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Disciplina: Otimização Econômica

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Apresentação em tema: "Disciplina: Otimização Econômica"— Transcrição da apresentação:

1 Disciplina: Otimização Econômica cezarsantos1975@hotmail.com
PROGRAMAÇÃO LINEAR Disciplina: Otimização Econômica

2 PLANO DE AULA TEMA: Programação Linear;
ASSUNTOS: Conceituação; Aplicações; Exemplo de aplicação; vantagens em se utilizar PL; Modelagem Matemática de um problema de PL; Terminologia em PL; exemplo do modelo gráfico; Exercícios de Fixação;

3 PL é uma técnica de otimização
PROGRAMAÇÃO LINEAR PL: Técnica de planejamento que se originou na década de 1940; Tópico da ciência Pesquisa Operacional; Conceito: Ferramenta utilizada para encontrar o lucro máximo ou o custo mínimo em situações em que temos diversas opções de escolhas sujeitas a algum tipo de restrição ou regulamentação PL é uma técnica de otimização

4 APLICAÇÕES DA PL Alimentação: que alimentos as pessoas (animais) devem utilizar de modo que o custo seja mínimo e que obtenham nutrientes nas quantidades adequadas? Rotas de transporte: qual o roteiro de veículos de carga que utiliza o menor tempo e menor custo total? Manufatura: qual deve ser a composição de produtos a serem fabricados para obter o lucro máximo, respeitando as limitações produtivas da firma e/ou exigências do comprador;

5 EXEMPLO de APLICAÇÃO DA PL
Fábrica de rádios com duas linhas de produção: Informações para rádios ST Standard (ST) Luxo (LX) Cada rádio fornece um lucro de R$ 30,00 Linha de produção comporta no máximo 24 funcionários Cada rádio consome 1 homem/dia para ser produzido

6 EXEMPLO de APLICAÇÃO DA PL
Fábrica de rádios com duas linhas de produção: Informações para rádios LX Standard (ST) Luxo (LX) Cada rádio fornece um lucro de R$ 40,00 Linha de produção comporta no máximo 32 funcionários Cada rádio consome 2 homem/dia para ser produzido

7 EXEMPLO de APLICAÇÃO DA PL
Outras informações importantes: A fábrica possui um total de 40 funcionários que podem ser alocados nas 2 linhas de produção OBJETIVO do dono da fábrica: MAXIMIZAR o lucro diário As 2 linhas podem receber um máximo de 56 pessoas mas a fábrica só possui 40 A produção do rádio ST exige menor quantidade de pessoal do que a LX A lucratividade do modelo LX é maior do que a do ST

8 VANTAGENS DO USO DA PL Qual é a magnitude do benefício de encontrar o lucro máximo ou o custo mínimo dentro das empresas? Pesquisas mostram que empresas que utilizam esta ferramenta reduzem seus custos entre 1 & 5% - alguns casos em até 15%; 2 indústrias que utilizam intensamente PL: siderurgia e petróleo; Faturamento: US$ 1 bilhão por ano; Custo de produção: US$ 300 milhões por ano; Economia de custos via PL: 3% US$ 9 milhões por ano;

9 VANTAGENS DO USO DA PL Identificar as melhores opções em estudos de qualidade total; Identificar gargalos em linhas de produção; Fornecer diretrizes para expansão da firma; Torna possível avaliar o potencial de aplicabilidade de uma pesquisa para aprofundar o entendimento de um problema;

10 MODELAGEM EM PL

11 MODELAGEM MATEMATICA EM PL
Um problema de PL está em sua forma padrão se: Tivermos uma maximização da função-objetivo; Se todas as restrições forem do tipo menor ou igual; Se todos os termos constantes (bi) e as variáveis de decisão assumirem valores não negativos; Matematicamente podemos representar um problema na forma padrão por:

12 MODELAGEM MATEMATICA EM PL

13 Quando todas as restrições são satisfeitas
TERMINOLOGIA EM PL SOLUÇÃO: qualquer especificação de valores dentro do domínio da função-objetivo para as variáveis de decisão SOLUÇÃO VIÁVEL: Quando todas as restrições são satisfeitas SOLUÇÃO ÓTIMA: Uma solução viável que tem o valor mais favorável da função-objetivo, f(X), para as variáveis de decisão. Maximiza ou minimiza a f(X)

14 MODELO MATEMÁTICO PARA NOSSO EXEMPLO
Otimizar: Lucro = 30 * ST + 40 * LX [f (X)] Sujeito às seguintes restrições: ST ≤ 24 LX ≤ 16 ST + 2 * LX ≤ 40 Sendo ST & LX variáveis inteiras e positivas. ST = quantidade ótima produzida deste modelo LX = quantidade ótima produzida deste modelo

15 MÉTODO GRÁFICO Observe que na última restrição escrevemos uma inequação (≤) o que significa que podemos utilizar até 40 funcionários; Aparentemente a solução ótima será aquela que utilizará exatamente 40 operários, o que nos leva a concluir que seria mais adequado escrever uma igualdade; Escrevemos uma desigualdade para ter um modelo com uma maior amplitude de análise – diferentes cenários;

16 MÉTODO GRÁFICO – Plotando as restrições
As duas variáveis básicas (ST & LX) são representadas em um gráfico bidimensional, assim como as restrições e a função objetivo; Consideramos inicialmente a restrição ST + 2 * LX ≤ 40 (lado esquerdo da próxima figura); Já que nossa inequação prevê que podemos utilizar até 40 funcionários, a região abaixo do segmento de reta traçado contém os pares de produção (ST & LX) que atendem à inequação;

17 MÉTODO GRÁFICO – Plotando as restrições

18 MÉTODO GRÁFICO – Plotando as restrições
Utilizando o mesmo raciocínio montamos a figura a seguir para as restrições ST ≤ 24 & LX ≤ 16;

19 MÉTODO GRÁFICO – Regiões de Soluções Possíveis
Colocando todas as restrições em um único gráfico ele toma o formato da figura a seguir:

20 MÉTODO GRÁFICO – Plotando a função-objetivo
A função-objetivo lucro = 30ST+40LX pode ser transformada em: Esta equação representa uma família de retas de parâmetro Lucro/40; Para cada valor de lucro temos uma reta diferente; Todas as retas são paralelas entre si, pois possuem o mesmo coeficiente angular ( - ¾)

21 MÉTODO GRÁFICO – Plotando a função-objetivo

22 MÉTODO GRÁFICO – Encontrando o Lucro Máximo
No ponto da região simplex que fornece o maior valor para o lucro vai passar uma única reta da família de retas do lucro; A questão se resume em encontrar a reta da família que produz o maior lucro, respeitadas as restrições; Precisamos encontrar a reta mais distante da origem e que tenha pelo menos um ponto dentro da região de soluções possíveis;

23 MÉTODO GRÁFICO – Encontrando o Lucro Máximo
EXECUÇÃO: Traçamos uma reta qualquer da família de retas (por exemplo: L = R$ 1200,00); Tiramos uma paralela a ela o mais distante da origem possível e com pelo menos 1 ponto dentro da região de soluções possíveis (ver slide 20); A figura a seguir mostra a solução ótima para o nosso exemplo;

24 MÉTODO GRÁFICO – Encontrando o Lucro Máximo

25 MÉTODO GRÁFICO – Encontrando o Lucro Máximo
Se a solução estiver em um vértice – o problema admite uma solução única; O mais provável; Se a solução coincidir com um dos segmentos de reta de alguma restrição, em que qualquer ponto de segmento é uma solução ótima, nosso problema apresenta infinitas soluções; A inclinação da família de retas paralelas da função objetivo (definida pelo coeficiente angular a = - ¾) é fundamental para encontrar o ponto ótimo;

26 REFERÊNCIAS LACHTERMARCHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. PRADO, D. S. do. Programação linear. Nova Lima (MG). INDG Tecnologia e Serviços Ltda. – 2010.


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