Adriano A. Ribeiro. TAUTOLOGIA Uma tautologia é toda proposição cujo valor lógico é sempre verdade (V). Uma fórmula H é uma tautologia se o valor verdade.

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1 Adriano A. Ribeiro

2 TAUTOLOGIA Uma tautologia é toda proposição cujo valor lógico é sempre verdade (V). Uma fórmula H é uma tautologia se o valor verdade de H sempre for verdadeiro, quaisquer que sejam os valores verdade de seus símbolos constituintes.

3 TAUTOLOGIA É imediato que as fórmulas: P  P e P  P São tautologias

4 TAUTOLOGIA As tautologias são também denominadas Proposições: Tautológicas ou Logicamente verdadeiras.

5 TAUTOLOGIA Exemplo 1: ‘A fórmula ~ (P ^ ~P) é uma tautologia. (Princípio da não contradição) Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro. P~P(P^~P)~(P^~P) VFFV FVFV

6 TAUTOLOGIA Exemplo 2: ‘A fórmula P v ~P é uma tautologia. (Princípio do terceiro excluído) Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro. P~PP v ~P VFV FVV

7 TAUTOLOGIA Exemplo 3: A fórmula P ^ Q  (P  Q) é uma tautologia. PQP ^Q(P  Q)P^Q  (P  Q ) VVVVV VFFFV FVFFV FFFVV

8 Exercicio Verifique se a fórmula P ^ R  ~Q v R é uma tautologia.

9 CONTRADIÇÃO Uma contradição é toda proposição composta cujo valor lógico é sempre falso (F), quaisquer que sejam os valores lógicos de seus símbolos constituintes. Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja, uma contradição, e vice-versa.

10 CONTRADIÇÃO Exemplo 1: ‘A fórmula (P ^ ~P) é uma contradição. Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso. P~P(P^~P) VFF FVF

11 CONTINGÊNCIA Toda proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade contenha as letras V e F cada uma pelo menos uma vez. Ou seja, contingência é toda proposição composta que não é contradição nem tautologia.

12 CONTINGÊNCIA Exemplo: ‘A fórmula (P  ~P) é uma contingência. P~P(P  ~P) VFF FVV

13 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Proposições Logicamente Equivalentes são constituídas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas- verdade são iguais.

14 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente: p  q, ou por p = q

15 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Equivalências Básicas p ^ p = p André é inocente e inocente = André é inocente p v p = p Ana estudou ou estudou = Ana estudou p ^ q = q ^ p o carro é bonito e caro = o carro é caro e bonito

16 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Equivalências Básicas p v q = q v p a casa é grande ou azul = a casa é azul ou grande p ↔ q = q ↔ p Gosto se e somente se é belo = é belo se e somente se gosto p ↔ q = (p  q) ^ (q  p) Gosto se e somente se é belo = Se gosto então é belo, e se é belo então gosto

17 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Equivalências Básicas RESUMO RESUMO DAS PROPOSIÇÕES p ^p = p p v p = p p ^q = q ^ p p v q = q v p p  q = q  p p  q = (p  q) ^ (q  p)

18 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Condicional Se p, então q = Se não q, então não p. Se estudo então aprendo = Se não aprendo então não estudo Se p, então q = Não p ou q. Se jogo então ganho = Não jogo ou ganho p  q = ~q  ~p p  q = ~p v q

19 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Nenhum e Todo Nenhum A é B = Todo A é não B Nenhum TREZEANO é feliz = Todo TREZEANO é não feliz (= Todo TREZEANO não é feliz) Todo A é B = Nenhum A é não B Todo CAMPINENSE é campeão = Nenhum CAMPINENSE é não campeão (= Nenhum CAMPINENSE não é campeão)

20 PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Outras equivalências úteis p e (p ou q) = p  p ^ (p v q) = p Ana é bela, e Ana é bela ou Sarah é alta = Ana é bela p ou (p e q) = p  p v (p ^ q) = p Ana é bela, ou Ana é bela e Sarah é alta = Ana é bela

21 Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação Abaixo, algumas leis que podem eventualmente nos ser úteis: Leis Associativas (p e q) e s |p e (q e s) (p ou q) ou s |p ou (q ou s) Leis Distributivas p e (q ou s) |(p e q) ou (p e s) p ou (q e s) |(p ou q) e (p ou s) Leis da Dupla Negação ~(~p) = p

22 Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação Leis da Dupla Negação ~(~p) = p Daí, concluiremos ainda que: S não é não P = S é P Todo S não é não P = Todo S é P Algum S não é não P = Algum S é P Nenhum S não é não P = Nenhum S é P

23 Exemplo (Lógica equivalente) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’. b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’. c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.

24 Exemplo (Lógica equivalente) Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade que...”. Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposição condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”. Recordemos que, para negar uma condicional, manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos: 1) Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e 2) Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”. O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”.

25 Exemplo (Lógica equivalente) A resposta encontrada seguindo a regra da negação não se encontra nas possibilidades do exemplo. O que fazer????

26 Exemplo (Lógica equivalente) Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos! Só há duas opções de resposta que começam com “É verdade que...”, que são as letras a e e. Estão, pois, descartadas essas duas opções. Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com “Não é verdade que...”. Ou seja, começam com uma negação! Daí, fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris, a qual havíamos chegado.

27 Exemplo (Lógica equivalente) Ou seja, a proposição Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris será o resultado de uma negação! Ora, aprendemos há pouco que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção (e), e vice-versa. Vejamos: ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q e ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q Estamos com o primeiro caso, em que o resultado é uma conjunção (e): ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q

28 Exemplo (Lógica equivalente) Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao resultado ~p ∧ ~q, que é a segunda parte da igualdade. Estamos à procura da primeira parte, que é ~(p ∨ q). Logo, teremos que: o til (~) corresponde a: “Não é verdade que...” o p corresponde a: “Pedro não está em Roma”; o ∨ corresponde a ou; o q corresponde a: “Paulo está em Paris”. E chegamos a: “Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.

29 Exemplo (Lógica equivalente) Esta é nossa resposta! Letra d. Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta: 1º) Fizemos a negação de uma proposição condicional (se...então). O resultado deste primeiro passo é sempre uma conjunção (e). 2º) Achamos a proposição equivalente à conjunção encontrada no primeiro passo.

30 RESUMO

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32 Exercícios 2) A negação da sentença “Todas as mulheres são elegantes” está na alternativa: a) Nenhuma mulher é elegante. b) Todas as mulheres são deselegantes. c) Algumas mulheres são deselegantes. d) Nenhuma mulher é deselegante.

33 Exercícios 3) João tem um peixe a menos que Inara. Ela tem um a menos que Ana, que tem o dobro de João. Quantos peixes têm cada um? a) João 2 peixes, Inara 6 peixes, Ana 4 peixes. b) João 2 peixes, Inara 3 peixes, Ana 4 peixes. c) João 4 peixes, Inara 3 peixes, Ana 2 peixes. d) João 1 peixes, Inara 3 peixes, Ana 4 peixes.

34 Exercício Proposto Crie no EXCEL as tabelas verdade para as proposições Conjuntivas Disjuntivas Negação Negação conjuntiva Negação disjuntiva Condicional Negação Condicional