TRANSFORMADA DE FOURIER

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1 TRANSFORMADA DE FOURIER
Transformada de Fourier de sinais contínuos não periódicos Transformada e série de Fourier de sinais contínuos periódicos Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais contínuos Função resposta em frequência e resposta impulsional Funçao resposta em frequência e equação diferencial

2 Motivação SLIT Particularização da transformada de Laplace ao
eixo imaginário do plano Espectro de frequência

3 Definição Exponencial direita para Alternativa

4 Espectro de frequência da exponencial real

5 Definição

6 Condições de Dirichlet
Condições suficientes para a existência de transformada de Fourier: é absolutamente integrável, i.e., possui um nº finito de máximos e mínimos e um nº finito de descontinuidades finitas em qualquer intervalo de tempo finito. Estas condições incluem os sinais de energia finita, i.e., sinais tais que mas não os de potência média finita, i.e, sinais tais que

7 Exemplos 1. sinal de energia finita 2. sinal de energia infinita
sinal de potência média finita 3. sinal de potência média finita

8 Sinais periódicos Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é ?
Ex. 1 Ex. 2

9 Sinais periódicos Série de Fourier do sinal periódico TF
Combinação linear de exponenciais complexas de período TF é periódico com período e, portanto, com frequência fundamental Coeficientes da série de Fourier:

10 Série de Fourier Ex. 1

11 Série de Fourier vs.Transformada de Fourier
Ex. 1 (cont.)

12 Série de Fourier Ex. 2 Onda quadrada

13 Série de Fourier vs.Transformada de Fourier
Ex. 2 Onda quadrada (cont.)

14 Série de Fourier Ex. 3

15 Série de Fourier Ex. 4 série geométrica

16 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P1. Linearidade Ex.

17 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P2. Translação no Tempo Ex.

18 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P3. Translação na Frequência Ex.

19 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P4. Mudança de Escala Ex.

20 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P5. Convolução Convolução circular: Ex. periódico com período Propriedade da convolução Propriedades da linearidade e da translação no tempo

21 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P6. Diferenciação no Tempo Ex.

22 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P7. Diferenciação na Frequência P8. Integração no Tempo Ex.

23 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P9. Simetria Se é uma função real, então TF: SF: Espectro de frequência de

24 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P9. Modulação Ex.

25 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P10. Dualidade Se então Propriedades: Translação no Tempo vs. Translação na Frequência Convolução vs. Modulação Diferenciação no Tempo vs. Diferenciação na Frequência Pares sinal no tempo/transformada:

26 Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P10. Dualidade

27 Exemplos Ex. 1: Transformada de Fourier
Tabela: Ex. 1: Transformada de Fourier Linearidade + Translação no Tempo

28 Exemplos Ex. 2: Transformada de Fourier
Tabela: Ex. 2: Transformada de Fourier Linearidade + Translação na Frequência

29 Translação na Frequência
Exemplos periódico: Ex. 3: Série de Fourier sin(p t) f(t) Linearidade + Translação na Frequência Translação no Tempo

30 Exemplos periódico: Ex. 3: Série de Fourier (cont.) sin(p t) f(t)

31 Resposta Impulsional Resposta em Frequência
A resposta em frequência de um SLIT estável corresponde à particularização da função de transferência sobre o eixo imaginário do plano complexo. Ex 1. Filtro passa-baixo ideal Espectro do sinal de entrada Espectro do sinal de saída

32 Resposta no Tempo Exemplo Tabela

33 Resposta Impulsional Resposta em Frequência
SLITs em série – propriedade da convolução

34 Resposta Impulsional Resposta em Frequência
SLITs em paralelo– propriedade da linearidade

35 Resposta em Frequência
Realimentação Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples; Obter a resposta em frequência do do sistema é imediato.

36 Resposta em Frequência
Exemplo

37 Equação Diferencial Resposta em Frequência
SLIT Linearidade Diferenciação no tempo

38 Equação Diferencial Exemplo

39 Modulação de Amplitude
Sistema linear mas variante no tempo

40 Multiplexagem na Frequência

41 Multiplexagem na Frequência