Aula 2 – Aplicações ao Movimento e Comprimento De Arco

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1 Aula 2 – Aplicações ao Movimento e Comprimento De Arco
CÁLCULO III Aula 2 – Aplicações ao Movimento e Comprimento De Arco FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

2 Conteúdo Programático
Introdução Aplicações ao Movimento Exemplos Comprimento de Arco 5. Exemplos FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

3 Interpretação física da derivada
INTRODUÇÃO Interpretação física da derivada FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

4 Vamos considerar uma partícula em movimento no espaço (R2 ou em R3).
Observe que quando t varia, a extremidade livre do vetor σ(t) descreve a trajetória C da partícula. A função σ(t) é dita função posição do movimento. Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em Q no tempo t+Δt. Veja que Δσ = σ(t+Δt) - σ(t) representa o deslocamento da partícula de P para Q, no intervalo Δt. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

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6 APLICAÇÕES AO MOVIMENTO
A partir da função posição podemos falar dos conceitos físicos → vetor velocidade, velocidade escalar e vetor aceleração. DEFINIÇÃO 1 Considere a função posição σ(t). A sua derivada σ’(t) é chamada vetor velocidade. Notação: V(t) → vetor velocidade da partícula FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

7 Observação: O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória no ponto em que a partícula se encontra. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

8 Notação: v(t) → velocidade escalar
DEFINIÇÃO 2 O comprimento do vetor velocidade,||σ’(t)||, é chamado de velocidade escala. Notação: v(t) → velocidade escalar FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

9 Notação: a(t) → vetor aceleração da partícula
DEFINIÇÃO 3 O vetor aceleração da partícula é dado pela derivada do vetor velocidade → V’(t) ou σ’’(t) Notação: a(t) → vetor aceleração da partícula Observação: O vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

10 é derivável, o vetor velocidade da
CONCLUSÃO Quando é derivável, o vetor velocidade da partícula é dado por Quando é derivável, a aceleração da partícula é dada por A velocidade escalar v(t) é dada por ||σ’(t)|| v(t) = ||σ’(t)|| FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

11 EXEMPLO 1 Determinar o vetor velocidade, vetor aceleração e a velocidade escalar de uma partícula que se move segundo a função abaixo: Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

12 Cálculo do vetor velocidade da partícula
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13 Cálculo do vetor aceleração da partícula
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14 Cálculo do vetor velocidade escalar da partícula
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15 Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Veja que dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar é nulo. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

16 Portanto, o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

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18 Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.
EXEMPLO 2 Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções e Determine o ponto P onde as estradas se cruzam. (b) Os carros colidem no ponto P? (c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro? FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

19 Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções Determine o ponto P onde as estradas se cruzam. Primeiro devemos observar que σ1 = (t,t2) tem x(t) = t e y(t) = t2, portanto a equação cartesiana será y = x2. Com o raciocínio análogo σ2 = (t,7t - 10), x(t) = t e y(t) = 7x – 10, portanto a equação cartesiana será y = 7x – 10. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

20 Encontramos o ponto onde as estradas se cruzam resolvendo o sistema formado por y= x2 e y= 7x -10.
Igualando as duas equações x2 = 7x -10, e resolvendo a equação do segundo grau encontramos como raízes os números reais 5 e 2. Concluímos, então que temos dois pontos de encontro entre y(t) = t2 e y = 7x – 10 que são as coordenadas (5,25) e (5,4). FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

21 (b) Os carros colidem no ponto P?
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções e (b) Os carros colidem no ponto P? Para saber se os carros colidem, basta verificar em que tempo cada um deles passa no ponto de interseção (item a). Para σ1 = (t,t2) temos x(t) = t = 5 e para σ2 = (t,7t - 10), temos x(t) = t=5. Logo os carros colidem. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

22 (c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro?
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções e (c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro? Precisamos calcular a velocidade escalar v(t) = || σ`(t)|| e v(t) = ’(t). FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

23 Para o carro A temos: Com t = 5 → Para o carro B temos:
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24 COMPRIMENTO DE ARCO Considere a curva definida por e , como a trajetória descrita por uma partícula que se move com velocidade escalar v(t) = =|| σ`(t)|| FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

25 O comprimento da curva C é definido por
Queremos encontrar o comprimento dessa curva quanto t varia de a até b. DEFINIÇÃO Seja C uma curva definida pela função vetorial σ(t), t variando no intervalos [a,b] de classe C1. O comprimento da curva C é definido por FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

26 Se C é uma curva em R2 então podemos escrever L(C) da seguinte forma:
OBSERVAÇÃO Se C é uma curva em R2 então podemos escrever L(C) da seguinte forma: Se C é uma curva em R3 então podemos escrever L(C) da seguinte forma: FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

27 Vamos calcular o comprimento da curva (hélice circular).
EXEMPLO 1 Vamos calcular o comprimento da curva (hélice circular). , . Cálculo da derivada da função dada. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

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29 Vamos calcular o comprimento da curva
EXEMPLO 2 Vamos calcular o comprimento da curva Cálculo da derivada da função dada. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

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31 Vamos calcular o comprimento da curva
EXEMPLO 3 Vamos calcular o comprimento da curva Cálculo da derivada da função dada. FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

32 Vamos chamar de u e derivar
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34 RESUMINDO FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

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