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Controle de Processos por Computador
UFOP Controle de Processos por Computador
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Modelagem no Domínio do Tempo
Representação no espaço de estados Modelagem de um sistema físico (planta ou processo industrial, por exemplo) no domínio do tempo Modelagem de sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas Simulação em computador do comportamento dinâmico do sistema
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Modelagem no Domínio do Tempo
Procedimento Selecionar um subconjunto de variáveis de interesse, as quais são chamadas de variáveis de estado Para um sistema de ordem “n”, escrever n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas em termos das variáveis de estado Sabendo-se as condições iniciais das variáveis de estado e a entrada do sistema, pode-se resolver tais equações diferenciais em função das variáveis de estado A combinação algébrica das variáveis de estado com as entradas pode ser utilizada para a determinação das demais variáveis do sistema, cada qual correspondendo a uma equação de saída As equações de estado e as equações de saída constituem a representação de um sistema físico no espaço de estados
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Exemplo: Dado o sistema abaixo, obtenha uma representação no espaço de estados, utilizando i(t) como variável de estado Dados: condições iniciais nulas e entrada em degrau
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1 – Selecionar a variável de estados i(t), por exemplo 2 – Para um sistema de ordem 1, necessita-se de uma equação diferencial (equação de estado) 3 – Resolver a equação diferencial em função da condição inicial e entrada dadas
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4 – Podem-se obter todas as outras variáveis do sistema em função de i(t) e da entrada Continuação
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e ou vR e vL são as equações de saída 5 – As equações de estado e de saída constituem uma representação do comportamento do sistema analisado no espaço de estados Continuação
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Exercício: repita o exemplo anterior, utilizando vR(t) como variável de estado Exemplo: Dado o sistema abaixo, determine a representação no espaço de estados utilizando i(t) e q(t) como variáveis de estado
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1 – Escolher as variáveis de estado i(t) e q(t) 2 – Escrever as equações de estado Sistema de 2ª ordem requer 2 equações de estado e, a partir da equação acima, obtém-se as equações de estado as quais podem ser resolvidas no domínio da transformada e posteriormente calculadas no tempo (transformada inversa de Laplace) durante o passo 3 Usando a definição de corrente
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Continuação
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4 – A partir das funções obtidas no passo 3, pode-se calcular as demais variáveis do sistema, como por exemplo a tensão sobre o indutor (equação de saída) 5 – As equações de estado e as equações de saída constituem a representação do sistema no espaço de estados Observação: Uma equação diferencial de ordem “n” pode ser convertida em “n” equações diferenciais de 1ª ordem
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Exercício: Represente as equações de estado e as equações de saída do exercício anterior na forma matricial
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Exercício: repita o exemplo anterior utilizando vR(t) e vc(t) como variáveis de estado
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Resumidamente O espaço de estados é aquele cujos eixos são as variáveis de estado, sendo definido, pois, pelas equações de estado e de saída As variáveis de estado devem ser linearmente independentes O número mínimo de variáveis de estado é, em geral, igual a ordem da equação diferencial que descreve o comportamento do sistema. Entretanto, pode-se também utilizar na representação em espaço de estados um número de variáveis de estado maior do que o mínimo necessário
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Conversão da representação em função de transferência para o espaço de estados Selecionar um conjunto de variáveis de estado de modo que cada variável seja a derivada da variável subseqüente (variáveis de fase) Dada uma equação diferencial na forma uma forma conveniente de selecionar as variáveis consistem em definir a saída y(t) e as (n-1) derivadas como variáveis de estado (serão chamadas de variáveis de fase)
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Derivando ambos os lados
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que na forma matricial pode ser escrita como e a saída y pode ser escrita na forma matricial por Continuação
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Exercício: Determinar a representação no espaço de estados da seguinte função de transferência
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Conversão da representação no espaço de estados para função de transferência Dadas as equações de estados e de saída abaixo, determina-se inicialmente a transformada de Laplace de cada equação Transformada de Laplace
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Inicialmente deve-se estudar a resposta transitória de sistemas físicos Análise de pólos (raízes do denominador) e zeros (raízes do numerador) Determinam as características da resposta temporal transitória do sistema Serão analisados sistemas de primeira e de segunda ordem
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Motivação: efeito dos pólos e zeros de um sistema de primeira ordem sobre a resposta transitória (natural) e forçada
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Um pólo real produz o efeito de decaimento exponencial na resposta transitória
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Sistemas de primeira ordem
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Parâmetros Constante de tempo É o tempo 1/a, necessário para atingir exp(-1) ≈ 63% do valor final de regime permanente Tempo de subida Tr É o tempo gasto pela resposta do sistema entre 10% e 90% do valor final Tempo de assentamento Ts É o tempo necessário para que a resposta do sistema permaneça em torno de 2% do valor final de regime permanente
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Exercício: para o sistema indicado na figura abaixo, determine a resposta transitória (natural) e a forçada (de regime permanente), dada uma entrada em degrau. Na seqüência, calcule a constante de tempo, Tr e Ts
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Sistemas de segunda ordem A forma da resposta transitória dependerá da localização dos pólos e zeros no plano “s” (plano complexo ou de Argand-Gauss) = jω σ + j ω = σ
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Resposta superamortecida Dois pólos reais puros em -σ1 e -σ2 Reposta natural da forma Resposta subamortecida Dois pólos complexos em -σd ± jωd Resposta natural da forma Resposta sem amortecimento Dois pólos imaginários puros em ± jω1 Resposta natural na forma Resposta criticamente amortecida Dois pólos reais e iguais a -σ1
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Especificações quantitativas de sistemas de segunda ordem Freqüência natural ωn É a freqüência de oscilação do sistema Relação de amortecimento ζ ζ = freqüência exponencial de decaimento |σ| / freqüência natural ωn
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A forma geral da função de transferência de segunda ordem pode ser escrita como cujas raízes do denominador (pólos) são
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Para o sistema subamortecido, define-se: Instante de pico Tp Primeiro valor de pico (máximo) Ultrapassagem porcentual (%UP) O quanto (porcentual) o valor de pico ultrapassa o valor de regime estacionário Tempo de assentamento Tempo necessário para que as oscilações do regime transitório permaneçam no interior de uma faixa de valores de ±2% em torno do valor de estado estacionário
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Tempo de subida Tr Intervalo de tempo da forma de onda da resposta do sistema gasto entre 0,1 e 0,9 da amplitude final de regime estacionário Resumindo
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Exemplo: efeito da localização dos pólos sobre a resposta transitória de sistemas subamortecidos
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Resposta do sistema com pólos adicionais No caso de um sistema com dois pólos complexos e um real (no semi-plano “s” negativo), pode-se desprezar o efeito do pólo real quando o mesmo se encontra mais de 5 vezes distante do pólo dominante (convencionado arbitrariamente)
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Caso 1: Caso 2: Caso 3:
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Resposta de sistema com zeros Podem resultar no cancelamento de pólos, caso estejam muito próximos Podem resultar em uma simples mudança de amplitude na resposta, caso o zero esteja bastante distante dos pólos (à esquerda) sendo
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