Heaps Katia S. Guimarães

Apresentação em tema: "Heaps Katia S. Guimarães"— Transcrição da apresentação:

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2 maio/2000katia@cin.ufpe.br1 Heaps Katia S. Guimarães katia@cin.ufpe.br

3 maio/2000katia@cin.ufpe.br2 Estrutura Heap Heap é uma estrutura de prioridades na forma de árvore binária completa, que representa uma ordem parcial entre os elementos do conjunto. Ex: 89 921 22 2634 41 74 8 15 32 4

4 maio/2000katia@cin.ufpe.br3 Estrutura Heap Ex: 89 921 22 2634 41 74 8 15 32 4 Implementação usual: array unidimensional, onde a raiz ocupa a posição 1, e os elementos obedecem à relação: esq. i = 2 i, dir. i = 2 i + 1. 743289224115421934268

5 maio/2000katia@cin.ufpe.br4 Construção de um Heap A construção é feita a partir do array com os elementos desordenados, e pode ser feita “bottom-up” ou “top-down”. Na construção bottom-up, o controle segue das folhas à raiz (ou seja, da direita para a esquerda no array), construindo um heap único a partir de dois heaps menores + um novo elemento.

6 maio/2000katia@cin.ufpe.br5 Construindo um Heap Bottom-up Base: Se n = 1, então a árvore é uma folha, não há o que fazer (a árvore já é um heap). 21 934 Ex: 9 34

7 maio/2000katia@cin.ufpe.br6 Construindo um Heap Bottom-up Passo: Se n > 1, então usando a Hipótese de Indução, só é necessário ajustar a ordem parcial com relação ao novo elemento. 21934 Ex: 9 21 34 921 34 21934 

8 maio/2000katia@cin.ufpe.br7 Heapify 9 921 22 2634 41 74 Toma dois (sub)heaps mais um novo elemento e constrói um novo heap contendo todos. Ex. 74224121934267422412193426 2221 74 2634 41 

9 maio/2000katia@cin.ufpe.br8 Heapify Toma dois (sub)heaps mais um novo elemento e constrói um novo heap contendo todos. A situação é similar ao rearranjo de um heap após a remoção de um elemento, quando tomamos o último elemento e o “promovemos para a raiz”. Só precisamos encontrar um local apropriado para o elemento nesta nova raiz.

10 maio/2000katia@cin.ufpe.br9 Heapify 921 22 2634 41 74 21 9 2221 74 2634 41  74 22212634 41 9 9 74 2634 41  22

11 maio/2000katia@cin.ufpe.br10 Algoritmo Heapify Algoritmo Heapify( i ) Enquanto i  int (n/2) /* i tem filhos */ faça { Se i < int(n/2) /* i tem dois filhos */ então Se A[ 2 i ] > A[ 2 i + 1 ] então maior  2 i senão maior  2 i + 1 senão /* O único é o maior */ maior  2 i ; Se A[ i ] < A[maior] então { A[ i ]  A[maior]; i  maior } senão i  n + 1 /* deixe o laço */ }

12 maio/2000katia@cin.ufpe.br11 Construindo um Heap Bottom-up Algoritmo Constrói-Heap: Para i  n/2 até 1 faça Heapify 7421 22 2641 34 9 7421 22 2634 41 9 74224121934267422412193426 

13 maio/2000katia@cin.ufpe.br12 Construindo um Heap Bottom-up Algoritmo Constrói-Heap: Para i  n/2 até 1 faça Heapify( i ) 7421 22 2641 34 9 7421 22 2634 41 9 74224121934267422412193426 

14 maio/2000katia@cin.ufpe.br13 Construindo um Heap Bottom-up  7421 22 2634 41 9 7422412193426 2221 74 2634 41 9 7422412193426

15 maio/2000katia@cin.ufpe.br14 Construindo um Heap Bottom-up  921 22 2634 41 74 22412193426 2221 74 2634 41 9 7422412193426

16 maio/2000katia@cin.ufpe.br15 Construindo um Heap Bottom-up Algoritmo Constrói-Heap: Para i  n/2 até 1 faça Heapify (A, n, i) Custo para construir um heap: T(n) = n / 2 · log (n) = O (n · log (n)) Será que este custo é exato?