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1 Arquitetura de Computadores Aritmética. Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 2 Arquitetura de Computadores Aritmética.

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1 1 Arquitetura de Computadores Aritmética

2 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 2 Arquitetura de Computadores Aritmética – Usando a representação numérica aprendida no capítulo passado, iremos explorar os métodos aritméticos de adição, subtração, multiplicação e divisão – Iremos ver os métodos diferentes para os números de ponto fixo X ponto flutuante – Como encontrar overflow.

3 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 3 Arquitetura de Computadores Adição e subtração de ponto fixo – O processo de adição ou subtração pode ser implementado utilizando os métodos de complementos de um ou complemento de dois, sendo que este último é o mais comum. – Complemento de dois: Números podem ser adicionados ou subtraídos usando a idéia representada pela figura ao lado. Para adicionar basta caminhar no sentido horário, para subtrair o caminho inverso Overflow acontece, quando ocorre uma transição do +3 para -4 ou do -4 para +3.

4 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 4 Arquitetura de Computadores Overflow – Overflow acontece quando dois positivos são somados e o resultado é negativo ou quando se adiciona dois números negativos e produzir um resultado com número positivo. Somar dois números com sinais diferentes nunca produzirá um overflow. – Em complemento de dois no processo de soma é normal descartar o bit de excesso (carry) e não indica a ocorrencia de overflow. – Exemplo de overflow: Soma: ( = 160) 10, produzirá na base 8, o valor –96 10 iusando o formato de complemento de dois: = = = -96 (complemento de dois)

5 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 5 Arquitetura de Computadores Implementação de adição e subtração via hardware – Adição com Ripple-Carry (excedentes propagados em onda) – Subtração com Ripple-Borrow (empréstimo propagados em onda)

6 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 6 Arquitetura de Computadores Adição com Ripple-Carry (excedentes propagados em onda) – Exemplo: soma de dois números binários, usando dois operandos de 4 bits, carry e resultados como saídas.

7 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 7 Arquitetura de Computadores Sistema de 16 bits – Um sistema maior poder ser construído partir de cascatas de somadores de 4 bits

8 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 8 Arquitetura de Computadores Subtração – Um circuito de subtração pode ser implementado usando a seguinte tabela verdade:

9 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 9 Arquitetura de Computadores Modelo Ripple-Borrow de subtração – Pode ser composta pela combinação em cascata, para gerar circuitos maiores. – A e B são valores que são entrada para a subtração, as saídas são as diferenças e vai um

10 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 10 Arquitetura de Computadores Combinação Subtração/Soma – É possível criar um único circuito que possa somar e subtrair utilizando portas lógicas XOR.

11 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 11 Arquitetura de Computadores Subtração usando complemento de um – É raramente usando hoje em dia – O excedente da posição mais a esquerda não é eliminado, mas sim somado de volta na posição menos significativa da porção inteira. – Ex:

12 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 12 Arquitetura de Computadores Representação cíclica de números usando três bits, com números em complemento de um.

13 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 13 Arquitetura de Computadores O último carry, complica adição de números não inteiros portando o complemento de um não é normalmente utilizado.

14 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 14 Arquitetura de Computadores Multiplicação e Divisão em Ponto Fixo – Pode ser feito usando operações de adição, subtração e deslocamentos – Funcionam com ou sem sinalização

15 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 15 Arquitetura de Computadores Multiplicação de números de ponto fixo sem sinal – Multiplicação de dois numero de 4 bits produzirá como resultado 8 bits – Multiplicação de número de 4 bits, sinalizado produz com resultado um número de 7 bits! Figura retirada do livro Introdução a Arquitetura de Computadores, Miles J. Murdocca

16 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 16 Arquitetura de Computadores Multiplicador em Série

17 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 17 Arquitetura de Computadores Exemplo de um multiplicador usando a multiplicação serial

18 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 18 Arquitetura de Computadores Divisão sem sinal – A ideia é subtrair sucessivamente o valor divisor do dividendo usando o menos de bits possível para esta operação. – Exemplo de divisão usando a base 2 7/3 = 2, com resto 1 Equivalentemente, (0111/11=10), com resto 1

19 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 19 Arquitetura de Computadores Divisor Serial

20 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 20 Arquitetura de Computadores Exemplo de divisão com sinal – Divisor Serial

21 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 21 Arquitetura de Computadores Extensão do sinal – Um número negativo deve ser estendido de acordo com u numero de bits do resultado para dar certo.

22 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 22 Arquitetura de Computadores Aritmética de Ponto Flutuante – As operações aritméticas em números de ponto flutuante podem ser feitas usando as operações de ponto fixo descritas anteriormente, prestando atenção em manter a representação de ponto flutuante.

23 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 23 Arquitetura de Computadores Aritmética de Ponto Flutuante – O tratamento para a aritmética de ponto flutuante difere da aritmética de inteiros porque temos pensar também nos expoente e no magnetude dos operandos ( Normalização) – As operações aritméticas em números de ponto flutuante podem ser feitas usando as operações de ponto fixo descritas anteriormente, prestando atenção em manter a representação de ponto flutuante.

24 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 24 Arquitetura de Computadores Adição e subtração em ponto flutuante – Difere de ponto flutuante da aritmética inteira porque os expoentes tem de ser tratados junto com as magnetudes dos operandos – Exemplo: Somar ( ) = , perde-se de precisão ( ) 2 4 = = Trabalhando apenas com 3 dígitos, temos: , e perdendo mais no processo

25 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 25 Arquitetura de Computadores A multiplicação e divisão em ponto flutuante – A multiplicação e divisão em ponto flutuante são feitos de maneira similar a adição e subtração em ponto flutuante.

26 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 26 Arquitetura de Computadores Aritmética de alto desempenho – Muitas aplicações exigem mais velocidades nos cálculos matemáticos. – Usar este métodos simples, não é produtivo – Outras técnicas são necessárias para melhorar a velocidades dos cálculos matemáticos em adição, subtração, multiplicação e divisão em ponto flutuante.

27 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 27 Arquitetura de Computadores Adição de alto desempenho – Carry-Lookahead Addition Os carries são representados em termos de expressões de Gi e Pi G i = a i b i and P i = a i + b i c 0 = 0 c 1 = G 0 c 2 = G 1 + P 1 G 0 c 3 = G 2 + P 2 G 1 + P 2 P 1 G 0 c 4 = G 3 + P 3 G 2 + P 3 P 2 G 1 + P 3 P 2 P 1 G 0

28 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 28 Arquitetura de Computadores Carry-Lookahead Addition – Atraso máximo das portas para a geração do garry é de 3. – O pior caso usando o controle para adição será 5.

29 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 29 Arquitetura de Computadores Multiplicação de ponto flutuante – A multiplicação de ponto flutuante é feito de modo similar a subtração de adição, exceto que o sinal, expoente e a fração do resultado são computados separadamente. – Podem gerar resultados negativos ou positivos – Os expoentes são somados na operação de multiplicação de números – Os expoentes são subtraídos na operação de divisão – As frações são multiplicados ou divididos de acordo com a operação, e são normalizados. Exemplo: ( ) / ( ) 2 Passo 1: verificar o sinal: Positivo Passo 2: subtrair o expoente: 5-4 = 1 Passo 3: dividir a parte fracionária: 110/100 = 1.10 Passo 4: combinar os resultados: ( ) Passo 5: Normalizado: ( ).

30 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 30 Arquitetura de Computadores The Booth Algorithm – A multiplicação por Booth reduz o numero de adição dos resultados intermediários, mas pode algumas vezes piorar mais do que melhorar. – Números positivos e negativos são tratados da mesma forma.

31 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 31 Arquitetura de Computadores Pior caso para o Booth – O pior caso acontece quando o algoritmo de requere duas vezes mais adição na multiplicação serial.

32 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 32 Arquitetura de Computadores Bit-Pair Recoding (Modified Booth Algorithm)

33 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 33 Arquitetura de Computadores Coding of Bit Pairs

34 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 34 Arquitetura de Computadores Parallel Pipelined Array Multiplier

35 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 35 Arquitetura de Computadores Divisão de alto desempenho – Técnica de divisão fracional no calculo de a/b – Fazer parecer que números são inteiros, efetuar a divisão e escalar de modo que fique com um número real fracionário. – Um método mais rápido é usar uma tabela intermediária e interação.

36 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 36 Arquitetura de Computadores Newtons Iteration for Zero Finding – O objetivo é achar onde a função f(x) cruza o eixo x, através de uma estimativa inicial xi e calcular o erro entre f(xi) e Zero. Depois, um novo calculo é feito com novas estimativas de modo que o zero possa ser alcançado. – Ex: a/b = a x (1/b) – Tabela com estimativas iniciais para o x0

37 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 37 Arquitetura de Computadores Aritmética Residual – Implementado sem uso de Carry (portanto rápido) – As comparações são mais difíceis de serem implementados sem converter os números em formatos normalizados – A representação dos primeiros 20 decimais inteiros em um sistema dado por modulos

38 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 38 Arquitetura de Computadores Exemplo de cálculo usando aritmética residual

39 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 39 Arquitetura de Computadores Adição usando BCD – A adição é realizada digito por dígito, não bit por bit. – Exemplo ( = 318) 10 :

40 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 40 Arquitetura de Computadores Subtração usando BCD – Usa-se o complemento de 10 para efetuar a subtração – Exemplo: ( = 192) 10 :

41 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 41 Arquitetura de Computadores Sinal do numero em BCD – Um número é considerado negativo em BCD complemento de 10, quando o número mais a esquerda estiver entre 0 e 4 inclusive.

42 Professor: Arlindo Tadayuki Noji Instituto de Ensino Superior Fucapi - CESF 42 Arquitetura de Computadores Subtração em complemento de 10 – Exemplo: ( = -13) 10 :


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