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Matrizes Definição MatFisQui João7,05,06,0 Maria9,04,05,0 Chama-se matriz a uma tabela de números dispostos em linhas e colunas.

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1 Matrizes Definição MatFisQui João7,05,06,0 Maria9,04,05,0 Chama-se matriz a uma tabela de números dispostos em linhas e colunas

2 Matriz Quadrada: número de linhas = números de colunas Matrizes Classificação Matriz Retangular : número de linhas é diferente do números de colunas

3 Matrizes Notação ij Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por a ij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento. Observação: Se a matriz é quadrada de ordem n, então os elementos a ij tal que i=j são chamados de diagonal principal e os elementos a ij tal que i + j = n + 1 são os elementos da diagonal secundária.

4 Matrizes Igualdade de Duas Matrizes Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos: A = B a ij =b ij

5 Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Transposta Dada uma matriz A do tipo mxn chama-se transposta de A, a matriz A t obtida a partir de A, onde as linhas de linhas de A serão as colunas de A t e vice-versa Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que A t é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento a ij de A será o elemento a ji de A t.

6 Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Nula Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a zero.

7 Matrizes Operações com Matrizes Adição Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos c ij = a ij + b ij Exemplo:

8 Matrizes Operações com Matrizes Subtração Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos c ij = a ij - b ij Exemplo:

9 Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A. B a matriz m x p definida por C ij =a i1.b 1j + a i2.b 2j + a i3.b 3j a in.b nj Observações: 1.O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. 2.Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A. B existe e é uma matriz do tipo m x p,

10 Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação Exemplo: Dadas as matrizes

11 Matrizes Lei de formação de uma matriz Dada a matriz A = (a ij ) 3x2 tal que:

12 Matrizes Exercício Resolvido Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que: Solução:

13 Matrizes Exercício Resolvido Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que: Solução: 2a = 6 a=3 2d = 8 d=4 b + c = 5 Lembrando a análise combinatória O O O O O O +

14 Matrizes Produto de Matrizes Matriz Identidade Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero. Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja: A.I=I.A=A

15 Matrizes Operações com matrizes Produto de número por uma Matriz Definimos o produto de um número por uma matriz m x n como sendo uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada.

16 Matrizes Observações O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em que A.B = B.A e quando isso acontece dizemos que A e B se comutam. Quando A. B for diferente de B. A temos que (A + B) 2 = A 2 + A. B + B. A + B 2 Quando A e B se comutam temos (A+B) 2 = A 2 + 2AB +B 2


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