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Física Ondulatória Ondas como perturbação de um meio material

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Apresentação em tema: "Física Ondulatória Ondas como perturbação de um meio material"— Transcrição da apresentação:

1 Física Ondulatória Ondas como perturbação de um meio material
Ondas eletromagnéticas, Ondas de materia Ondas de probabilidade

2 O conjunto de tais perturbações em movimento denomina-se ondas.
Perturbações num meio material elástico se propagam com uma certa velocidade, como aquela imagem de se tem da perturbação da superfície de um lago tranqüilo por uma pedra. O conjunto de tais perturbações em movimento denomina-se ondas.  

3 Tipos de Onda Ondas Mecânicas se propagam em meios materiais.
Exemplos incluem: som, ondas do mar (tsunami inclusive), terremoto. Ondas Eletromagnéticas se propagam tanto em meio material como no vácuo: luz visível, micro-ondas, raio gama, ... Exemplos: micro-ondas, luz visível, ondas de rádio, etc..

4 Formas de propagação . Ondas Longitudinais
Exemplos: som, ultra som; terremoto (onda principal – PW: v  6 Km/s). Ondas Transversais Exemplos: luz visível (ondas eletromagnéticas em geral); ondas na superfície do mar; terromoto (onda secundária –SW: v  4 Km/s). . Ondas transversais são polarizáveis

5 Princípio da Superposição
| gif] Superposição Linear : “A perturbação Y resultate é a soma algébrica das perturbações componentes y1 e y2” Y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) Superposição não-linear: “SOLITONS”

6 Elementos que caracterizam as ondas
ONDAS HARMÔNICAS Ondas Harmônicas são descritas pela função seno (ou coseno) -ondas senoidais Considere uma onda transversal: A : amplitude -deslocamnto máximo da onda na direção y num ponto x fixo. l : comprimento de onda - distância mínima entre dois pontos equivalentes da onda -máximos, mínimo, etc. v : velocidade de propagação da onda. vy : velocidade da variação da amplitude instantânea num ponto x fixo. T = l / v - período T é o tempo necessário para a onda percorrer um distância igual a l. f = 1 / T - freqüência f é o número de ondas que atravessam um qualquer ponto x fixo por unidade de tempo. k = 2 p / l - número de onda k é o número de ciclos por unidade de comprimento. w = 2 p / T - freqüência angular (w = 2 p f ) é o número de ciclos por unidade de tempo. l f = v Elementos que caracterizam as ondas Y(x, t) : equação da onda .

7 Exercícios - 0  1 – Uma onda transversal é descrita pela equação: y(x, t) = 10 sin [ p(0,01 x – 2 t) ], com x e y medidos em centímetros e t em segundos. Determine: a amplitude A, o comprimento de onda l, a velocidade de propagação v, o número de onda k, e a freqüência da onda w. Sugestão: compare a equação dada acima com a equação de onda geral: y(x, t) = A sin [ (2p/l)(x – v t) ]. 2 – Para t = 0 a equação de uma onda senoidal é y = 0,2 sin (0,5 π x), sendo y e x dados em centímetro. Para essa onda, calcule: (a)- a amplitude; (b)- o comprimento de onda; (c)- 0 deslocamento para x = 0,50 cm. (d)- Desenhe essa onda até x = 2 cm. (e)- Se essa onda se deslocar para a direita com velocidade de 50 cm/s, calcule seu deslocamento vertical para x = 0,66 cm no instante 0,0066s. (f)- Repita o item anterior para t = 0,04s e x = 0,5 cm.

8 Meios eláticos; velocidade de propagação
 A velocidade de propagação da onda em meios materiais depende, em geral, de suas características elástidas e de sua densidade. Ondas transversais numa corda sob tensão T e de massa por unidade de comprimento m, Ondas longitudinais num fluido de módulo volumétrico B e densidade r. B = (F/A ) / (DV/V ) Ondas longitudinais num sólido de Módulo de Young Y e densidade r. A grandeza Y = (F/A) / (DL / L) mede a rigidez do material. Propriedades elásticas e densidade dos materiais dependem da temperatura e da pressão, influenciando v Em meios não dispersivos, nos quais as ondas não alteram sua forma, a velociade de propagação não depende da freqüência e nem do comprimento de onda. Exemplo: som. A matéria é um meio dispersivo para as ondas eletromagnéticos, isto é, no meio material a velocidade da luz varia com a freqüência da onda.

9 Propriedades elásticas de alguns materiais

10 Ondas Estacionárias Escrevendo na água com ondas estacionárias
Ondas estacionárias resultam do confinamento das ondas, como ocorre em uma corda fixa (exemplo, corda de violão) Escrevendo na água com ondas estacionárias

11 Série de Fourier Qualquer funcão f (t), periódica, pode ser representada matematicamente por uma série de infinitas parcelas contendo ondas harmônicas de diferentes freqüências (wn) e correspondentes pesos (an, bn):

12 Transpote de energia Intuitivamente podemos ver como a energia de um pulso numa corda distendida se propaga em seu meio (a própria corda), como mostra a ilustração ao lado Em geral, no espaço tridimensional e a uma distância suficientemente grande da fonte (pontual) da onda, define-se com Intensidade I da onda como a razão entre a potencia emitida (enegia por unidade de tempo) pela área da supercie de uma esfera que a envolve. Para uma onda transversal ou longitudinal, de freqüência f e amplitude A, que se propaga num meio de densidade r e com velocidade v, sua intensidade I é dada por

13 Exercícios - 1 Exercícios:
Exercícios: 1)- Se a intensidade do som de um instrumento musical que chega a um ouvinte a uma distância de 5 metros da fonte, é I = 210-5 W/m2, determine a intensidade da mesma onda sonora por um outro ouvinte que se encontra a uma distância de 2 metros da fonte. Sugestão: lembre que I = k / r2, isto é a intensidade é proporcional ao inverso da distância r entre a fonte e o ouvinte. 2)- Seja uma onda quadrada definida como f(x) = +1, para 0< x < p , e f (x) = -1 para - p < x < 0. A série de Fourier para esta função é: f (x) = (4/p) ( sin x + (sin 3x)/3 + (sin 5x)/5 + (sin 7x)/ Some os quatro primeiro termos desta série e plote o resultado correspondente [ x versus f (x) ].

14 A escala Decibel (dB) . A quantidade IdB é denominada nível de intensidade porque seu valor é estabelecido em relação ao um referencia, a saber, I0, como está representado pela relação matemática acima.

15 I0 = W/m2 é uma referência; no caso, próximo do limite inferior do intervalo da intensidade audível para o ser humano. Note que um acréscimo de 3 dB equive a praticamente dobrar a intensidade, pois como 103/10  2. Então, se aumentarmos de 3 unidades a intensidade inciail IdB, usando a expressão acima após invertê-la, obtemos com o acréscimo de 3 decibéis: A escala ...

16 Limeares da audição humana

17 Exercícios - 2 1 -Para obedecer aos requisitos legais, um fabricante desenhou seus carros com um ruído máximo de 80 dB. Um teste na estrada com um desses carros revelou que o ruído máximo era de 90 dB. O fabricante afirma que a diferença entre a intensidade medida e o limite legal é desprezível. Calcule o aumento na intensidade do ruído e verifique a afirmação do fabricante. 2-Um rojão explode a uma altura de 100 m produzindo um som de intensidade igual a 6,25 x 10-2 W/m2, durante 0,2 s, num ponto do chão, diretamente abaixo dele. a- A que nível de intensidade corresponde esse som ouvido no chão? b- Qual a intensidade do som a uma distância de 10 m do rojão? c- Qual é o nível de intensidade do som a essa distância? d- Qual é a energia sonora total irradiada na explosão?

18 Ondas estacionárias Ondas estacionárias
Ondas estacionárias podem ser entendidas como resultates da interferência entre ondas se movendo numa dada direção e outras na direção contrária. Por exemplo, numa corda vibrante, onde temos reflexões sistemáticas das perturbações originais. .   Ondas estacionárias Reflexão

19 Sejam então duas ondas de mesma amplitude A, mesmo comprimento de onda l e mesma freqüência angular w, porém propagando-se em direções contrárias, ou seja Y1(x,t) = A sen(kx – w t); e Y2(x,t) = A sen(kx + w t); k = 2 p / l. Usando sen (a+b) =sen (a) cos (b)+sen (b) cos (a), estas expressões podem ser reescritas como:  Y1(x,t) = A [ sen (kx) cos (– w t) + sen (– w t) cos (kx) ] , e Y2(x,t) = A [ sen (kx) cos (w t) + sen (w t) cos (kx) ]. Assim, lembrando que cos (-a) = cos (a), e que sen (-a) = -sen (a), a soma Y(x,t) = Y1(x,t) + Y2(x,t) resulta em Y (x,t) = [2 Asen(kx) ] cos(w t) . Ondas est. ... A forma básica da onda é dada pelo pré-fator 2 A sen(kx), independente do tempo e cada ponto da mesma é modulada temporalmente por cos(wt).

20 Y(x,t) = [2 Asen(kx) ] cos(w t) onde: k = 2 p / l , e w = 2 p f
Como ilustra a figura ao lado, l não assume qualquer valor; de fato l é quantizado: l = 2 L / n, com n = 1, 2, 3, ... Por outro lado, a velocidade v de propagação da onda na corda é dada por. . Onde t é a tensão na corda (Newton) e m é a densidade linear de massa (Kg/m). Ondas est. ... “Quantização” do comprimento de onda

21 Exercícios - 3  1- Seja uma onda estacionária com quatro nós, dois dos quais situados nas extremidades fixas (terceira harmônica), numa corda de violão de 45 cm de comprimento. No instante t = 0 o deslocamento vertical do ventre é máximo e vale 5 cm. Desenhe a forma da onda para os instantes t = 0, (1/4)T, (1/2)T, (3/4)T e T, onde T é o período da onda. 2- Uma corda de 620 mg e 20 cm de comprimento é fixada em ambas as extremidades. Se a tensão aplicada à corda for de 96 N, é possível produzir uma onda sonora cuja decomposição em componentes de Fourier no instante t = 0 é apresentada ao lado. a- Determine a velocidade de propagaão da onda na corda. b- Determine os possíveis comprimentos de onda e freqüências. c- Suponha que nessas mesmas condições a corda fosse substituída por outra de maior massa. Nesse caso, o que aconteceria às freqüências do som produzido? d- Mantendo a corda inicial e aumentando a tensão, o que aconteceria às freqüências do som produzido? e- Desenhe a forma das ondas componentes para o instante t = 3/4T1, sendo T1 o período da fundamental. Dica: considere a expressão Y(x,t) = [2 Asen(kx) ] cos(w t) como a função que descreve a onda.

22 Efeito Doppler Considere uma fonte sonora pontual que se move com velocidade v em relação a um observador. Podemos então observar como as frentes de ondas (perturbações) no meio elástico (ar) se propagam com excêntricidade dependente da velocidade da fonte

23 --

24 Assim, usando o fato de que
-- Assim, usando o fato de que temos que, para a fonte se distanciando o observador . .e quando a fonte se aproxima do observador

25 Exercícios - 4 1- As ondas ultra-sônicas têm muitas aplicações tecnológicas e médicas, pelo fato de altas intensidades poderem ser usadas sem dano ao ouvido. Considere uma onda de ultra-som com intensidade de I = 10 W/cm2. Calcule: a- o nível de intensidade dessa onda; b- a energia transmitida numa superfície de 1 cm2 em 1 min; c- a amplitude de pressão dessa onda no ar; d- a intensidade na água de uma onda ultra-sônica com amplitude de pressão encontrada em c. São dados: ρar = 1,2 Kg/m3, ρágua = 103 Kg/m3, var = 343 m/s a 20o C e vágua = 1500 m/s. Nota: A intensidade do som se relaciona com a aplitude de pressão P0 como onde r é a densidade do meio e v é a velocidade do som neste mesmo meio. 2- Um trem, ao passar por uma estação com uma velocidade de 100 Km/h, apita emitindo um som com uma freqüência de 500 Hz. Quais são as freqüências sonoras do apito ouvidas por uma pessoa na estação, quando o trem se afasta e se aproxima? 3- Um ônibus toca a buzina ao se aproximar de um ponto de parada. Um passageiro parado no ponto afirma que a freqüência da buzina foi de 300 Hz, ao passo que o motorista do ônibus diz que ela foi de 280 Hz. Ambos estão certos? Determine a velocidade do ônibus.

26 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

27 A natureza das ondas eletromagnéticas.
Cargas em movimento produzem campos elétricos e magnéticos que variam no espaço e no tempo. Efetivamente, estes campos podem se propagar no vácuo, e constituem o que se denomina ondas eletromagnéticas Carga elétrica em repouso Carga elétrica em movimento oscilatório Como OEM são produzidas? 25/AABXTEN0.html

28 Componente magnético: A lei de indução da Faraday
.. Componente elétrico: . Componente magnético: A lei de indução da Faraday E a lei de indução de Maxwell Campo elétrico variando no tempo produz campo magnético, como estabelecido pela Lei de Maxwell, e vice-versa: campo magnético variando no tempo gera campo elétrico, como descrito pela Lei de Faraday .

29 Unidades e constantes: Campo elétrico: [E] = [V/m] (Volt/metro)
.. Unidades e constantes: Campo elétrico: [E] = [V/m] (Volt/metro) Campo magnético: [B] = Tesla (T) = [N] [C]-1 [m/s]-1 Permeabilidade magnética m0 = 1,26 X 10-6H/m Permitividade elétrica e0 = 8,85 X F/m

30 ... Propagação das Ondas Eletromagnéticas Um “instantâneo” do campo elétrico E se propagando. Como os vetores E e B são perpendiculares, o campo magnético B seria similarmente representado por linhas entrando e sainda do plano da figura. Transporte de energia e o Vetor de Poynting: energia transportada por unidade de área e por unidade de tempo Vetor de Poynting: Intendidade:

31 LEI DE BRAGG A Lei de Bragg estabelece uma relação entre parâmetros espaciais do arranjo geométrico regular dos átomas na matéria (distância interatômicas, por ex.), e os ângulos com que com que Raios-X incidentes na amostra difratam*. *O termo difração vem do Latin, diffringere, o que significa “dividir em pedaços”, e se refere a vários fenômenos envonvendo ondas, como desvios de um raio luminoso ao mudar de meio material (difração), ou o espalhamento da luz em diferentes direções. Ele ocorre com qualquer tido de ondas e com a matéria, mas aqui estaremos particularmente interessado com a diffração de raios-X., quando atravessando espaçamentos materiais da ordem do comprimento de onda do raio utilizado; este fenômeno é explicado por meio do mecanismo de interferência de ondas. Experimento de difração de raios-X Cristalografia é uma ciência experimental que usa difração de raios-X como uma poderosa ferramenta para a área biológica: a estrutura do DNA, na forma de dupla-hélice foi determinada por difração de raios-X, assim como a grande maioria das estruturas conhecidas de proteínas.

32 Exemplos cotidianos do fenômeno da difração e refração
`Imagens da difração´

33 Fenômeno da interferência
Raios-X incidindo em átomos são re-imitidos em todas as direções (espalhamento de Rayleigh). Atomos regularmente arranjados. Parte das ondas são refletidas na primeira camada de átomos e do restante que atravessa a primeira camada, uma fração também pode ser refletida nas camadas de átomos seguintes.

34 ...1 INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA OCORRE EM SITUAÇÃO ESPECÍFICA:

35 ...2 Interferência construtiva (duplicação da inensidade) ocorrerá sempre que a diferença de caminho AB + BC for um múltiplo do complimento de onda: AB + BC = nl. Similarmente, uma interferência destrutiva (anulamento da intensidade) ocorrerá sempre que a diferença de caminho AB + BC obedecer a relação AB + BC = (n +1/2)l

36 Elementos de um experimento de difração de raios-X
...3 Elementos de um experimento de difração de raios-X Geometria envolvida num experimento de difração de raios-X

37 A Lei de Bragg estabelece que a distância d entre planos atômicos se relaciona com o comprimento de onda l do feixe de raio-X difratado pela relação: ou equivalentemente: onde q é o ângulo de incidência do feixe em relaçã ao plano atômico. ...4 O ângulo q é determinada a partir da geometria das partes do experimento, relacionando o ângulo 2q com a distância r do feixe espalhado em relação à direção do feixe incidente

38 MECÂNICA QUÂNTICA -Equação da onda: ondas mecânicas, e
ondas eletromagnéticas -Equação de Schrödinger *Eletron confinado *Rotor rígido *Átomo de Hidrogênio

39 Equação de Onda Considere uma onda estacionária, descrita pela expressão Y(x,t) = Asen(kx) cos(w t); note que Y é uma função de duas variáreis. Agora, consideremos a derivada dupla de Y(x,t) em relação a x, isto é O simbolo “” significa “derivada parcial”, no sentido de ser a derivada em relação a uma das variáveis somente. Por exemplo, Y(x,t)/ x significa “derivada de Y (x,t) em relação à variável “x”. Neste caso, a outra variável, “t”, se comporta com uma constante. Assim, temos que Ondas est. ...

40 .ercíco o que nos permite escrever
...1 o que nos permite escrever Agora, como  = 2f , e k = 2/, então  / k = f  . Contudo, f  = v, onde v é a velocidade de propagação da onda. Então, a equação acima finalmente pode ser escrita como . Esta equação é denominada “Equação da Onda”, e é geral, ou seja, qualquer função de onda satisfaz esta equação (não somente as ondas senoidais). .ercíco

41 Exercícios – 5 1- Verifique a consistência dimensional da equação da onda . onde v é a velocidade de propagação da onda. 2 - Verifique que uma onda, propagagando-se conforme a equação satisfaz a equação da onda (expressa na questão anterior). 3- Agora considerando duas ondas, Verifique por inspeção direta que a soma Y(x,t) = a Y1(x,t)+ b Y2(x,t), onde a e b são constantes (combinação linear), também é uma solução da equação de onda. Portanto, conclui-se qualquer combinação linear que funções senoidais (Série de Fourie!) também é solução da equação de onda.

42 Significado da Equação de Onda
Como diferentes ondas podem ser a solução de uma mesma equação (a equação de onda)? O que determina uma solução em particular? A resposta a estas questões está contida nas Condições de Contorno do problema (espaço), e Condições Iniciais do problema (tempo). Como visto no último problema 3, a combinação linear de funções senoidais é também uma solução da equação de onda. Portanto, a solução da equação da onda pode ser pensada, inicialmnete, de uma forma totalmente geral, como sendo dada por uma soma infinita de soluções (senoidais) particulares, e por sua vez, as condições de contorno e condição inicial “filtram” dentre todas as possibilidades, aquelas que satisfazem as particularidades do problema.

43 .....1 Exemplo de condições de contorno (cc) e condições iniciais (ci)

44 Exercícos - 6 O traço mais forte nas representações de ondas estacionárias ao lado, correspondem às condições iniciais (ondas senoidais:) e os “nodos” (amplitude zero) correspondem às condiçoes de contorno. Por exemplo, para a primeira onda temos: Condição inicial, Y(x, t = 0) = A sen(kx) Condições de cotorno Y(x = 0, t) = Y(x = L, t) = 0 1)- Determine o número de onda k e o comprimento de onda l para cada caso. 2) Especifique as condições iniciais para cada caso.

45 Hipóteses pioneiras da Mecânica Quântica -- Breve Histórico --
É usual considerar o início do desenvolvimento sistemático da Mecânica Quântica, como senda a proposição da hipótese da quantização da energia radiante (Max Planck; 1900), isto é: qualquer energia é irradiada ou absorvida em porções dicretas e (“pacotes”) de energia, com onde h é uma constante (constante de Planck; h = 6,626  J.s), e v é a freqüência da radiação. Em 1923, após os sucessos da aplicação da hipótese de Plack para se explicar o comportamento do calor específico a baixas temperaturas (Einsten, 1905) e a radiação do átomo de hidrogênio (Bohr; 1913), de Broglie formulou a hipótese de que assim como uma onda eletromagnética pode se comportar como partículas (fótons), uma partícula tambem pode apresentar caracter´siticas de uma onda. Isto foi estabelecidopor meio da relação onde p é o momentum da partícula de massa m com velocidade v ( p = mv), h é a constante de Planck e l é o comprimento de onda associada à partícula. .

46 Equação de Schrödinger
Considere a equação de onda, como introduzida antes: . (1) e uma onda estacionária Y(x,t) como o produto Y(x,t) = (x)  (t), em que  e  são funções senoidais do tipo Asen(kx) e Bsen(w t), respectivamente . Se derivarmos Y(x,t) duas vezes em relação ao tempo t e levando o resultado à equação de onda acima, otemos . Observe que o fator  (t) nos dois membros se cancelam, produzindo (2) porque v/w = l/2p. A equação (2) é a equação de onda para o caso de ondas estacionárias. Porém, considerando agora o caso de uma partícula livre (sem força atuando sobre ela) de massa m e velocidade v, vamos trasnformar a equação de onda (2) por meio da hipótese de de Broglie para então descrever o comportamento ondulatório de partículas materiais. Assim, substituindo l na equação (2) por l = h/(m v), e lembrando que a enegia cinética K é expressa por K = (1/2) mv2, a equação (2) se reduz a (3) conhecida como a Equação de Schrödinger.

47 Exercícios - 7 1- Fazer as últimas passagens -equação (2) para (3)-, como indicadas no último parágrafo, para se obter a Equação de Schödinger

48 Equação geral: partícula em um campo potencial
Pela lei da conservação de energia, temos que K = E – V, onde V é anergia potencial. Assim, para o caso de uma partícul de massa m em um potencial V(x), a equação (3) é escrita como . onde agora E é a energia total (cinética mais potencial) do sistema constituído por partícula de massa m em um campo potencial V(x). Assim como o papel desempenhado pelas equações de Newton na Mecânica Clássica, a equação de Schrödinger prediz o comportamento de sistemas dinâmicos no mundo atômico, cujas dimensões espaciais relevantes, em muitas situações, são da ordem de grandeza do comprimento de onda l previsto pela hipótese de de Bloglie. A rigor, a equação de Schrödinger prediz precisamente a probabilidade dos eventos ocorrerem. Esta probabilidade esta diretamente relacionada com a solução Y da equação de Schrödinger; matematicamente, a probabilidae P de se encontrar a partícula de massa m em algum ponto do espaço é proporcional a | Y |2, isto é a probabilidade P  | Y |2.

49 Estudo de casos notáveis
Elétron confinado (uma, duas e três dimensões) O princípio da incerteza de Hisenberg Rotor Rígido: molécula di-atômica O átomo de hidrogênio Números quânticos Orbitais

50 Elétron confinado Por confinamento entendemos que uma partícula não pode escapar de uma certa região do espaço, previamente estipulada. Vamos considerar o caso mais simples possível: um elétron restrito a se movimentar em uma única dimensão (eixo-x)e sujeito a um potencial V(x) = 0 na regiões 0 < x < L; e nos pontos x = 0 e x = L (condições de contorno), assuminos que V( x ) é muito grande(V( x )  ), impedindo que a partícula escape da região estipulada. A equação de Schödinger é então escrita como . ou, equivalentemente que vale para todos os valores de 0< x < L . Neste intervalo, a solução é do tipo Y = Asen(kx), onde k2 = 2mE/ћ (1) e em x=0 e x = L, temos que ter Y = 0, pois a probabilidade de se encontrar a partícula nestes pontos deve ser nula. As condições de contorno especificam a solução. Note que em x = 0, a solução Y = Asen(kx) satisfaz a condição de contorno Y (x=0) = 0 automaticamente, mas em x = L somente alguns valores de k satisfazem sen (kL) = 0, isto é kL = n p , com n = 0, 1, 2, 3, (2) Assim, combinando a condição expressa na equação (2) com a equação (1), temos que 2mE/ћ2 = n2p 2/L2, ou seja, o valor da energia E assume valores discretos (quantizados) proporcionais a n2, ou seja En = n2 h2 /(8mL2) (3) onde o índice n na representação da energia enfatiza este fato.

51 Interpretação de Y e o princípio da incerteza de Hisenberg
No problema do elétron confinado, qual o significado físico que pode ser dado à solução da equação de Schrödinger: Y(x) = A sen (kx) ? Observe que tudo se passa como se Y(x) descreveve o perfil espacial de uma onda, mas agora estamos falando de uma partícula, que como sugere nossa intuição, deveria ter sua posição especificada a cada instante do tempo (noção de trajetória). Assim, a função Y(x) tem sido interpretada como a “amplitude de probabilidade” de se encontrar a partícula de massa m na posição x. Nesta interpretação, a quantidade | Y(x) |2 é tida como densidade de probabilidade e, no presente caso, | Y(x) |2 dx significa a probabilidade de se encontar a partícula no intervalo entre os pontos x e x + dx. Portanto, sob a previsão da equação de Schrödinger, não podemos afirmar com exatidão onde uma específica partícula se encontra, mas para uma coleção muito grande de partículas (ou num intervalo de tempo suficientemente grande), Y(x) nos informa como o espaça é distribuido (ocupado) pels partículas. Esta “incerteza” na localização de uma partícula no espaço é matematicamente representada pelo “Princípio da Incerteza de Hisenberg”, o qual estabelece um limite na precisão da estimativa simultânea da posição espacial (x) e do momentum (p = mv) da partícula. Assim temos que a incerteza Dx na posição da partícula e a incerteza de seu momentum Dp, obedecem a seguinte relação limitante, Dx Dp  /2 .

52 Exercícios - 8 A partir das equações (1) e (2) acima, obtenha explicitamente a equação (3). Determine a magnitude dos níveis de energia permitidos para um elétron cuja massa de repouso é me = × Kg, confinado em 0 < x < L, onde L = 1 nanometro (10-9 metros). Dê sua resposta em Joule e em elétron-volt. Usando o princípio da incerteza, estime a ordem de grandeza da energia de um elétron confinado em uma região da ordem de 1 nanometro. Lembre que a energia cinética E = ½ mv2 pode ser expressa como E = p2/2m; assim a incerteza na energia depende da incerteza no momentum conforme a relação DE = (Dp)2/2m).

53 Molécula diatômica: o rotor rígido
Como a energia de rotação de uma molécula diatômica seria descrita pela equação de Schrödinger? Classicamente, a energia cinética de rotação de uma molécula diatômica, é dada por E = ½ I w2 onde w é a velocidade angular e I = m R2 é o momento de inércia do sistema de duas massas em relação ao eixo de rotação passando pelo centro de massa (ver ilustração ao lado) e m = (m1 m2) / (m1 + m2 ) é a massa reduzida do sistema. Para este problema, a equação de Schrödinger é usualmente escrita em coordenadas polares, resultando em A solução desta equação envolve treinamento matemático que extrapola as presentes pretenções, e portanto apresentaremos os resultados diretamente. O método utilizado assume que a solução Y(q,f) da equação acima possa ser escrita como o produto de duas funções de uma única variável, isto é Assim, duas equações diferenciais são obtidas: com solução: onde são funções associadas de Legendre.

54 Molécula diatômica: o rotor rígido
A energia E é quantizada, isto é, so pode assumir valores discretos, conforme a relação E j = j( j +1 ) B, onde é a constante rotacional. Por outro lado, m é um número inteiro cujo valor absoluto é menor ou igual a j, isto é: m = -j, – (j-1), – (j-2), ... –1, 0, 1, 2, ... (j – 1), j Observe que E j não depende de m

55 Átomo de Hidrogênio Como se pode notar, a solução da equação de Schrödinger exige conhecimentos matemáticos sofisticados, técnicas e treinametos apropriados. Contudo, nossa intenção aqui é somente enfatizar a importância do problema, que pode ser resumida numa frase: “A solução da equação de Schrödinger nos revela como a matéria e a energia se comportam no contexto atômico e molecular.” Como já introduzido no caso anterior (rotor rígido), é assumindo aqui a solução Y (r,q,f ) da equação de Schrödinger na forma do produto de três funções das variáveis r, q e f , isto é: A especificidade do problema é então dada pelo tipo de interação U(r) entre as duas partículas envolvidas, no caso, um próton e um elétron

56 . n : número quântico principal.
l : número quântido do momento angular ml : número quântico magnético. No contexto espectroscópico, o número quântico l é denotado pelas letras s, p, d, de acordo com seus valores: “s” para l = 0; “p” para l = 1, “d” para l = 3, etc. s: sharp, p: principal, d: diffuse, f: fundamental

57 .. a

58 ... n

59 ...

60 ...

61 Exercícios - 9 1- Considere a solução da equação de Schrödinger do átomo de hidrogênio para os números quânticos n = 2; l = 1; e m = 0 e determine as regiões em que a probabilidade P(r) dV de encontrar o elétron na casca esférica determinada pelo elemento de volume 4 p r2 dr é máxima, considerando-se dr fixo. Nota: P(r) dV = |Y|2 4p r2dr (dr fixo).


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