FUNÇÃO AFIM.

Apresentação em tema: "FUNÇÃO AFIM."— Transcrição da apresentação:

1 FUNÇÃO AFIM

2 Função afim Uma função f: ℝ  ℝ é função afim quando existem os números reais a e b tais que f(x) = ax + b para todo x  ℝ. Exemplos f(x) = , em que: a = e b = – 6 g(x) = –7x, em que: a = –7 e b = 0 h(x) = –5, em que: a = 0 e b = –5  Os números reais a e b são os coeficientes da função afim sendo a = taxa de variação da função

3 Casos particulares de função afim
A função afim pode ser: constante n(x) = –5 g(x) = f(x) = –13 f(x) = linear h(x) = –7x h(x) = 3x g(x) = –6x f(x) = x Uma função f: ℝ  ℝ é função constante se é definida por f(x) = b, com b  ℝ, para todo x do domínio. Uma função f: ℝ  ℝ é função linear quando existe número real a, com a ≠ 0, tal que f(x) = ax, para todo x  ℝ.

4 Valor de uma função afim
Dada a função afim g(x) = x – 1, vamos calcular g . Nesse caso, temos x = ; então: g  Logo: g

5 Valor de uma função afim
Dada a função afim f(x) = ax + b e conhecendo f(–1) = 7 e f(4) = 2, vamos determinar a lei de formação dessa função. Se f(–1) = 7, então para x = –1 temos f(x) = 7, ou seja: 7 = a ∙ (–1) + b (I) Se f(4) = 2, então para x = 4 temos f(x) = 2, ou seja: 2 = a ∙ 4 + b (II)  Para determinar os valores de a e b, basta resolver o sistema formado pelas equações (I) e (II): Como –a + b = 7, temos: –a + 6 = 7  –a = 1  a = –1 Assim, a lei de formação dessa função é: f(x) = –x + 6

6 2. Sabendo que f(x – 1) = x + 5, calcular f(2) para todo x real.
EXEMPLO 1. Dada a função afim f(x) = 10x + 35, calcular x para f(x) = 5.  10x + 35 = 5 → 10x = – 30 → x = – 3 2. Sabendo que f(x – 1) = x + 5, calcular f(2) para todo x real. Para calcular f(2), x – 1 tem que ser igual a 2, então x – 1 = 2 → x = 3. Logo f(2) = = 8

7 EXEMPLO 3. Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00, e uma variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. Determine o lei que determina o salário desse vendedor em função do total de vendas. 4. O custo de fabricação de x unidades de um produto é C = x. Cada unidade é vendida pelo preço de R$ 3,00. Para haver um lucro de R$ 1200,00 devem ser vendidas k unidades. Determine o valor de k.

8 Gráfico da função afim – Construção do gráfico
Como exemplo, vamos construir o gráfico da função f(x) = 3x – 2. x f(x) –1 –5 –2 2 3 1 2 4

9 Exemplos de gráfico de função afim
g(x) = –2x + 1 x g(x) –1 3 2 –3 Dois pontos distintos são suficientes para determinar uma reta.

10 Exemplos de gráfico de função afim
f(x) = 3 x f(x) 1 3 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x, por isso podemos traçá-la conhecendo um único ponto.

11 Exemplos de gráfico de função afim
h(x) = x x h(x) –1 1 O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem (0,0).

12 Determinação de uma função a partir do seu gráfico
Exemplo 1. Dado o gráfico de uma função afim, vamos determinar a lei de formação dessa função. A(–2, 1)  x = –2 e y = 1  1 = a ∙ (–2) + b B(1, 4)  x = 1 e y = 4  4 = a ∙ (1) + b Então:  2a + b = 1 a + b = 4 ⇒ a = 1 e b = 3 Portanto: f(x) = x + 3 

13 Exemplo 2. Determinar o ponto de intersecção das retas correspondentes aos gráficos das funções afins f(x) = 4x + 11 e g(x) = –x + 1.  Para que as retas tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x de modo que as imagens desse valor pelas duas funções coincidam, ou seja, f(x) = g(x). 4x + 11 = –x x = –10 x = –2  Para x = –2, temos: f(–2) = g(–2) = 3 Logo, o ponto de intersecção é (–2, 3).

14 Um arquiteto pretende construir duas casas com piscina, uma ao lado da outra. Ele desenhou uma planta incluindo as duas casas vizinhas e está em dúvida sobre a medida de um dos lados de cada piscina, pois precisa construir as casas de modo que a área ocupada pela casa 2 e pela piscina 2 seja maior que a área ocupada pela casa 1 e pela piscina 1. Nessas condições, qual deve ser o valor de x? Vamos determinar as leis das funções que representam a área que cada casa e sua piscina ocupam em função da medida x.

15 RESOLUÇÃO Vamos determinar as leis das funções que representam a área que cada casa e sua piscina ocupam em função da medida x. Área ocupada pela casa 1 e pela piscina 1: A1 = A2 = Área ocupada pela casa 2 e pela piscina 2: Pelo esboço dos gráficos, podemos perceber que A2 é maior que A1 quando x > 11, pois, nesse intervalo, o gráfico de A2 está acima do gráfico de A1. Portanto, x tem de ser maior que 11 m. Para A1 = A2, temos x = 11, que é abscissa do ponto de intersecção dos gráficos que representam A1 e A2.

16 4. Física. O movimento uniforme é caracterizado pelo fato de a velocidade do móvel ser constante. Por esse motivo, o espaço percorrido em intervalos iguais é sempre o mesmo. Assim, a função horária desse movimento é dada pela lei s(t) = s0 + v ∙ t, em que s é a posição (em metro) do móvel no instante t (em segundo), s0, o espaço inicial quando t = 0, e v, a velocidade constante (em m/s).

17 a) Qual é a função horária do movimento correspondente ao gráfico?
b) Quais são o domínio e o conjunto imagem dessa função? c) Qual será a posição do móvel após 10 segundos? d) Após quanto tempo o móvel estará na posição 120 metros?

18 a) Observando o gráfico, percebemos que s0 = 20; então: s(t) = 20 + vt
Como s(2) = 30, então: v = 30  v = 5. Portanto, a função horária do movimento é: s(t) = t b) Pelo gráfico, podemos observar que D(s) = e Im(s) = {s  ℝ 𝖨 s ≥ 20}. c) Para t = 10, temos: s(10) = ∙ 10 = 70 Portanto, após 10 segundos, o móvel estará na posição 70 metros. d) Para s(t) = 120, temos: = 120  t = 20 Portanto, após 20 segundos, o móvel estará na posição 120 metros.

19 Análise do gráfico da função afim
Intersecção da reta... ... com o eixo x: zero da função ... com o eixo y: coeficiente b

20 Exemplo Vamos determinar o zero da função f(x) = x – e o ponto onde a reta intercepta o eixo x. x – = 0  x = (zero da função)

21 Crescimento e decrescimento de uma função afim
f(x) = 2x – 1  f(x) é crescente Quando aumentamos o valor x, os valores correspondentes de f(x) também aumentam.

22 Crescimento e decrescimento de uma função afim
g(x) = –3x + 1 g(x) é decrescente Quando aumentamos o valor x, os valores correspondentes de g(x) diminuem.

23 Função crescente (a > 0)
Crescimento e decrescimento de uma função afim Função crescente (a > 0) x2 > x1  ax2 + b > ax1 + b, ou seja, f(x2) > f(x1)

24 Função decrescente (a < 0)
Crescimento e decrescimento de uma função afim Função decrescente (a < 0) x2 > x1  ax2 + b < ax1 + b, ou seja, f(x2) < f(x1)

25 Função crescente (a > 0)
Estudo do sinal da função afim Função crescente (a > 0) f(x) = 0 para x = f(x) > 0 para x > f(x) < 0 para x <

26 Função decrescente (a < 0)
Estudo do sinal da função afim Função decrescente (a < 0) f(x) = 0 para x = f(x) > 0 para x < f(x) < 0 para x >

27 Exemplo Determinar o valor de m para que o gráfico da função j(x) = (–3 + 6m)x + 5 intercepte o eixo das abscissas no ponto (1, 0). Resolução Como o ponto (1, 0) pertence ao gráfico da função j, então j(1) = 0. Assim: 0 = (–3 + 6m) ∙ ⇒ 6m = –2 ⇒ m = – Logo, para m = – , o gráfico da função interceptará o eixo das abscissas no ponto (1, 0).

28 Exemplo Dada a função afim f(x) = (–3 + m)x + 7, discutir para quais valores de m a função é crescente, decrescente ou constante. Resolução Observe que o coeficiente de x nessa função é (–3 + m). A função é crescente se: –3 + m > 0 ⇒ m > 3 A função é decrescente se: –3 + m < 0 ⇒ m < 3 A função é constante se: –3 + m = 0 ⇒ m = 3 Para esses casos temos uma função do tipo ax + b, com a ≠ 0. 14243

29 Considere a função g(x) = (m – 2)x + 1, com m real.
Exemplos: Considere a função g(x) = (m – 2)x + 1, com m real. Calcule m de modo que g seja crescente. Determine m para que o ângulo entre o eixo x e a reta de g seja obtuso. Resolução: Para que f seja crescente, m – 2 > 0. Logo, m > 2. Se o ângulo é obtuso, então o gráfico é decrescente. Logo, m – 2 < 0. Conclui-se que m < 2.

30 Exemplo O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale unidades monetárias, e daqui a 5 anos valerá unidades monetárias, calcule seu valor daqui a 3 anos.

31 a) Os valores de m e n. b) f(10)
Exemplo 1. Sabendo que a função y = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = - 8, calcule: a) Os valores de m e n b) f(10) b) f(x) = 4x – 12. Então f(10) = 4.10 – 12 = 40 – 12 = 28