Cálculo 2 Cálculo de volumes.

Apresentação em tema: "Cálculo 2 Cálculo de volumes."— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo 2 Cálculo de volumes

2 Sólidos de Revolução Introdução: Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r. a Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).

3 Volume de Sólidos Volume de um sólido quando é conhecida a área de qualquer secção transversal.

4 Volume de Sólidos Exemplo 1:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide – é Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos: Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)2. Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: 2x             e daí            

5 Volume de Sólidos Exemplo 1: e daí
Logo, o volume da pirâmide é dado por:

6 Volume de Sólidos Exemplo 2:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h. Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos:                                          Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é r2. h Logo, o volume do cilindro é dado por:

7 Sólidos de Revolução Exemplo 3: Considere a região delimitada por , o eixo x e as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio a. Mostre que seu volume é O volume da esfera gerada é:

8 Sólidos de Revolução

9 Volume de Sólidos Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.

10 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
A soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos por Vn, é dada por:

11 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B. Definição Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido B, gerado pela revolução de R em torno do eixo x, é definido por:

12 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo: Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos em certas situações especiais. A x1=a x2=b B

13 Sólidos de Revolução Exemplo 4: Seja a região R do plano limitada pela curva y = -x2 + 1 e o eixo OX. Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX. A intersecção da curva com o eixo OX é dada por: -x2 + 1 = 0.: x2 = 1.: x = ± 1. Para cada x  [-1, 1] a seção transversal ao eixo OX é um círculo gerado pela rotação do segmento vertical de comprimento y. Logo, possui área A = y2 e o volume do sólido é igual a: y Portanto:

14 Sólidos de Revolução Exercício 5: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2]. De acordo com a definição:

15 Sólidos de Revolução Exercício 6:
A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de         , para é girada ao redor do eixo y: 2 2 O volume do sólido é dado por:                                          

16 Sólidos de Revolução Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b: Supondo f(x)  g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:

17 Volume de Sólidos

18 Sólidos de Revolução

19 Sólidos de Revolução Exercício 12: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0, x =0 e x=1 em torno do eixo x.

20 Sólidos de Revolução Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos: a b y = f(x) A L

21 Sólidos de Revolução Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos: c d y = f(x) A M

22 Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos.
Volume de Sólidos Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos.

23 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas. O volume de cada uma das cascas é dado por: ou ainda, colocando                   e                 ,                          

24 Sólidos de Revolução Cálculo do volume
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a  x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b. Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular. onde     indica o raio de cada invólucro e        indica sua altura.

25 Sólidos de Revolução Exercício 13: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0  x  2, ao redor do eixo y. Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos:                    

26 Sólidos de Revolução Exemplo 14: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0  x  1, ao redor do eixo y. As duas funções se encontram nos pontos (0,0) e (1,1). O volume do sólido pode ser calculado pelo método das cascas e, portanto, é igual a:

27 Sólidos de Revolução Exemplo 15: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0  x  y e x2 + y2  2.

28 Sólidos de Revolução Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência, sendo x  0: Logo, x = 1: Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:

29 Sólidos de Revolução E AGORA!!!! VAMOS EMBORA VAMBORA SIMBORA RUMBORA