IV - Descrição e Apresentação dos Dados

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1 IV - Descrição e Apresentação dos Dados
Prof. Herondino

2 Dados A palavra "dados" é um termo relativo, tratamento de dados comumente ocorre por etapas, e os "dados processados" a partir de uma etapa podem ser considerados os "dados brutos" do próximo. (Wikipédia) Dados Brutos Em informática dados brutos (raw data) designam os dados/valores recolhidos e estocados tal qual foram adquiridos, sem terem sofrido o menor tratamento (Wikipédia)

3 Dados Brutos Suponhamos o seguintes dados Brutos como sendo a idade de alunos de uma turma de informática 12 12

4 Frequência A frequência de uma observação é o número de repetições dessa observação no conjunto de observações, ou ainda, é o número de vezes que conjuntos de dados aparecem em uma “população”.

5 Distribuição de Frequência Simples ( )
Dados ou variável (Idade) 11 2 12 5 13 6 14 7 15 3 16 17 1 Frequência (nº de Alunos)

6 Frequências Relativas
A frequência relativa é o valor da frequência absoluta dividido pelo número total de observações. Variável (idade) frequência absoluta (Nº de alunos) frequência relativa 11 2 2/26 = 0,0769 12 5 5/26 = 0,1923 13 6 6/26 = 0,2308 14 7 7/26 = 0,2692 15 3 3/26 = 0,1154 16 17 1 1/26 = 0,0385 TOTAL = 26 1,0000

7 Frequência Acumulada Variável freqüência absoluta freqüência relativa
relativa acumulada 11 2 2/26 = 0,0769 2/26 = 0,0769 12 5 5/26 = 0,1923 7 7/26 = 0,2692 13 6 6/26 = 0,2308 13/26 = 0,5000 14 7/26 = 0,2692 20 20/26 = 0,7692 15 3 3/26 = 0,1154 23 23/26 = 0,8846 16 25 25/26 = 0,9615 17 1 1/26 = 0,0385 26 26/26 = 1,0000 TOTAL = 26 =1,0000

8 Regras de arredondamento na Numeração Decimal
Norma ABNT NBR 5891 1) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação Exemplo: 1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á 1,3

9 Regras de arredondamento na Numeração Decimal
2) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade Exemplo 1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,7. 4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão : 4,9.

10 Regras de arredondamento na Numeração Decimal
3) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade. Exemplo: 4,550 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,6.

11 Regras de arredondamento na Numeração Decimal
4) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último a ser conservado for 5 seguido de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem modificação. Exemplo: 4,850 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,8.

12 Atividade - III Verificar a altura em centímetro de cada aluno da turma e construir uma sequência de Dados Brutos; A partir dos Dados Brutos obtidos, construir a distribuição de frequência absoluta simples, a frequência relativa, frequência acumulada e frequência relativa acumulada. Para o arredondamento utilize a regra da ABNT 5891.

13 Apresentação dos dados
Quando se dispõe de um grande número de observações, torna-se extremamente difícil a leitura de valores colocados em tabela.

14 Histograma Um histograma é uma representação gráfica de uma única variável que representa a frequência de ocorrências (valores dos dados) dentro de categorias de dados. O histograma tanto pode ser representado para as frequências absolutas como para as frequências relativas. Nota nº de Alunos 1 2 3 4 6 5 8 12 7 10 9 Total 50

15 Polígono de Frequência
O Polígono de frequências é obtido ligando-se os pontos médios dos topos dos retângulos de um histograma.

16 Sobrepondo

17 Histograma de frequência acumulada (ou ogiva)
histograma de frequência acumulada (ou ogiva) é a representação gráfica do comportamento da frequência acumulada.

18 Gráfico de Setores É designado por um círculo, onde cada classe é representada por um setor circular, cujo ângulo é proporcional ao tamanho da amostra.

19 Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
Para a determinação de classes não existe uma regra pré estabelecida, sendo necessário um pouco de tentativa e erro para a solução mais adequada. 1. Definir o número de classes Se n representa o número de observações (na amostra ou na população, conforme for o caso) o número aproximado de classes pode ser calculado por Número de Classes = arredondando os resultados. Quando tratamos de variáveis quantitativas contínuas os valores observados devem ser tabulados em intervalos de classes.

20 Exemplo Nº de Classes = Fazendo arredondamento para 6
Altura em cm da Turma CA 2013 Nº de Classes = Fazendo arredondamento para 6 Fonte: Marques, 2013

21 Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
2. Calcular a amplitude das classes Essa será obtida conhecendo-se o número de classes e amplitude total dos dados. A amplitude total dos dados é o resultado da subtração valor máximo - valor mínimo da série de dados

22 Exemplo Rol Fonte: Vaz,2013

23 Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
3. Distribui a frequência dos dados agrupados por classe O limite superior de cada classe é aberto (e consequentemente, o limite inferior de cada classe é fechado), ou seja, cada intervalo de classe não inclui o valor de seu limite superior, com exceção da última classe. (Nº de Ordem) (Altura em cm) ( Nº de alunos) 01 02 03 04 05 06 Total Limite Inferior Limite Superior

24 Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
(Nº de Ordem) (Altura em cm) ( Nº de alunos) 01 9 02 8 03 5 04 4 05 3 06 1 Total Fonte: Tillmann, 2013

25 Medidas de posição ou tendência central
1. Média Aritmética

26 Exemplo: A nota final (NF) do curso será dada pela fórmula: Em que:
AP – Avaliação Parcial AF – Avaliação Final Sendo AP (Avaliação Parcial) a média aritmética das atividades propostas (AT1, AT2,...,ATn) A cada AT será atribuído valores de 1 a 5.

27 Exemplo:

28 Medidas de posição ou tendência central
Propriedades da média aritmética A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de gravidade da distribuição, um ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de dados sem mudar o total. Simbolicamente temos: 2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero. A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro número. Em outras palavras, é um mínimo.

29 Exemplo

30 Medidas de posição ou tendência central
2. Média Ponderada Onde é o peso da observação i

31 Exemplo A universidade definiu que as avaliações parciais teriam peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos. Veja o quadro abaixo e calcule a média do aluno. 8,0 0,30 Ap 2 9,0 9,6 Ap nota peso Ap 1 Final 0,40

32 Média aritmética Ponderada em dados agrupados
(Nº de Ordem) (Altura em cm) ( Nº de alunos) 01 9 02 8 03 5 04 4 05 3 06 1 Total ( Ponto médio)

33 Média aritmética Ponderada em dados agrupados
(Nº de Ordem) (Altura em cm) ( Nº de alunos) 01 9 02 8 03 5 04 4 05 3 06 1 Total ( Ponto médio) 155 1395 161 1288 167 835 173 692 179 537 185 4932

34 Mediana (Md) A mediana é o valor do item central da série quando estes são arranjados em ordem de magnitude Exemplo: 2, 4, 5, 7, Md=5 2, 5, 6, 9, 10, 13, Md=9 3, 5 ,8 ,10, 15 ,21 Md=9 Para o calculo da mediana, têm-se: Se a série for ímpar sua posição será dada por ou se for Par a sua posição é dada por

35 Mediana (Md) Cálculo da mediana Se série ímpar
Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 } Md=2 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 1 2 3 4 5

36 Mediana (Md) Cálculo da mediana Se a sequência for par
Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 } 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 1 2 3 4 5 6

37 Mediana (Md) para valores agrupados
A partir da distribuição de frequência acumulada ou ogiva, inicialmente determina-se a classe que contem a mediana. (Nº de Ordem) (Altura em cm) 01 9 02 8 03 5 04 4 05 3 06 1 Total 9 30 17 57 22 73 26 87 29 97 100

38 Mediana (Md) para valores agrupados
mmm 17 9 158 Md 164

39 Mediana (Md) para valores agrupados
= limite de classe inferior da classe da mediana; = frequência acumulada da classe imediatamente anterior à classe da mediana; = frequência absoluta simples da classe da mediana, = amplitude (tamanho) da classe da mediana.

40 Exemplo:

41 Moda (Mo) É o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Exemplos: a){ 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10. b){ 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal. c){ 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.

42 Moda (Mo) – Dados agrupados
Sem intervalo de classe: é o valor da variável de maior frequência. Exemplo: Nota nº de Alunos 1 2 3 4 6 5 8 12 7 10 9 Total 50

43 Moda (Mo) – Dados agrupados
Com intervalos de classe: A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Nesta, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal (Moda Bruta). (Nº de Ordem) (Altura em cm) 01 9 02 8 03 5 04 4 05 3 06 1 Total

44 Moda (Mo) – Classes agrupada
Método pela fórmula de CZUBER: : limite inferior da classe modal : frequência anterior a classe modal : frequência posterior a classe moda : frequência da classe modal : amplitude da classe modal 9 11 8 5

45 Interpretação Geométrica

46 Atividade IV

47 Referência BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002. MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006. TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1999.