N, A) e k; B:= 0; Gargalo:= 0; Ordenar arestas (u,v) e d uv de G em uma lista C; Enquanto |B| < (n – k) fazer Encontrar a menor distância d(u,v) em C; Se ( u ou v) B então fazer Eliminar aleatoriamente (u ou v) B; C C – [(u,v), (d uv )]; B B {elemento u ou v eliminado}; Se |B| = (n - k) então fazer Gargalo Min { d uv, u e v A – B}; Fim_enquantoFIM Heurística de Erkut - Fase de Construção de uma solução míope

5 Exemplo: Consideremos o problema de localizar 3 facilidades no grafo abaixo C = { [(3,6), (4)], [(1,6),(5)], [(2,3),(5)], [(1,4),(5)], [(3,4),(6)], [(4,6), (9)], [(4,5),(8)], [(5,6),(8)], [(2,5),(9)], [(1,3),(9)], [(2,6),(9)], [(1,2),(10)], [(2,4),(11)], [(3,5),(12)], [(1,5),(13)]}

6 Encontrar a menor distância d uv em C e escolher aleatoriamente u ou v C = { [(3,6), (4)], [(1,6),(5)], [(2,3),(5)], [(1,4),(5)], [(3,4),(6)], [(4,6), (9)], [(4,5),(8)], [(5,6),(8)], [(2,5),(9)], [(1,3),(9)], [(2,6),(9)], [(1,2),(10)], [(2,4),(11)], [(3,5),(12)], [(1,5),(13)]} B = { (3) };Gargalo = 0;|B| = 1;

7 C = { [(1,6),(5)], [(2,3),(5)], [(1,4),(5)], [(3,4),(6)], [(4,6), (9)], [(4,5),(8)], [(5,6),(8)], [(2,5),(9)], [(1,3),(9)], [(2,6),(9)], [(1,2),(10)], [(2,4),(11)], [(3,5),(12)], [(1,5),(13)]} B = { (3), (1)} Gargalo = 0;|B| = 2; Encontrar a menor distância d uv em C e escolher aleatoriamente u ou v

8 C = { [(2, 3),(5)], [(1,4),(5)], [(3,4),(6)], [(4,6), (9)], [(4,5),(8)], [(5,6),(8)], [(2,5),(9)], [(1,3),(9)], [(2,6),(9)], [(1,2),(10)], [(2,4),(11)], [(3,5),(12)], [(1,5),(13)]} B = { (3), (1), (2)} Gargalo = 8;|B| = (n – k) = 3; Encontrar a menor distância d uv em C e escolher aleatoriamente u ou v

9 Solução Míope Encontrada pelo algoritmo de Erkut Gargalo = 8; Solução Míope = {4, 5, 6};

10 INÍCIO Ler grafo G=(N, A), B, k e o Gargalo; V := A – B; temp:= Ø; Para i B fazer Se ((d iu > d iv ) & (d iu > Gargalo)) então w:= v ; Se ((d iv > d iu ) & (d iv > Gargalo)) então w:= u ; temp:= {i} V – {w}; Novo_Gargalo:= Min (d uv, u e v temp); Se Novo_Gargalo > Gargalo então fazer V { i } V – { w }; temp V; B B – { i }; Fim_paraFIM Fase de Melhoria da Solução Corrente

11 Nó i escolhido (u, v)d(u, v) Maior d(u, v) Possível Solução Gargalo 2 (4, 5) d 24 =11 d 25 =9 d 24 > d 25 d 24 > Garg. (2, 4, 6) 9 > 8 Melhoria (4, 6) d 24 =11 d 26 =9 d 24 > d 26 d 24 > Garg. (2, 4, 6) Mesma anterior (5, 6) d 25 =9 d 26 =9 d 25 = d 26 --

12 Solução Melhorada se o nó escolhido fosse o nó Gargalo = 9; Solução = {2, 4, 6};


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