Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade

Apresentação em tema: "Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade"— Transcrição da apresentação:

1 Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade
Aula 7

2 Variável aleatória contínua unidimensional
Conceito: “Se uma variável aleatória x assume todos os valores de um intervalo real, então x é denominada variável aleatória contínua”. Processos definidos a partir da contagem conduzem a modelos que envolvem variáveis aleatórias, enquanto os processos definidos a partir de medidas conduzem aos modelos que envolvem variáveis aleatórias contínuas.

3 Função densidade de probabilidade
No caso de uma variável contínua não podemos mais atribuir um único valor para x. Assim termos que verificar qual é a função pra esse valor. A região compreendida sob o gráfico da função e o eixo x é igual a 1. A probabilidade é dada pela área da f(x) x f(x)

4 Função densidade de probabilidade
Exemplos: Considere o intervalo real [2,10] e a função que associa a cada ponto deste intervalo sua distância ao ponto 2. Calcule a probabilidade de: Função de densidade de probabilidade: x f(x) 1/8 1 2 3 4 5 6 7 8

5 Função densidade de probabilidade
Exemplo 2: Considere a variável aleatória x que assume valores no intervalo [0,5] com a seguinte função densidade de probabilidade: Construa o gráfico da função f e calcule: x f(x) 0,4 5

6 Função densidade de probabilidade
Porém outras funções, assim como o valor esperado, a variância e desvio padrão, só podem ser calculadas através do calculo da integral, o torna o processo bastante complicado. Assim para os principais casos, foram construídas tabelas que apresentam esses valores de probabilidade prontos.

7 Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade
Distribuição Normal de Probabilidade Características do modelo: Suponha que uma variável x, com média µ e desvio-padrão , apresenta-se as seguintes características: Valores da variável aleatória x mais próximos da média ocorrem com maior frequência. Valores da variável aleatória x simétricos em relação à média ocorrem com mesma frequência. A região definida pelo gráfico da função e pelo eixo x tem área unitária (=1)

8 Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade
Descrição do modelo: . x f(x) Distribuição Normal – (Gauss)

9 Cálculo da Probabilidade
A probabilidade de p[a<x<b] é a área da região sob a curva definida pelo intervalo ]a,b[. Para superar essa dificuldade, uma particular distribuição normal z com média 0 e variância = 1, foi construída. x f(x) a b x f(z) z

10 Cálculo da Probabilidade
Exemplo: Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assumir valores entre 0 e 1. Olhando na tabela z=1,00 é 0,3413 x f(z) 1

11 Cálculo da Probabilidade
Exercícios Calcule para a distribuição z normal padrão: P(z<2,00) P(-2,00<z<3,00) P(2<z<2,5) P(-3,27<z<-1,74)

12 Cálculo da Probabilidade
Qualquer distribuição normal pode ser transformada em distribuição z (valor esperado=0 e variância=1) utilizando a seguinte relação: Por exemplo: Uma variável aleatória x normal apresenta média 20 e desvio-padrão3. Calcule p(20<x<23). Usando a mudança de variável: Portanto, esse caso equivale a calcular p(0<z<1) = 0,3413.

13 Cálculo da Probabilidade
Exercício: Se a variável aleatória x admite distribuição normal com média 30 e desvio padrão 3, calcule: P(30<x<36) P(x>38) P(32<x<35)

14 Cálculo da Probabilidade
Exercício: O levantamento do custo unitário de produção de um item da empresa revelou que sua distribuição é normal com média 50 e desvio-padrão 4. Se o preço de venda unitário é de 60, qual a probabilidade de uma unidade desse item escolhida ao acaso ocasionar prejuízo a empresa? Resposta: 0,62%

15 Cálculo da Probabilidade
Exercício: Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostram que o lucro realizado distribui-se normalmente com média R$48.000,00 e desvio padrão de R$8.000,00. Qual a probabilidade de que: Na próxima semana o lucro seja maior que R$50.000? Na próxima semana o lucro esteja entre R$40.000,00 e R$45.000,00? Na próxima semana haja prejuízo?

16 Aproximação da Binomial pela Normal
Se y admite distribuição binomial de probabilidade, mas o número n de repetições do experimento E é grande (n>30), com a probabilidade p de sucesso próximo a 0,5, podemos , com uma pequena margem de erro, calcular as probabilidades da distribuição binomial y através de um distribuição normal x, com as seguintes condições: 1. 2. 3. A probabilidade binomial p[k=ki] corresponderá a: p[ki-0,5<x<ki+0,5]

17 Aproximação da Binomial pela Normal
Exemplo: Um exame do tipo teste é constituído de 50 questões, cada uma delas com quatro respostas alternativas, das quais apenas uma é correta. Calcule a probabilidade de que um aluno, respondendo ao acaso as questões, acerte exatamente 15 questões. Solução: Sucesso: acertar questão, Fracasso: não acertar. (A - p(A)=1/4; N – p(N)=3/4). N= 50 e k =15.

18 Aproximação da Binomial pela Normal
Aproximando pela normal: Com média: E desvio padrão: Essa probabilidade pode ser obtida pela distribuição normal: Transformando para a normal z:

19 Aproximação da Binomial pela Normal
Exercício: Um candidato, pela última pesquisa, detém 20% dos votos de uma região. Calcule a probabilidade de que em um conjunto de 200 eleitores selecionados ao acaso nesta região ele obtenha: Exatamente 45 votos. Resp.: 4,59%