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Capítulo 15 CINEMÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS Na translação de corpo rígido, todos os pontos do corpo tem a mesma velocidade e a mesma aceleração em um dado.

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1 Capítulo 15 CINEMÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS Na translação de corpo rígido, todos os pontos do corpo tem a mesma velocidade e a mesma aceleração em um dado instante. Considerando a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, a posição do corpo é definida pelo ângulo que a linha BP, traçada do eixo de rotação a um ponto P do corpo, forma com um x y A r P O A B z v = = r sin plano fixo. A intensidade da velocidade de P é ds dt. onde é a derivada temporal de..

2 v = = r sin ds dt. A velocidade de P é expressa como v = = x r dr dt onde o vetor = k = k. é orientado ao longo do eixo fixo de rotação e representa a velocidade angular do corpo. x y A r P O A B z

3 v = = x r dr dt O vetor representa a aceleração angular do corpo e é orientado ao longo do eixo de rotação fixo. Representando por a derivada d /dt da velocidade angular, expressamos a aceleração de P como a = x r + x ( x r) = k = k. Diferenciando e lembrando que k é constante em intensidade e direção, encontramos = k = k = k... x y A r P O A B z

4 x y O = k v = k x r r Considerando o movimento de uma placa localizada em um plano perpendicular ao eixo de rotação do corpo. Como velocidade angular é perpendicular à placa, então a velocidade do ponto P da placa é x y = k v = k x r onde v esta contido no plano da placa. A aceleração do ponto P pode ser decomposta nas componentes normal e tangencial, iguais a, respectivamente a t = k x r a t = r a n = - 2 r a n = r 2 = k a t = k x r O a n = - 2 r P P

5 A velocidade angular e a aceleração angular da placa podem ser expressas como = d dt = = d dt d 2 dt 2 = d ou Dois casos particulares de rotação são frequentemente encontrados: rotação uniforme e rotação uniformemente acelerada. Problemas envolvendo um desses movimentos podem ser resolvidos usando equações similares àquelas para movimento retilíneo uniforme e uniformemente acelerado de uma partícula, onde x, v, e a são trocados por,, e.

6 A B vAvA vBvB Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A A B vAvA vAvA O movimento plano mais geral de uma placa rígida pode ser considerado como a soma de uma translação e de uma rotação. Pode-se considerar que a placa mostrada translada com o ponto A, enquanto gira simultaneamente em torno de A. Disso resulta que a velocidade de qualquer ponto B da placa pode ser expresso como v B = v A + v B/A onde v A é a velocidade de A e v B/A é velocidade relativa de B com relação a A. B y x v B/A rB/ArB/A A (fixed) k

7 B y x v B/A rB/ArB/A A (fixed) k A B vAvA vBvB A B vAvA vAvA vAvA vBvB v B/A v B = v A + v B/A Representando por r B/A a posição de B relativa a A, notamos que v B/A = k x r B/A v B/A = (r B/A ) = r A equação fundamental que relaciona as velocidades absolutas dos pontos A e B e a velocidade relativa de B em relação a A pode ser expressa sob a forma de um diagrama vetorial e usada para resolver problemas envolvendo o movimento de vários tipos de mecanismos. Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A

8 C A B vAvA vBvB vAvA vBvB C Outra abordagem para solução de problemas envolvendo as velocidades dos pontos de uma placa rígida em movimento plano é baseada na determinação do centro instantâneo de rotação C da placa.

9 a B = a A + a B/A O fato de que qualquer movimento plano de uma placa rígida pode ser considerado como a soma de uma translação da placa com um ponto de referência A e de uma rotação em torno de A, é usada para relacionar as acelerações absolutas de dois ponto quaisquer A e B da placa e a aceleração relativa de B com relação a A. A B aAaA aBaB A B aAaA aAaA A B y x (a B/A ) n k k (a B/A ) t a B/A onde a B/A consiste de um componente normal ( a B/A ) n de intensidade r 2,orientado para A, e um componente tangencial ( a B/A ) t de intensidade r perpendicular à linha AB. Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A

10 a B = a A + a B/A A equação fundamental relacionando as acelerações absolutas dos pontos A e B e a aceleração relativa de B com relação a A pode ser expressa na forma de um diagrama vetorial, e usada para determinar as acelerações de determinados pontos de vários mecanismos. A B aAaA aBaB A B aAaA aAaA A B y x (a B/A ) n k k (a B/A ) t a B/A (a B/A ) n (a B/A ) t aAaA aBaB a B/A Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A

11 O centro instantâneo de rotação C não pode ser usado para a determinação de acelerações, pois o ponto C, em geral, não tem aceleração nula. a B = a A + a B/A A B aAaA aBaB A B aAaA aAaA A B y x (a B/A ) n k k (a B/A ) t a B/A (a B/A ) n (a B/A ) t aAaA aBaB a B/A Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A

12 X Y Z x y z O i j k Q A A taxa de variação de um vetor é a mesma em relação a um sistema de referência fixo e em relação a um sistema de referência em translação. A taxa de variação de um vetor em relação a um sistema de referência rotativo é diferente. A taxa de variação de um vetor Q em relação a um referencial fixo OXYZ e em relação a um referencial Oxyz girando com velocidade angular é (Q) OXYZ = (Q) Oxyz + x Q.. A primeira parte representa a taxa de variação de Q em relação ao sistema rotativo Oxyz e a segunda parte, x Q, é induzida pela rotação do sistema de referência Oxyz.

13 X Y x y O r v P = x r P P v P/ F = (r) Oxy. Considerando a análise bidimensional de uma partícula P movendo-se em relação a um sistema de referência F girando com velocidade angular em torno de um eixo fixo. A velocidade absoluta de P pode ser expressa como v P = v P + v P/ F onde v P = velocidade absoluta da partícula P v P = velocidade do ponto P do sistema de referência móvel F coincidente com P v P/ F = velocidade de P relativa ao sistema de referência móvel F A mesma expressão para v P é obtida se o sistema de referência esta em translação em vez de rotação.

14 Quando o sistema de referência esta em rotação, a expressão para a aceleração de P contem um termo adicional a c chamado aceleração complementar ou aceleração de Coriolis. a P = a P + a P/ F + a c onde a P = aceleração absoluta da partícula P a P = aceleração do ponto P do sistema de referência móvel F coincidente com P a P/ F = aceleração de P relativa ao sistema de referência móvel F a c = 2 x (r) Oxy = 2 x v P/ F = aceleração complementar, ou de Coriolis. X Y x y O r v P = x r P P v P/ F = (r) Oxy.

15 a P = a P + a P/ F + a c a c = 2 x (r) Oxy = 2 x v P/ F. Uma vez que e v P/ F são perpendiculares entre si no caso de movimento plano, a aceleração de Coriolis tem intensidade a c = 2 v P/ F. Sua direção é obtida girando-se o vetor v P/ F de 90 o no sentido da rotação do sistema de referência móvel. A aceleração de Coriolis pode ser usada para analisar o movimento de mecanismos que contêm partes que deslizam umas sobre as outras. X Y x y O r v P = x r P P v P/ F = (r) Oxy. a P = aceleração absoluta da partícula P a P = aceleração do ponto P do sistema de referência móvel F coincidente com P a P/ F = aceleração de P relativa ao sistema de referência móvel F.

16 P r O Em três dimensões, o deslocamento mais geral de um corpo rígido com um ponto fixo em O é equivalente a uma rotação do corpo em torno de um eixo passando por O. A velocidade angular e eixo instantâneo de rotação do corpo em um dado instante pode ser definida. v = = x r dr dt Diferenciando essa expressão, temos a aceleração A velocidade de um ponto P do corpo pôde novamente ser expressa como a = x r + x ( x r) Como a direção muda de um instante para outro, a aceleração angular não é, em geral, dirigida ao longo do eixo instantâneo de rotação.

17 B r B/A O A X Y Z X Y Z r A O movimento mais geral de um corpo rígido no espaço é equivalente, em um instante qualquer, à soma de uma rotação e uma translação. Considerando duas partículas A e B de um corpo v B = v A + v B/A onde v B/A é a velocidade de B relativa ao sistema de referência AXYZ ligado a A e de orientação fixa. Representando por r B/A v B = v A + x r B/A onde é a velocidade angular do corpo no instante considerado. A aceleração de B é, por raciocínio semelhante o vetor de posição de B em relação a A, escrevemos a B = a A + a B/A a B = a A + x r B/A + x ( x r B/A ) or

18 Considerando o movimento tri- dimensional de uma partícula P em relação a um sistema de referência Oxyz girando com velocidade angular relativamente a um sistema de referência fixo OXYZ. A velocidade absoluta v P de P pode ser expressa por v P = v P + v P/ F X Y Z x y z O i j k P A r onde v P = velocidade absoluta da partícula P v P = velocidade do ponto P do sistema de referência móvel F coincidente com P v P/ F = velocidade de P relativa ao sistema de referência móvel F

19 a P = a P + a P/ F + a c A aceleração absoluta a P de P é expressa por A intensidade a c da aceleração de Coriolis não é igual a 2 v P/ F exceto no caso especial quando e v P/ F são perpendiculares entre si. X Y Z x y z O i j k P A r onde a P = aceleração absoluta da partícula P a P = aceleração do ponto P do sistema de referência móvel F coincidente com P a P/ F = aceleração de P relativa ao sistema de referência móvel F a c = 2 x (r) Oxy = 2 x v P/ F = aceleração de Coriolis.

20 X Y Z x y z O P A X Y Z rArA rPrP r P/A a P = a P + a P/ F + a c v P = v P + v P/ F As equações e permanecem válidas quando o sistema de referência Axyz move-se de maneira conhecida, porem arbitrária, em relação ao sistema de referência fixo OXYZ, desde que o movimento de A seja incluído nos termos de v P e a P representando a velocidade e aceleração absolutas do ponto coincidente P. Sistemas de referência rotativos são particularmente úteis no estudo do movimento tridimensional de corpos rígidos.

21 O cabo C tem uma aceleração constante de 22,5 m/s 2 e uma velocidade inicial de 30 m/s, ambas orientadas para direita. Determine (a) o número de revoluções da polia em 2 s, (b) a velocidade e a mudança de posição da carga B após 2 s, e (c) a aceleração do ponto D sobre o aro interno da polia em t = 0. SOLUÇÃO: Devido a ação do cabo, a velocidade tangencial e a aceleração de D são iguais a velocidade e a aceleração de C. Calcule a velocidade e a aceleração angular iniciais. Aplicar as relações para o movimento de rotação uniformemente acelerada para determinar a velocidade e a posição angular da polia após 2 s. Determinar as componentes de aceleração tangencial e normal iniciais de D. Exercício Resolvido 15.1

22 SOLUÇÃO: A velocidade tangencial e a aceleração de D são iguais a velocidade e a aceleração de C. Aplicar as relações para o movimento de rotação uniformemente acelerada para determinar a velocidade e a posição angular da polia após 2 s.

23 Intensidade e direção da aceleração total, Determinar as componentes de aceleração tangencial e normal iniciais de D.

24 A engrenagem dupla rola sobre a cremalheira inferior, estacionária; a velocidade de seu centro A é 1,2 m/s. Determine (a) a velocidade angular da engrenagem, e (b) as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem. SOLUÇÃO: O deslocamento do centro A da engrenagem em uma revolução é igual ao perímetro da circunferência externa. Relacionar a translação e o deslocamento angular. Diferenciar para relacionar as velocidades linear e angular. A velocidade em qualquer ponto P na engrenagem pode ser escrita como Calcular as velocidades dos pontos B e D. Exercício Resolvido 15.2

25 x y SOLUÇÃO: O deslocamento do centro A da engrenagem em uma revolução é igual ao perímetro da circunferência externa. Para x A > 0 (desloca-se para direita) e < 0 (gira em sentido horário) Diferenciar para relacionar as velocidades linear e angular.

26 A velocidade da cremalheira superior é igual a velocidade do ponto B: Velocidade do ponto D: A velocidade em qualquer ponto P na engrenagem

27 A manivela AB tem velocidade angular horária constante de 2000 rpm. Para a posição mostrada, determine (a) a velocidade angular da barra de conexão BD, e (b) a velocidade do pistão P. A velocidade é obtida a partir da rotação da manivela. As direções da velocidade absoluta e da velocidade relativa são determinadas pela geometria do problema. As intensidades das velocidades podem ser determinadas a partir de um diagrama vetorial. A velocidade angular da barra de conexão é calculada a partir de SOLUÇÃO: Determinar a velocidade absoluta do ponto D com Exercício Resolvido 15.3

28 SOLUÇÃO: Determinar a velocidade absoluta do ponto D com A velocidade é obtida a partir da rotação da manivela. As direção da velocidade absoluta é horizontal, e a velocidade relativa é perpendicular a BD. Calcule a ângulo entre a horizontal e a barra de conexão pela lei dos senos.

29 As intensidades das velocidades podem ser determinadas a partir de um diagrama vetorial.

30 SOLUÇÃO: O ponto C esta em contato com a cremalheira inferior estacionaria e, instantaneamente, tem velocidade nula. Essa deve ser a localização do centro instantâneo de rotação. Determine a velocidade angular em torno de C baseada na velocidade dada em A. Calcular as velocidades em B e D baseadas em suas rotações em torno de C. Exercício Resolvido 15.4 A engrenagem dupla rola sobre a cremalheira inferior, estacionária; a velocidade de seu centro A é 1,2 m/s. Determine (a) a velocidade angular da engrenagem, e (b) as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem.

31 SOLUÇÃO: O ponto C esta em contato com a cremalheira inferior estacionaria e, instantaneamente, tem velocidade nula. Essa deve ser a localização do centro instantâneo de rotação. Determine a velocidade angular em torno de C baseada na velocidade dada em A. Calcular as velocidades em B e D baseadas em suas rotações em torno de C.

32 SOLUÇÃO: Determine a velocidade em B a partir da rotação da manivela. As direções dos vetores de velocidade em B e D são conhecidas. O centro instantâneo de rotação esta na interseção das linhas perpendiculares aos vetores de velocidades B e D. Determine a velocidade angular em torno do centro de rotação baseado na velocidade em B. Calcular a velocidade em D baseada na rotação em torno do centro instantâneo de rotação. Exercício Resolvido 15.5 A manivela AB tem velocidade angular horária constante de 2000 rpm. Para a posição mostrada, determine (a) a velocidade angular da barra de conexão BD, e (b) a velocidade do pistão P.

33 SOLUÇÃO: Do problema resolvido 15.3, O centro instantâneo de rotação esta na interseção das linhas perpendiculares aos vetores de velocidades B e D. Determine a velocidade angular em torno do centro de rotação baseado na velocidade em B. Calcular a velocidade em D baseada na rotação em torno do centro instantâneo de rotação.

34 O centro da engrenagem dupla tem velocidade e aceleração para a direita de 1,2 m/s e 3 m/s 2, respectivamente. A cremalheira inferior é estacionária. Determine (a) a aceleração angular da engrenagem, e (b) a aceleração dos pontos B, C, e D. SOLUÇÃO: A expressão da posição da engrenagem como uma função de é diferenciada duas vezes para definir a relação entre as acelerações de translação e angular. A aceleração de cada ponto na engrenagem é obtida pela soma da aceleração do centro da engrenagem e as acelerações relativas com relação ao centro. A ultima inclui as componentes normal e tangencial das acelerações. Exercício Resolvido 15.6

35 SOLUÇÃO: A expressão da posição da engrenagem como uma função de é diferenciada duas vezes para definir a relação entre as acelerações de translação e angular.

36 A aceleração de cada ponto na engrenagem é obtida pela soma da aceleração do centro da engrenagem e as acelerações relativas com relação ao centro. A ultima inclui as componentes normal e tangencial das acelerações.

37

38 SOLUÇÃO: A aceleração angular da barra BD e a aceleração do ponto D serão determinadas a partir de A aceleração de B é determinada a partir da velocidade de rotação de AB. As direções das acelerações são determinadas a partir de geometria. As equações para aceleração do ponto D são resolvidas simultaneamente para aceleração de D e aceleração angular da barra de conexão. Exercício Resolvido 15.7 A manivela AB tem velocidade angular horária constante de 2000 rpm. Para a posição mostrada, determine a aceleração angular da barra de conexão BD, e a aceleração do ponto D.

39 SOLUÇÃO: A aceleração angular da barra BD e a aceleração do ponto D serão determinadas a partir de A aceleração de B é determinada a partir da velocidade de rotação de AB.

40 Do problema resolvido 15.3, BD = 62,0 rad/s, = 13,95 o. A direção de (a D/B ) t é conhecida mas o sentido não, As direções das acelerações são determinadas a partir de geometria.

41 componente x: componente y: As equações para aceleração do ponto D são resolvidas simultaneamente para aceleração de D e aceleração angular da barra de conexão.

42 Na posição mostrada, a manivela AB tem velocidade angular constante 1 = 20 rad/s no sentido anti-horário. Determine as velocidades e acelerações angulares da barra de conexão BD e da manivela DE. SOLUÇÃO: As velocidades angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação As acelerações angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação Exercício Resolvido 15.8

43 componente x: componente y: SOLUÇÃO: As velocidades angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação

44 componente x: componente y: As acelerações angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação

45 Disco D do mecanismo Geneva gira com velocidade angular constante de D = 10 rad/s no sentido anti-horário. No instante em que = 150 o, determine (a) a velocidade angular do disco S, e (b) a velocidade do pino P relativa ao disco S. SOLUÇÃO: A velocidade absoluta do ponto P pode ser escrita como A intensidade e direção da velocidade do pino P são calculadas a partir do raio e da velocidade angular do disco D. A direção da velocidade do ponto P em S coincidente com P é perpendicular ao raio OP. A direção da velocidade de P com relação a S é paralela à ranhura. Resolver o diagrama vetorial para a velocidade de S e a velocidade relativa de P. Exercício Resolvido 15.9

46 Da lei dos senos, O ângulo interior do diagrama vetorial é SOLUÇÃO: A velocidade absoluta do ponto P pode ser escrita como A intensidade e direção da velocidade do pino P são calculadas a partir do raio e da velocidade angular do disco D. A direção da velocidade de P com relação a S é paralela à ranhura. Da lei dos co-senos,

47 A direção da velocidade do ponto P em S coincidente com P é perpendicular ao raio OP.

48 A velocidade angular instantânea do Disco S é determinada como no exercício resolvido A única incógnita envolvida na equação da aceleração é a aceleração angular instantânea do Disco S. Resolver cada termo da aceleração na componente paralela a ranhura. Calcular a aceleração angular do Disco S. Exercício Resolvido Disco D do mecanismo Geneva gira com velocidade angular constante de D = 10 rad/s no sentido anti-horário. No instante em que = 150 o, determine a aceleração angular do disco S. SOLUÇÃO: A aceleração absoluta do ponto P pode ser escrita como

49 Do problema resolvido Considerando cada termo na equação da aceleração, nota: S pode ser positivo ou negativo SOLUÇÃO: A aceleração absoluta do ponto P pode ser escrita como

50 A aceleração relativa deve ser paralela à ranhura. A direção da aceleração de Coriolis é obtida pela rotação da velocidade relativa de 90 o no sentido de S. Equacionando os componentes da aceleração em termos perpendiculares à ranhura,

51 O guindaste gira com velocidade angular constante de 1 = 0,30 rad/s e a lança esta sendo erguida com velocidade angular constante de 2 = 0,50 rad/s. O comprimento da lança é l = 12 m. Determine: A velocidade angular da lança, A aceleração angular da lança, A velocidade da ponta da lança, e A aceleração da ponta da lança. A aceleração angular da lança, A velocidade na ponta da lança, A aceleração na ponta da lança, SOLUÇÃO: Com A velocidade angular da lança, Exercício Resolvido 15.11

52 SOLUÇÃO: A velocidade angular da lança, A aceleração angular da lança, A velocidade na ponta da lança,

53 A aceleração na ponta da lança,


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