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CÁLCULO NUMÉRICO Aula 5 – Sistema de Equações lineares.

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Aula 5 – Sistema de Equações lineares

2 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Métodos diretos e iterativos para a resolução de sistemas lineares: Método de Gauss Jordan; Método da Gauss Jacobi.

3 MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Um dos métodos utilizados na resolução de sistemas lineares é o de Gauss-Jordan; Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não pertencem à diagonal principal, iguais a zero); Operações elementares serão efetuadas com as linhas / colunas; Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à solução exata a menos de erros de arredondamento, introduzidos pela máquina, após um número finito de passos.

4 ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES

5 ESCALONAMENTO A primeira linha deve manter apenas o “x”, a segunda linha apenas o “y” e a terceira linha apenas o “z”; Para eliminarmos o “2x” da segunda linha podemos multiplicar a primeira linha por (-2): Nova segunda linha

6 ESCALONAMENTO Para eliminarmos o “3x” da terceira linha podemos multiplicar a primeira linha por (-3): Nova terceira linha

7 ESCALONAMENTO Sistema com as modificações: Com operações semelhantes eliminamos: “y” e “z” da primeira linha; “z” da segunda linha; “y” da terceira linha. REPOSTA: x =1 , y = 2 e z = 4

8 MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
Considere um sistema linear com “n” equações e “n” incógnitas; Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0), y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência e testada segundo um critério de parada; Fórmula de recorrência:

9 MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
Critério de parada: O número de iterações; Erro relativo Teste de convergência do método: se o sistema linear satisfaz o critério das linhas então o método de Gauss-Jacobi converge.

10 APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1
Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear abaixo Como amáximo = 0,5 < 1, há convergência.

11 Início (ALGORITMO CONVERGÊNCIA)
max Para i = 1 até n faça Soma Para j = 1 até n faça Se i  j Soma Soma + aij  Fim se Fim para Soma Soma /aii  Se max < soma max Soma

12 (ALGORITMO GAUSS JACOBI)
Início convergência cont  0 Repetir cont  cont + 1; num 0; den 0 Para i = 1 até n faça yi  0 Para j = 1 até n faça Se i  j então yi  yi + aij * yj Fim para yi  (bi - yj )/aij Se num <  yi - xi  então num   yi - xi  Se den <  yi então den   yi Fim Para x  y Até (num/den < e ) Fim-Se

13 APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com precisão de 0,01. Convergência: Convergência após mudança de linhas: Como amáximo = 0,40 < 1, há convergência.

14 APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
Fórmulas de recorrência: Valores iniciais: x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0; Iterações: Primeira:

15 APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
Segunda: Terceira:

16 APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
Quarta: Quinta:

17 RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: A resolução de sistemas lineares: Método direto; Método Iterativo. Algoritmo do método de Gauss-Jacobi.


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