VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS EM DINÂMICA DOS FLUIDOS PARA MALHAS NÃO-ESTRUTURADAS CURITIBA, JUNHO DE 2006. Eng. Prof. FÁBIO ALENCAR SCHNEIDER, M.Sc.

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1 VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS EM DINÂMICA DOS FLUIDOS PARA MALHAS NÃO-ESTRUTURADAS CURITIBA, JUNHO DE 2006. Eng. Prof. FÁBIO ALENCAR SCHNEIDER, M.Sc. Eng. Prof. CARLOS HENRIQUE MARCHI, Dr.Eng.

2 Erro Numérico FUNDAMENTAÇÃO TIPOS DE ERROS Solução Numérica Resultado Experimental Erro Experimental Valor Verdadeiro Fenômeno Real Erro de Modelagem Solução Analítica FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

3 FUNDAMENTAÇÃO TIPOS DE ERROS NUMÉRICOS Solução Numérica Resultado Experimental Erro Experimental Valor Verdadeiro Erro de Modelagem Solução Analítica Erro da Aproximação Erro de Iteração Erro de Arredondam. Erro de Programação FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

4 Discretização FUNDAMENTAÇÃO FONTES DE ERRO NUMÉRICO Erros de aproximação  FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

5 FUNDAMENTAÇÃO FONTES DE ERRO NUMÉRICO Erros de iteração  Erros de aproximação  FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

6 FUNDAMENTAÇÃO FONTES DE ERRO NUMÉRICO Erros de arredondamento  Erros de iteração  Erros de aproximação  1,4500387564 FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

7 FUNDAMENTAÇÃO FONTES DE ERRO NUMÉRICO Erros de programação  Erros de arredondamento  Erros de iteração  Erros de aproximação  T(K) = T(°C) 273 – FUNDAMENTAÇÃO ERRO NUMÉRICO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS

8 Erro de Discretização FUNDAMENTAÇÃO Solução Numérica Solução Analítica Erro de Iteração Erro de Arredondam. Erro de Programação Erro de Aproximação FONTES DE ERRO NUMÉRICO FUNDAMENTAÇÃO ERRO NUMÉRICO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS

9 FUNDAMENTAÇÃO MALHAS IRREGULARES (não-uniformes)  - São base para não-estruturadas - Refino local - Versatilidade DISCRETIZAÇÃO EM GEOMETRIAS COMPLEXAS FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

10 ESCOPO malhas regulares Erro de Truncamento Solução Numérica Resultado Experimental Erro Experimental Valor Verdadeiro Erro de Modelagem Solução Analítica Erro de Iteração Erro de Arredondam. Erro de Programação ESCOPO Erro de Discretização malhas irregulares (não-uniformes) malhas irregulares (não-uniformes) FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

11 ESTIMATIVAS A PRIORI EQUAÇÃO GERAL DO ERRO DE DISCRETIZAÇÃO: ORDEM ASSINTÓTICA ORDENS VERDADEIRAS FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

12 ESTIMATIVAS À PRIORI EQUAÇÃO GERAL DO ERRO DE DISCRETIZAÇÃO: P/ h0: TAXA DE REDUÇÃO DO ERRO (2 MALHAS): FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

13 ESTIMATIVAS À POSTERIORI ORDEM APARENTE, EFETIVA E ASSINTÓTICA EQUAÇÃO GERAL DO ERRO DE DISCRETIZAÇÃO: APARENTEEFETIVA NUMÉRICA:ANALÍTICA + NUMÉRICA: FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

14 MODELOS MATEMÁTICOS MODELOS MATEMÁTICOS 1D – MDF/MVF FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO ADVECÇÃO COM FONTE DIFUSÃO COM FONTE ADVECÇÃO DIFUSÃO ESCOAMENTO NÃO LINEAR         ADVECÇÃO COM FONTE DIFUSÃO COM FONTE ADVECÇÃO DIFUSÃO ESCOAMENTO NÃO LINEAR

15 MODELOS MATEMÁTICOS MODELOS MATEMÁTICOS 2D – MDF/MVF FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO DIFUSÃO ADVECÇÃO DIFUSÃO    DIFUSÃO

16 PROGRAMAÇÃO ORDEM EFETIVA E APARENTE E PROGRAMAS EM LABVIEW FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

17 PROGRAMAÇÃO FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

18 PROGRAMAÇÃO FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

19 PROGRAMAÇÃO FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

20 PROGRAMAÇÃO FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

21 PROGRAMAÇÃO FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO

22 CONSIDERAÇÕES FINAIS FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO MODELOS MATEMÁTICOS 1D Para a definição usual de razão derefino empregada com malhas irregulares: (i)ela é incorreta até mesmo para a malha irregular mais simples, que é a unidimensional não-uniforme; (ii) ela é correta quando uma malha não-uniforme é refinada de modo uniforme. (iii) não é possível se estimar erros de discretização confiáveis quando a malha base sofrer um refino aleatório.

23 CONSIDERAÇÕES FINAIS FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO MODELOS MATEMÁTICOS 1D Para aproximações no MVF: (i)a série de Taylor prevê corretamente (à priori) a ordem do erro de discretização e sua degeneração no caso do uso de malhas não-uniformes;

24 CONSIDERAÇÕES FINAIS FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO MODELOS MATEMÁTICOS 1D Para aproximações no MVF: (ii) não é possível se estimar erros de discretização confiáveis quando a malha base sofrer um refino aleatório; (iii) para a estimativa correta do erro, o domínio observado deve ter dimensão fixa.

25 CONSIDERAÇÕES FINAIS FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO MODELOS MATEMÁTICOS 2D Para aproximações usando o MDF/MVF: (i)as conclusões observadas nos estudos unidimensionais se aplicam nos problemas bidimensionais abordados; (ii) estimativas de erro que envolvem pós-processamento podem não ser confiáveis dependendo da natureza da variável de interesse.

26 FIM FUNDAMENTAÇÃO MODELOS MATEMÁTICOS PROGRAMAÇÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS ERRO NUMÉRICO