Trabalho e Energia O problema fundamental da dinâmica de uma partícula é saber como a partícula se move, se conhecermos a força que actua sobre ela (como.

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1 Trabalho e Energia O problema fundamental da dinâmica de uma partícula é saber como a partícula se move, se conhecermos a força que actua sobre ela (como varia a sua posição com o tempo). Para isso temos que conhecer a força resultante que actua sobre a partícula, a massa da partícula e determinarmos com ajuda da 2ª lei de Newton a aceleração da partícula. Se a força F for constante a sua aceleração também será constante e a sua velocidade e a posição será: e

2 O processo se complica se a força F que actua na partícula não for constante. A aceleração poderá ser obtida ainda com a mesma lei, mas para a velocidade e o deslocamento já não podemos aplicar as formulas acima dadas. Estes casos são resolvidos com ajuda do processo matemático de integração. As forças gravitacionais entre dois corpos, por exemplo, entre a terra e a lua são exemplos de forças variaveis.

3 Consideremos uma partícula sobre a qual actua uma força F
Consideremos uma partícula sobre a qual actua uma força F. No caso mais simples a força F seja constante e o movimento tenha lugar na direcção e sentido de acção da força. Nesta situação define-se trabalho mecânico realizado pela força sobre a partícula como o produto da intensidade da força F e a distância x percorrida pelo corpo. x

4 Porém a força constante podia não actuar sobre a partícula na direcção e sentido do movimento da partícula. Neste caso define-se o trabalho realizado pela força da partícula como sendo o produto da componente da força ao longo da direcção e sentido do movimento e a distância x percorrida pela partícula. x

5 Quando diversas forças aplicadas à um corpo realizam sobre ele um trabalho, o trabalho total é a soma dos trabalhos efectuados separadamente pelas forças: O trabalho é uma grandeza escalar, contudo as duas grandezas envolvidas na definição da grandeza e são grandezas vectoriais. Isto significa que W é produto escalar de dois vectores

6 Representação gráfica do trabalho de uma força constante em função da posição. O trabalho é igual à área tracejada que fica por baixo da curva.

7 Trabalho de uma força variável
Muitas forças variam porém com a distância. Por exemplo, a força necessária para deformar uma mola, é proporcional à distensão ou compressão da mola.   ou

8 Um caso geral: consideremos uma força que varia sua intensidade aumento ou diminuindo em função do deslocamento x. Se dividirmos o deslocamento total Δx em pequenos deslocamentos Δxi, para cada um destes pequenos deslocamentos a respectiva força terá realizado um trabalho dado por: o trabalho total será:

9 Para uma melhor exactidão dividimos o deslocamento em inúmeros pequenos deslocamentos elementares dx de modo que o trabalho seja elementar dW. Para um deslocamento elementar: O trabalho total será: ... Trabalho de uma força variável

10 Exemplo da força elástica ... Força elástica
A força externa é: O trabalho realizado por esta força ao esticar a mola é: ; Seja x1 = 0 e x2 = x então ... Trabalho realizado sobre a mola elástica ... Trabalho da força elástica

11 Trabalho em duas ou três dimensões
A força que actua sobre uma partícula pode variar em módulo, direcção e sentido, fazendo com que esta se mova ao longo de uma curva. De a para b o trabalho será dado por: Então Analiticamente: e Então:

12 Conceito de Energia Mecânica
Teorema de variação da Energia cinética A energia é definida qualitativamente como a capacidade de um corpo realizar trabalho. Quando por exemplo um indivíduo empurra um carrinho de mão realiza um trabalho que se manifesta em forma de energia de movimento. Energia de movimento = Energia Cinética.

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14 Energia Potencial Força conservativa
Uma força conservativa é aquela para a qual, o trabalho por ela efectuado sobre uma partícula que descreve uma trajectória fechada, isto é, retornando à posição inicial, é igual a zero. Neste caso o trabalho da força conservativa do ponto A ao ponto B pode ser considerado igual de B para A, independentemente da trajectória. Deste modo:

15 O trabalho realizado só no sentido AB pode ser obtido pela diferença entre duas grandezas EpA e EpB calculadas nos pontos inicial e final, e não depende da trajectória da partícula de A para B. A grandeza Ep é denominada energia potencial. O trabalho mecânico de uma força conservativa é igual ao decréscimo da energia potencial.

16 Energia potencial gravitacional A força de gravidade é um exemplo típico de uma força conservativa. O trabalho realizado pela força de gravidade do ponto A para o ponto B não depende da trajectória. Já vimos que: Conclusão: o trabalho da força de gravidade quando o corpo sobe é negativo. Na descida teremos: ... Energia potencial gravitacional

17 Relação entre força e energia potencial Diferenciemos a expressão ; Onde é o ângulo entre F e dr. Então , Onde representa a componente de F na direcção do deslocamento.

18 Uma vez conhecida Ep(x,y,z) pode-se determinar a componente de F em qualquer direcção, calculando , , na direcção dada. Esta quantidade toma o nome de derivada direccional da energia potencial Ep. Quando um vector é tal que a sua componente em qualquer direcção é igual à derivada direccional de uma função naquela direcção, o vector designa-se gradiente da função.

19 Portanto, a força conservativa F é igual ao negativo do gradiente da energia potencial Ep.
Definindo as componentes do vector ao longo dos eixos de coordenadas x,y,z estas serão dadas respectivamente por: ; e ou ; e Onde é o símbolo da derivada parcial.

20 Princípio de conservação da energia
de uma partícula  Concluímos anteriormente que para forças conservativas:   , assim como Igualando as duas expressões teremos: A soma representa a energia mecânica total. Então para forças conservativas.

21 Conclusão Quando as forças são conservativas a energia mecânica total se conserva/permanece constante. Durante o movimento do corpo cada uma das energias pode variar independentemente, mas a sua soma permanece constante.

22 Conceito de potência Potência média e instantânea
Em física, a potência relaciona o trabalho com o tempo gasto para ser realizado, ou seja, mede "a rapidez com que o trabalho é realizado". Em uma máquina, o trabalho, em geral, é executado a uma taxa constante, de modo que a máquina é caracterizada convenientemente pela sua potência. Define-se potência média PM para um intervalo t, durante o qual se realizou o trabalho W, como: Define-se potência instantanea como sendo o limite da potencia media quando t tende para zero No S.I. a unidade de trabalho é o joule (J) e a unidade de tempo é o segundo(s), assim, a unidade de potência, no S.I., é J/s, chamado de watt (W).

23 Relação entre potência e velocidade
Uma outra expressão para a potência em termos da força que realiza o trabalho e da velocidade do objeto, pode ser obtida. Suponhamos que, durante um intervalo de tempo t, uma força F atue sobre um objeto, na mesma direção do movimento, produzindo um deslocamento d. Como W = F.d, a potência média pode ser dada por: ou seja, a potência média também pode ser dada em função da força que atua no objeto e da velocidade produzida. A partir da definição de potência média, temos a expressão para a energia gasta durante a realização de um trabalho: Se a potência for dada na unidade quilowatt (kW) e o tempo em hora (h), uma outra unidade para energia é obtida: o quilowatt-hora (kWh). Unidade esta muito utilizada no cotidiano, em aparelhos domésticos, na conta da energia elétrica, etc.