Triângulo de Pascal, numa obra do matemático chinês Yang Hui, publicada em 1303 Aceite para publicação em 19 de novembro de 2013.

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2 Triângulo de Pascal, numa obra do matemático chinês Yang Hui, publicada em 1303 Aceite para publicação em 19 de novembro de 2013

3 Blaise Pascal (1623 - 1662) Na sua vida curta mas cheia de acontecimentos, o filósofo e matemático Francês trabalhou em muitos problemas e tópicos diferentes. Inventou uma máquina de calcular e produziu um tratado sobre secções cónicas. O triângulo que leva o seu nome era já conhecido na China por volta do ano 1300 a.C. e, provavelmente também o era na Europa. Mas foi o extenso trabalho de Pascal na teoria das probabilidades que levou a que lhe fosse dado o seu nome. Versão de Pascal do triângulo

4 1 11 121 1331 14 6 41 1510 51 1615201561 172135 2171 18285670562881 193684126843691 11045120210 12045101 126 252.............................. “O padrão é tão simples que uma criança de 10 anos o consegue escrever, no entanto, contém tantas ligações com tantos aspectos aparentemente não relacionados da Matemática, que é seguramente uma das mais elegantes construções Matemáticas.” Martin Gardner

5 1 11 121 1331 14641 1510 51 1615201561 172135 2171 Linha n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 … … … … n

6 1 11 1 2 1 1331 14641 1510 51 1615201561 172135 2171 18285670562881 1.Todas as linhas começam e acabam em 1. Efetivamente, 2. O triângulo é simétrico, uma vez que, em cada linha, valores equidistantes dos extremos são iguais. 3.A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que se situa entre eles, na linha seguinte: 4. A soma dos elementos de qualquer linha n, com é 5. O número de elementos de uma linha n, com, é n+1.

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8 E S CASA DA ANA ESCOLA C B AQuantos Caminhos diferentes tem a Ana para chegar à Escola, se andar sempre apenas apenas para Este (E) ou para Sul (S)? Comecemos por contar o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A ! (clica em A) E para chegar à esquina B ?... (clica em B) E até à esquina C ?... (clica em C) E se fosse para chegar à esquina B' ?... B’ E, finalmente, até à Escola ?... (clica na “Escola”)

9 Contemos, então, o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A! 1 1 2 1 (S, E) (E, S) E S A Número de maneiras diferentes de: Dos 2 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este e o outro para Sul! (clica aqui)

10 Continuemos a contar caminhos! Agora para chegar à esquina B... 1 1 2 1 3 1 (S, S, E) (E, S, S) (S, E, S) B E S Número de maneiras diferentes de: Dos 3 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este (e os 2 restantes para Sul)! ou (clica aqui)

11 E S C E até à esquina C!... 1 1 21 31 (E, E, S, S) 1 3 6 (E, S, E, S) (E, S, S, E) (S, E, E, S) (S, E, S, E) (S, S, E, E) Número de maneiras diferentes de: Dos 4 troços troços a percorrer, escolher 2desvios para Este Este (e os 2 restantes para Sul)! (clica aqui)

12 Sintetizando, sabemos que: Sintetizando, sabemos que: 2 1 C 1 1 1 2 1 1 6 3 3 3 1 C 4 2 C 1 1 C 1 0 C 0 0 C 2 0 C 2 2 C 3 2 C A B C

13 E… retomando o esquema inicial com uma outra inclinação, podemos conjeturar: 1 20 1 2 1 1 1 1 6 33 5 5 4 4 1 15 10 35 70 21 1 1 6 6 1 1 56 28 1 1 7 7 1 1 8 8 1 1 CASA DA ANA ESCOLA 0 0 C 1 0 C 1 1 C 2 0 C 2 1 C 2 2 C 3 0 C 3 1 C 3 2 C 3 3 C 4 0 C 4 1 C 4 2 C 4 3 C 4 4 C 5 0 C 5 1 C 5 2 C 5 3 C 5 4 C 5 5 C 6 0 C 6 1 C 6 2 C 6 3 C 6 4 C 6 5 C 6 6 C 7 0 C 7 1 C 7 2 C 7 3 C 7 4 C 7 5 C 7 6 C 7 7 C 8 0 C 8 1 C 8 2 C 8 3 C 8 4 C 8 5 C 8 6 C 8 7 C 8 8 C A Ana tem caminhos diferentes para chegar à Escola (dos oito troços a percorrer, escolher 4 desvios para Este e os 4 restantes para Sul).

14 N S W E A RG O Rui e a Ana, quando vão de casa para o ginásio, utilizam as ruas só nos sentidos W  E e S  N. R – Casa do Rui A – Casa da Ana G – Ginásio O Rui, numa deslocação de casa para o ginásio, escolhe o percurso totalmente ao acaso. A probabilidade de o Rui passar no cruzamento onde se situa a casa da Ana é: E se a situação fosse esta: A figura representa parte da planta das ruas de uma cidade. ou

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16 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. 1 3 6 15 10 21 28 45 55 36. 1 1 11 14 1051 1 20 15 6 1 1 35 21 71 1 135 1567056288 84 126 843691 210 25221012045101201 1 462 33016555111653301.......... Números Naturais 1 1 1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8=13 8+13=21 Números Triangulares Sucessão de Fibonacci Triângulo de Pascal 1............................. 1

17 70 Somas “rastejantes”! 8 1 1 1 3 21 28 36 1 1 1 21 711 156 288 126843691 252 1 1 1 1 1 3 7 9 1 10 45 35 210 1204510120 5105 33016555165330 10 1 126 462 1155 84 11 Adicionando os elementos de uma diagonal descendente, até uma certa linha, vamos obter o elemento da linha seguinte, por baixo do último elemento adicionado.............. 1 1 2 614 4 1 6 1 1 6 15 20 15

18 6 828 4 20 6 567056288 210 252210 12010 120 2 4 6 10 924792220792 12 661266220 1716 2867828678 1716 3432 2002364 2002 14 462 330 3684 126 8436 10 14 1 1 1 3 15 45 1 1 1 1 1 1 15 1 1 1 1 3 1 1 495 1 1 1287 715 1287 13 1 1 Números ímpares & Números pares 50056435 50053003136545513653003455 115105 115 3003 1001 91 1 1 1 1 11551655511 165 1 1 9 9 2135 21 711357 1 155 Todos diferentes, todos iguais Diferentes procedimentos matemáticos podem conduzir-nos ao mesmo objeto, mesmo que os caminhos tomados sejam consideravelmente diferentes. 1º caminho diferente

19 Considera um triângulo equilátero qualquer e une os pontos médios dos lados. Obténs quatro triângulos mais pequenos. Em cada um dos triângulos exteriores repete o procedimento (isto é, só não fazes mais nada no triângulo que está no meio). Em cada grupo de quatro triângulos que obtiveres, repete o procedimento nos três triângulos exteriores. Todos diferentes, todos iguais 2º caminho diferente

20 Que padrão observas? Todos diferentes, todos iguais

21 Retoma o processo a partir de X 2. Vai assinalando sempre os pontos médios obtidos X 3, X 4, etc. Repete o procedimento uma boa vintena de vezes. Se tiveres um computador ou uma calculadora gráfica podes programá-los para eles te traçarem os pontos médios sucessivos. Todos diferentes, todos iguais Considera três quaisquer pontos do plano A, B e C. Marca numa folha de papel esses três pontos assim como um quarto ponto X 1. Pega num dado normal e lança o dado. Se obtiveres 1 ou 4, une X 1 com A e toma X 2 como o ponto médio desse segmento. Se obtiveres 2 ou 5, une X 1 com B e toma X 2 como o ponto médio desse segmento. Se obtiveres 3 ou 6, une X 1 com C e toma X 2 como o ponto médio desse segmento. 3º caminho diferente http://demonstrations.wolfram.com/ChaoticItineraryButRegularPattern/ O jogo do Caos A B C X1X1 X2X2 A B C A B C

22 Que padrão observas?

23 Todos iguais Triângulo de Sierpinski O padrão que aparece neste três procedimentos tão diferentes é conhecido como Triângulo de Sierpinski. Foi descoberto em 1917 pelo matemático polaco Waclaw Sierpinski. Tem várias propriedades curiosas como a de ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, e ser autossemelhante (isto é, uma pequena porção do triângulo é idêntica ao triângulo todo a menos de uma escala adequada). Quem diria que seria possível obter a mesma figura por processos tão diferentes! Ainda por cima este padrão aparece em vários fenómenos naturais, como por exemplo a formação das conchas de certos seres marinhos. Assim se vê a beleza e poder da Matemática. Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra) http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/

24 1. a b c d e g representa uma linha completa do Triângulo de Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras. Qual das seguinte igualdades é verdadeira? (A) (B) (C) (D) 2.Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos. Qual é o sexto elemento dessa linha? (A) (B) (C) (D) 3.A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 31. Qual é o quinto elemento da linha anterior? (A) 23 751 (B) 28 416 (C) 31 465 (D) 36 534 Aplicações ALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS

25 Aplicações 4.No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma Quantos elementos dessa linha são menores do que ? (A) 8(B) 6(C) 5(D) 3 5.O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19 600. A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20 876. Qual é o terceiro número da linha seguinte? (A) 1275(B) 1581(C) 2193(D) 2634 6.Numa certa linha do triângulo de Pascal, o segundo número é 2009. Quantos elementos dessa linha são maiores que um milhão? (A) 2004(B) 2005(C) 2006(D) 2007

26 O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso. óóóó---óóóóóóóóó---óóóóóóóóóóóóóóó (O vento lá fora.) Álvaro de Campos

27 Caso notável da multiplicação de polinómios Calculemos:..…. ?

28 Para cada valor natural de n, os coeficientes do desenvolvimento de são os números combinatórios que constituem a linha n do Triângulo de Pascal. A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n, diminuindo os expoentes de a de n até zero, enquanto os de b aumentam de zero a n. Podemos escrever..…. e observar que: concluindo que (pode demonstrar-se recorrendo ao Método de Indução Matemática) :

29 Repara: O termo de ordem p+1, designado por com do desenvolvimento de, é dado pela expressão

30 1 1 2 1 11 1 3 31 14 1051 1 4 6 152015 6 1 1510 3521 71 1 6 1 17 35 828567056288 1........................................................................................................................

31 Aplicações ALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS 1.Indique qual das equações seguintes é equivalente à equação (A) (B) (C) (D) 2.Quantas são as soluções da equação ? (A)1 (B) 2 (C)3 (D)4 3.Um dos termos do desenvolvimento de é Indique o valor de n? (A) 10 (B) 12 (C) 20 (D) 21

32 Maria José Guimarães Vaz da Costa Bibliografia:  Infinito 12 Matemática A -12º ano Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso | Alves Cristina Cruchinho Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões  Novo Espaço Matemática A -12º ano Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues  Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra) Página pessoal do autor: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/  The joy of mathematics Theoni Pappas Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências