CONE.

Apresentação em tema: "CONE."— Transcrição da apresentação:

1 CONE

2 Cone Vamos considerar um círculo C, de centro O e de raio r, em um plano , e um ponto V não pertencente ao plano .  Chamamos de cone circular, ou apenas cone, a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra em um ponto de C.

3 Elementos do cone

4 Classificação dos cones
O cone pode ser classificado de acordo com a inclinação do eixo em relação ao plano que contém a base:  se o eixo não é perpendicular ao plano que contém a base, então o cone é oblíquo (h < ). se o eixo é perpendicular ao plano que contém a base, então o cone é reto (h = ).  cone oblíquo cone reto

5 Observações Um cone circular reto também é denominado cone de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de uma superfície triangular, determinada por um triângulo retângulo, em torno de uma reta que contém um de seus catetos. A medida desse cateto será igual à altura do cone, e a medida do outro cateto será igual à medida do raio da base do cone.

6 Secção meridiana de um cone
Uma secção meridiana de um cone é determinada pela intersecção do cone com um plano que contenha seu eixo.

7 Observações Se um cone reto tem medida da geratriz igual ao dobro da medida do raio da base (g = 2r), ele é chamado de cone equilátero. Se um cone é equilátero, então sua secção meridiana é uma triângulo equilátero

8 Secção transversal de um cone
Uma secção transversal de um cone é a intersecção do cone com um plano paralelo ao plano da base e que não passe por seu vértice.

9 Planificações da superfície de um cone reto

10 Planificações da superfície de um cone reto

11 Relações entre os elementos de um cone reto

12 Área da superfície e volume de um cone reto
Abase = r2 Alateral = rg Atotal = r(r + g) Vcone = r2h

13 Exercícios 1. Calcular o comprimento da circunferência da base e a altura de um cone reto cuja geratriz mede 13 cm e cujo raio mede 5 cm. Resolução O comprimento da circunferência da base é dado por C = 2r. Sabemos que o cone tem raio de medida r = 5 cm. Assim: C = 2 ∙  ∙ 5 ⇒ C = 10 ⇒ C ≃ 31,4 Portanto, o comprimento da circunferência da base é aproximadamente 31,4 cm. Sabendo que o cone é reto, podemos obter a altura por meio de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a geratriz e as medidas dos catetos são a altura e o raio da base do cone. Assim: Portanto, a altura do cone é 12 cm. 

14 Exercícios 2. Um cone reto de altura 10 cm tem por planificação da superfície lateral um setor circular de ângulo  medindo 150º. Determinar o raio da base e a medida da geratriz do cone.  Resolução: Como r2 + h2 = g2, temos: r = g2. Logo: g2 – r2 = 100 (I)  Como : , temos: 150º= (II)   De (I) e (II), concluímos que: ⇒ ⇒ Portanto, o raio da base do cone mede aproximadamente 4,58 cm. Como , o comprimento da geratriz mede aproximadamente 11 cm.

15 Exercícios 3. Calcule a área lateral de um cone reto cuja altura é 16 cm e cujo raio da base mede 12 cm. Resolução: Inicialmente vamos obter o comprimento da geratriz do cone: Portanto, o comprimento da geratriz do cone é 20 cm. A área lateral do cone é: Alateral = rg ⇒ Alateral =  ∙ 12 ∙ 20 ⇒ Alateral = 240 ⇒ ⇒ Alateral ≃ 753,6 Logo, a área lateral do cone é 240 cm2 ou aproximadamente, ≃ 753,6 cm2.

16 Exercícios 4. Determinar a área total da superfície de um cone equilátero de geratriz g.  Resolução: Vamos considerar um cone equilátero de raio da base r, comprimento da geratriz g e altura h.  Sabemos que, no cone equilátero, g = 2r; portanto: r = Logo: Atotal = Alateral + Abase Atotal =  ∙ r ∙ g +  ∙ r2  Atotal =  ∙ ∙ g +  ∙ = ∙  ∙ g2 Portanto: Atotal =  g2  

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18 6. (Fuvest – SP) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura.