COMO MODELAR MISTURAS. Nos exemplos estudados inicialmente avaliamos a influencia de dois fatores (temperatura e concentração) Se os valores dos níveis.

Apresentação em tema: "COMO MODELAR MISTURAS. Nos exemplos estudados inicialmente avaliamos a influencia de dois fatores (temperatura e concentração) Se os valores dos níveis."— Transcrição da apresentação:

1 COMO MODELAR MISTURAS

2 Nos exemplos estudados inicialmente avaliamos a influencia de dois fatores (temperatura e concentração) Se os valores dos níveis forem dobrados, a resposta avaliada será afetada ? Ex: rendimento, viscosidade, densidade ótica,....

3 Caso o sistema for uma mistura a situação é diferente. Por exemplo: Se dobrarmos as quantidades de todos os ingredientes da mistura de um bolo, teremos um bolo duas vezes maior. Com a mesma textura, sabor, cor....

4 As propriedades de uma mistura são determinadas pelas proporções de seus ingredientes. A equação retira um grau de liberdade das proporções Para especificar a composição da mistura, precisamos fixar as proporções de q-1 componentes.

5 Como as propriedades da mistura devem obedecer a equação as metodologias apresentadas devem ser modificadas para adaptar-se aos problemas específicos das misturas. Os métodos tem aplicação na indústria, ciência, engenharia,....

6 Misturas binárias

7 Misturas ternárias x1 + x2 + x3 = 1 Para sistemas com três fatores podemos localizar pontos experimentais dentro de um cubo. As possíveis misturas estarão localizadas sobre a superfície de um triângulo equilátero inscrito no cubo Os vértices do triângulo correspondem aos componentes puros

8 Misturas Binária x1 + x2 = 1 Todas as misturas correspondem a reta x2 = 1 – x1 Tornando a reta o eixo das abscissas, podemos construir um gráfico para mostrar diversas propriedades da mistura.

9 Misturas de 3 componentes

10 Misturas de dois componentes A investigação das propriedades de uma mistura segue os mesmos passos que percorremos para sistemas com variáveis independentes. 1 – postulamos um modelo 2 - Fazemos um planejamento experimental, especificando as composições das misturas a serem estudadas 3 – O modelo é ajustado aos dados experimentais e comparado com modelos alternativos

11 O modelo mais simples é o modelo aditivo. Como a soma dos componentes é igual a 1, podemos escrever a equação como: E assim temos....

12 Com este artifício o modelo passa a ter apenas dois coeficientes. Assim quando a mistura tem somente um componente (x 1 =1), a resposta observada (Y),é a própria resposta do componente puro

13 Neste modelo aditivo a resposta é a relativa aos componentes puros. Caso o modelo for válido, podemos prever as propriedades de uma mistura qualquer de x1 e x2. Para aumentar a precisão podemos fazer repetições dos experimentos com os componentes puros.

14 Embora os componentes puros determinem completamente o modelo linear, precisamos realizar experimentos com misturas binárias para verificar se o modelo é adequado. A ampliação mais simples do modelo linear é o modelo quadrático

15 Com as modificações apropriadas chegamos a: A forma de obtenção do coeficiente b 12 * é mostrada nas p. 307 e 308 do livro... A equação possui somente um coeficiente a mais que o modelo linear. Para obter um planejamento experimental com o número mínimo de ensaios precisamos acrescentar mais um experimento....

16 Uma mistura binária de composição qualquer. A estatística e o bom senso indicam que a mistura mais adequada é a que contém os dois componentes em partes iguais. Quando o termo da interação (b 12 * ) é positivo os dois componentes apresentam um efeito sinérgico, caso contrário dizemos que a interação entre os dois fatores é antagônica.

17 Caso for necessário, podemos construir modelos mais complexos... Para isso precisamos realizar mais experimentos...

18 Aplicação Medidas de viscosidade dos vidros fundidos puros e também de uma mistura contendo os dois em partes iguais. Determinar os valores b1, b2 e b12 do modelo quadrático da mistura e seus erros padrão... A variância é constante para estas repetições.... η/10 5 kg m -1 s -1 Vidro A1,411,47 Vidro B1,731,68 (A + B) (50%,50%) 1,381,341,40

19 Ir até Experimental Design (DOE) Selecionar : Misture designs....e clicar OK

20 Para este experimento temos 2 fatores (vidro a e vidro b) Escolhido o número de fatores, clique OK...

21 Na aba Quick selecine “Standard order” e na aba “Add to design” no campo “Number of genuine...” informe 1 ou 2... e clique “Summary”.

22 O desenho gerado tem 6 experimentos...pois foi especificada uma repetição...

23 Copie o planejamento gerado para a planilha e adicione mais um ponto central...

24 Na planilha digitamos os resultados experimentais...

25 Inseridos os resultados....podemos indicar as variáveis dependentes e independentes e iniciar a análise...

26 Na janela seleciona-se a variável dependente e as variáveis independentes (fatores).... Clique OK...OK novamente...

27 A janela apresenta um resumo do planejamento e as possibilidades de análise...

28 Como já vamos ajustar os dados a um modelo quadrático... na aba model selecionar “Quadratic”.

29 Na aba Quick clique em “ Summary: Estimates, pseudo...”

30 A análise mostra o coeficiente de determinação R 2 =0,9657 Modelo ajustado Y= 1,44 x 1 + 1,70 x 2 - 0,80 x 1 x 2

31 Misturas de 3 componentes Modelo linear Com a restrição : x1 + x2+ x3 =1 Substituindo o termo b o por b o *(x1+x2+x3), obtemos:

32 Os valores obtidos para os componentes puros são suficientes para descrever o modelo. Podemos determinar os coeficientes do modelo linear sem precisar fazer nenhuma mistura. Podemos obter estimativas mais precisas utilizando respostas médias de ensaios repetidos.

33 Modelo quadrático No caso do modelo quadrático precisamos de pelo menos seis ensaios. Os três ensaios que faltam podem ser realizados com as três possíveis misturas binárias (1:1), contendo os componentes em partes iguais.

34 O planejamento experimental representado pelos seis pontos (componentes puros = vértices do triangulo e as misturas binárias) é comumente chamado de Planejamento em rede simplex (simplex lattice design). A inclusão de pontos experimentais no interior do triângulo permite o ajuste de modelos de ordem superior.

35 Aplicação No estudo de membranas para fabricação de eletrodos a sua sensibilidade é um fator importante. Pesquisadores utilizaram um planejamento em rede simplex e obtiveram os sinais mostrados na tabela onde x1, x2 e x3 são componentes da mistura. Determinar os valores b1, b2, b3, b12, b13 e b23 para ajuste do modelo quadrático e seus erros padrão... X1X2X3 sinal 11003,23,0 20100,50,4 3001 0,3 4½½01,91,22,0 5½0½3,94,44,1 60½½0,3 0,2

36 Ir até Experimental Design (DOE) Selecionar : Misture designs....e clicar OK Para este experimento temos 3 fatores (x1, x2 e x3) Escolhido o número de fatores, clique OK...

37 Na aba Quick... escolher “standard order” Na aba “add to design” informar 1 ou 2 replicates...e clicar em “Summary”...

38 Como são 15 ensaios repetir mais uma vez os pontos intermediários...

39 Na planilha digitamos os resultados experimentais

40 Na aba “Analyse design” selecionamos as variaveis dep. e independ... Clique OK(2X)

41 A janela apresenta um resumo do planejamento e as possibilidades de análise

42 Escolher o modelo quadrático...

43 A análise mostra o coeficiente de determinação R 2 =0,9845 Modelo ajustado e erro standard (p.314) Y = 3,10x 1 + 0,45x 2 + 0,35x 3 -0,30x 1 x 2 + 9,63x 1 x 3 - 0,53x 2 x 3

44 Na aba “Prediction....” quando clicamos em “Contour plot...” temos...

45 Coeficientes + Anova

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47 Modelos cúbicos para três componentes O modelo quadrático geralmente reproduz satisfatoriamente os valores das respostas nos vértices e nas arestas do triângulo de concentrações. (componentes puros e suas misturas binárias) Entretanto, modelos que tem termos cúbicos podem ser importantes para descrever a mistura nos pontos do interior do triângulo.

48 A dedução da equação do modelo cúbico completo, estabelece uma equação com 10 termos (logo teríamos que realizar experimentos em mais quatro pontos) Entretanto podemos em algumas situações descrever a região experimental com a adição de um único ponto. Um ponto central correspondendo a mistura ternária em partes iguais. O planejamento é chamado centróide simplex...

49 O modelo ajustado possui sete parâmetros e é denominado modelo cúbico especial e possui apenas um termo a mais que modelo quadrático... Logo para o novo modelo, teremos a equação...

50 No estudo de membranas para fabricação de eletrodos a sensibilidade é funçao de x1, x2 e x3.... Determinar os valores b1, b2, b3, b12, b13, b23 e b123 para ajuste do modelo cúbico especial mostrado abaixo...X1X2X3sinal11003,23,0 20100,50,4 30010,40,3 4½½01,91,22,0 5½0½3,94,44,1 60½½0,30,30,2 71/31/31/33,43,6

51 Ir até Experimental Design (DOE) Selecionar : Misture designs....e clicar OK Para este experimento temos 3 fatores (x1, x2 e x3) Para ajustar o modelo cúbico especial precisamos de um ensaio adicional...7 experimentos... Selecionar na aba Simplex-centroid designs com 3 fatores...

52 Na aba Quick... escolher “standard order” Na aba “add to design” informar 1 ou 2 replicates...e clicar em “Summary”...

53 Temos inicialmente o planejamento de 7 ensaios em duplicata... Como são 17 ensaios (2 x 7 =14...+ 3 pontos de misturas 50:50...

54 Copiar o planejamento para a planilha e adicionar os 3 ensaios que faltam...em uma planilha com 17 cases !!!

55 Informamos os dados experimentais...

56 Voltar para “Analyse design”...

57 Selecionar...variáveis (dep. e indep.)...2xOK...

58 Temos um resumo do nosso experimento e as possibilidades de análise...

59 Na aba Model... Selecionar selecionar “Special cubic”...e pode-se inicial a análise na aba Quick...

60 Ao clicar em “Summary Estimates:...” temos os coeficientes da equação... Equação e desenho (pg. 318, 319...)

61 Modelo com todos os coeficientes... Y = 3,10x 1 + 0,45x 2 + 0,35x 3 -0,30x 1 x 2 + 9,63x 1 x 3 - 0,53x 2 x 3 + 33,00 x 1 x 2 x 3 Eliminando os termos com coeficientes não significativos... Y = 3,10x 1 + 0,45x 2 + 9,63x 1 x 3 + 33,00 x 1 x 2 x 3

62 Curvas de contorno para Y...

63 Avaliação de modelos... ANOVA...para o modelo com 6 termos.. (pg. 320) Valor tabelado de F (6,10)0,99 = 5,39 Comparado ao valor calculado F = 119 O modelo é altamente significativo...

64 ANOVA...para o modelo com os termos significativos... Y = 3,10x 1 + 0,45x 2 + 9,63x 1 x 3 + 33 x 1 x 2 x 3 Ajuste do modelo Ftab. < F calc Valor tabelado de F (4,12)0,99 = 5,41 Comparado ao valor calculado F = 200,9 Falta de ajuste do modelo... Ftab. > F calc Valor tabelado de F (2,10)0,99 = 7,56 Comparado ao valor calculado F = 0,3 O modelo também é altamente significativo...

65 Pseudocomponentes Na análise realizada encontrou-se uma composição ótima onde um dos componentes não estava presente na mistura. Na prática uma mistura requer a presença de todos os componentes e esta situação foi considerada no exemplo analisado. Os componentes x1,x2 e x3 apresentados no problema anterior, são pseudocomponentes (misturas dos componentes propriamente ditos)

66 Pseudocomponentes Esta situação pode ser generalizada para uma mistura qualquer, em que as proporções dos componentes puros tenham de obedecer a limites inferiores não- nulos, que é chamado de a i. Na análise realizada encontrou-se uma composição ótima onde um dos componentes não estava presente na mistura. Na prática uma mistura requer a presença de todos os componentes e esta situação foi considerada no exemplo analisado. Os componentes x1,x2 e x3 apresentados no problema anterior, são pseudocomponentes (misturas dos componentes propriamente ditos)

67 Se estabelecem limites inferiores para cada componente e sua soma (a i ) deve ser menor que a unidade. No exemplo o componente indicado com a composição (1,0,0) corresponde a uma mistura de proporções (0,8; 0,1; 0,1)

68 Exemplo da membrana.... Todos os limites inferiores ai são iguais a 0,1.... i = 1, 2 e 3..... Substituindo na equação temos uma resposta em função das proporções dos constituintes da mistura... Y = 0,34 + 3,43 C 1 + 0,97 C 2 - 1,0 C 3 – 9,67 C 1 C 2 + 9,98 C 1 C 3 - 9,67 C 2 C 3 + 93,74 C 1 C 2 C 3 Y = 3,01* C1 + 1,30 *C2 - 0,87* C3 -10,23 *C1*C2 + 10,04*C1*C3 -10, 71*C2*C3 + 96,21 *C1*C2*C3